郭旭俠，薛曉飛

(寶雞文理學(xué)院，陜西 寶雞 721013)

0 引 言

梁作為實(shí)際工程中的基本構(gòu)件，被大量的用于各類(lèi)結(jié)構(gòu)中。變截面梁具有質(zhì)量分布合理、力學(xué)性能優(yōu)異的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天，機(jī)械、建筑等領(lǐng)域。變截面梁引起有質(zhì)量分布合理等優(yōu)異的力學(xué)性能，被廣泛的應(yīng)用于航空航天，機(jī)械、建筑等領(lǐng)域[1-2]。Abrate[3]采用位移變分法研究了截面線性變化的變截面懸臂梁的自由振動(dòng)。葛仁余[4-5]等運(yùn)用插值矩陣法一次性計(jì)算出軸向功能梯度變截面梁各階振動(dòng)固有頻率，同時(shí)獲取了相應(yīng)的振型參數(shù)。劉雷[6]采用半解析法計(jì)算了一類(lèi)變截面梁的固有頻率和振型，通過(guò)與有限元法的計(jì)算結(jié)果比較說(shuō)明了半解析解的精確性。上述研究均沒(méi)有考慮溫度變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，溫度場(chǎng)與位移場(chǎng)的耦合作用增加了方程的求解難度。分析了軸向運(yùn)動(dòng)變截面梁在熱彈耦合作用下的振動(dòng)特性。

1 建立數(shù)學(xué)模型

建立圖1所示為楔形截面軸向運(yùn)動(dòng)彈性梁，該梁沿x軸的運(yùn)動(dòng)速度為v。梁沿x方向的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為b，材料密度為ρ，彈性模量為E。假設(shè)梁的初始溫度是τ0=τ(x,z,t0)，任一瞬時(shí)t梁的溫度是τ1=τ1(x,z,t)，則梁的溫度變化為T(mén)=τ1-τ0。在x=0及x=L處梁的高度分別為h1、h2，設(shè)梁的高度沿x方向的變化規(guī)律滿足：

(1)

圖1 楔形截面熱彈耦合軸向運(yùn)動(dòng)梁

楔形梁的橫截面彎矩M為：

(2)

等截面軸向運(yùn)動(dòng)梁的運(yùn)動(dòng)微分方程是：

(3)

式中：A=bh(x)為梁的橫截面面積。

將式(2)代入式(3)得楔形截面梁的熱彈運(yùn)動(dòng)微分方程是[7]：

(4)

梁的熱傳導(dǎo)方程是[8]：

(5)

將以下無(wú)量綱量：

(6)

分別代入式(4)和式(5)中，得：

(7)

設(shè)方程(7)的解：

(8)

將式(8)代入式(7)，得:

求解方程(10)進(jìn)行，得:

(11)

將方程(11)代入式(9)得:

(12)

梁在兩端恒溫條件下的邊界條件為:

(13)

2 算例分析

參照微分求積法的計(jì)算步驟與求解原理[9-10]，方程 (12)可離散為以下形式:

(14)

邊界條件式(13)的微分求積形式：

(15)

將式(14)和式(15)寫(xiě)成矩陣形式，即：

(16)

式中：下標(biāo)d為邊界上的量；e為非邊界上的量{yd}、{ye}如下：

(17)

由式(15)消去{yd}得:

{ω2[I]+ω[G]+[K]}{Wk}={0}

(18)

矩陣[K]、[G]和[I]中含有耦合項(xiàng)系數(shù)及無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)速度等參數(shù)。方程(18)構(gòu)成了廣義特征值問(wèn)題。因此，熱彈耦合軸向運(yùn)動(dòng)梁的特征方程是:

|ω2[I]+ω[G]+[K]|=0

(19)

表1 楔形梁前三階固有頻率的本文解與文獻(xiàn)[11]解的比較

圖2 無(wú)量綱速度c與無(wú)量綱復(fù)頻率ω關(guān)系曲線

圖3 無(wú)量綱速度c與無(wú)量綱復(fù)頻率ω關(guān)系曲線

圖4 無(wú)量綱速度c與無(wú)量綱復(fù)頻率ω關(guān)系曲線

圖5 無(wú)量綱速度c與無(wú)量綱復(fù)頻率ω關(guān)系 曲線

通過(guò)對(duì)三圖進(jìn)行比較分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)λ分別取0，0.2和0.3時(shí)，對(duì)應(yīng)的第一階模態(tài)發(fā)散失穩(wěn)的無(wú)量綱軸向運(yùn)動(dòng)速度臨界值分別取c=6.159，c=6.731，c=7.061，由此得出，楔形變截面軸向運(yùn)動(dòng)梁第一階模態(tài)處于發(fā)散失穩(wěn)狀態(tài)的無(wú)量綱軸向運(yùn)動(dòng)速度臨界值會(huì)隨熱彈耦合因子的變大而變大。

圖6 無(wú)量綱速度c與無(wú)量綱復(fù)頻率ω關(guān)系 曲線

圖7 無(wú)量綱速度c與無(wú)量綱復(fù)頻率ω關(guān)系 曲線

3 結(jié) 論

通過(guò)算例分析可以看出微分求積法可以滿足計(jì)算要求，過(guò)程簡(jiǎn)便計(jì)算機(jī)易于操作。數(shù)值結(jié)果表明隨著無(wú)量綱速速的提高，楔形梁的前三階模態(tài)復(fù)頻率的實(shí)部都隨著減小。當(dāng)楔形梁的梁高比減小時(shí)，梁發(fā)散失穩(wěn)的臨界速度隨之減小，單一模態(tài)顫振的臨界速度變化趨勢(shì)相同，只是梁的失穩(wěn)類(lèi)型沒(méi)有發(fā)生改變?？紤]熱彈耦合效應(yīng)時(shí)梁的前三階固有頻率與不考慮熱彈耦合效應(yīng)時(shí)相比，梁的前三階固有頻率均變大。