孫煒海 張超群 鞠桂玲 潘晶雯

1)(陸軍裝甲兵學(xué)院車輛工程系,北京 100072)

2)(陸軍裝甲兵學(xué)院基礎(chǔ)部,北京 100072)

(2018年5月9日收到；2018年8月18日收到修改稿)

1 引 言

近年來(lái),隨著人們對(duì)層狀多鐵性復(fù)合材料研究的深入,壓電/壓磁聲子晶體在實(shí)際工程技術(shù)領(lǐng)域發(fā)揮了越來(lái)越重要的作用.與純壓電或純壓磁結(jié)構(gòu)體系相比,壓電/壓磁復(fù)合結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)機(jī)械能、磁能和電能三者之間的互相轉(zhuǎn)換,同時(shí)因其具有聲子晶體的帶隙特性,成為制造諧振器元件、電場(chǎng)可調(diào)濾波器和磁場(chǎng)探針等一些高科技精密零件的理想材料[1?7].

由于壓電和壓磁材料的參數(shù)相差較大,壓電/壓磁聲子晶體在使用過(guò)程中不同材料層交界處容易出現(xiàn)變形損傷[8,9],可以通過(guò)在不同材料交界處插入磁電彈夾層實(shí)現(xiàn)材料參數(shù)之間的平滑過(guò)渡.目前,磁電彈材料通常由壓電和壓磁材料粉末混合燒結(jié)而成,具有力電磁耦合功能,磁電彈夾層的引入會(huì)較大程度上影響壓電/壓磁聲子晶體的力學(xué)、電學(xué)和磁學(xué)行為及其兩兩之間的耦合作用,從而既可能帶來(lái)一些新的科學(xué)現(xiàn)象與機(jī)理,也可能引起壓電/壓磁器件的性能變化.從本質(zhì)上來(lái)看,壓電/壓磁層狀復(fù)合結(jié)構(gòu)中電磁場(chǎng)方程與彈性動(dòng)力學(xué)方程是耦合的,但是由于彈性波波速與電磁波波速相差超過(guò)4個(gè)數(shù)量級(jí),因此可以忽略麥克斯韋電磁場(chǎng)方程中磁場(chǎng)與電場(chǎng)的耦合.在現(xiàn)有的研究成果中,大部分都采用了準(zhǔn)靜態(tài)近似條件.Qian等[10]研究了SH波在周期性壓電復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中的傳播.Pang等[11]研究了SH波在壓電/壓磁層狀復(fù)合材料中傳播的帶隙特性.Lan和Wei[12]研究了梯度夾層對(duì)壓電/壓磁聲子晶體帶隙特性的影響.Liu等[13]研究了波在壓電/壓磁層狀周期結(jié)構(gòu)中的傳播特性,討論了復(fù)合材料各組分材料參數(shù)的差異對(duì)帶隙特性的影響.Guo等[14]研究了初始應(yīng)力對(duì)壓電/壓磁聲子晶體色散關(guān)系的影響.Zhu等[15]研究了不同界面結(jié)合條件對(duì)壓電/壓磁聲子晶體色散特性的影響.Wei等[16]研究了功能梯度層對(duì)層狀壓電/壓磁圓柱體中剪切水平波頻散關(guān)系的影響.Wang等[17?19]研究了二維壓電/壓磁與磁電彈性聲子晶體中彈性波的傳播.對(duì)含磁電彈夾層的壓電/壓磁聲子晶體開展力學(xué)分析,不僅在理論研究方面具有重要的科學(xué)價(jià)值,而且在元件設(shè)計(jì)、制造和應(yīng)用等方面具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值.目前含磁電彈夾層三組元聲子晶體帶隙特性的研究較少,需要進(jìn)一步深入研究.

本文主要研究了在準(zhǔn)靜態(tài)電磁條件下,含磁電彈夾層的壓電/壓磁聲子晶體帶隙特性,用傳遞矩陣法和Bloch定理得到了聲子晶體中SH波的色散關(guān)系,通過(guò)對(duì)色散方程進(jìn)行數(shù)值求解,討論磁電彈夾層的厚度、磁電彈夾層中壓電材料的體積分?jǐn)?shù)和磁電彈夾層中壓電材料種類對(duì)壓電/壓磁聲子晶體帶隙中心頻率和帶隙寬度的影響.

2 理論分析

壓電、壓磁和磁電彈材料在高溫高壓條件下交替黏連成層狀周期復(fù)合結(jié)構(gòu),如圖1所示.壓電層與壓磁層厚度相同為d1,磁電彈層厚度為d2,單胞的總長(zhǎng)為2a=d2+d1+d2+d1,層狀周期復(fù)合結(jié)構(gòu)沿x3軸極化,在x1-x2坐標(biāo)平面各向同性.

圖1 含磁電彈層的聲子晶體模型Fig.1.Model of phononic crystal with MEE interlayer.

磁電彈材料的本構(gòu)方程為

式中σ,s,D,E,B和H依次分別表示彈性應(yīng)力張量、應(yīng)變張量、電位移矢量、電場(chǎng)矢量、磁感應(yīng)矢量和磁場(chǎng)矢量；c,ε和μ依次分別代表彈性系數(shù)、介電系數(shù)和磁導(dǎo)率張量；e,q和α依次為壓電常數(shù)、壓磁常數(shù)和磁電常數(shù)張量.當(dāng)?shù)仁街衠=α=0和e=α=0時(shí),分別表示壓電材料和壓磁材料中的本構(gòu)方程.

位移矢量u與應(yīng)變矢量s之間關(guān)系為

其中,T表示轉(zhuǎn)置,?為哈密頓算子,上標(biāo)J=e,m分別表示壓電材料和壓磁材料；電場(chǎng)矢量E與電勢(shì)φ之間的關(guān)系為

磁場(chǎng)矢量H與磁勢(shì)?之間的關(guān)系為

準(zhǔn)靜態(tài)近似條件下,忽略體力、磁荷和自由電荷的存在,不考慮麥克斯韋電磁場(chǎng)方程中磁場(chǎng)與電場(chǎng)的耦合,則應(yīng)力矢量σ、電位移矢量D和磁感應(yīng)矢量B三者滿足的平衡方程為

在考慮SH波的情況下,位移u3、電勢(shì)φ、磁勢(shì)?是自變量(x1,x2)的函數(shù).把等式(1),(2),(3)和(4)代入到等式(5)中,得到磁電彈材料的控制方程,根據(jù)q=α=0和e=α=0的兩種情況,分別推導(dǎo)出壓電和壓磁材料的控制方程,利用Pang等[20]解控制方程的方法,可以得到位移u3、電勢(shì)φ、磁勢(shì)?、應(yīng)力σ31、電位移D和磁感應(yīng)強(qiáng)度B在壓電、壓磁和磁電彈材料中的表達(dá)式.

其中,上標(biāo)e′和e′′分別表示壓電子層的左側(cè)和右側(cè).

壓電子層兩側(cè)向量滿足以下關(guān)系:

其中,上標(biāo)m′和m′′分別表示壓磁子層的左側(cè)和右側(cè).

壓磁子層兩側(cè)向量滿足以下關(guān)系:

其中,上標(biāo)mee′和mee′′分別表示磁電彈夾層的左側(cè)和右側(cè).

磁電彈夾層兩側(cè)向量滿足以下關(guān)系:

由壓電子層、壓磁子層和磁電彈夾層組成的單胞左右兩側(cè)的狀態(tài)向量滿足以下關(guān)系:

其中,Tcell為總體傳遞矩陣,可以表示為

同時(shí),根據(jù)Bloch定理可得

其中,k是Bloch波波數(shù).把(12)式代入(14)式得

(15)式中存在非零解的條件為

3 數(shù)值計(jì)算與分析

在每一個(gè)子層中,材料視為均質(zhì),磁電彈夾層材料參數(shù)取決于層板中壓電材料和壓磁材料的體積分?jǐn)?shù).其中滿足Pmee=PeVe+PmVm,式中P為磁電彈夾層材料參數(shù),Pe為壓電材料各項(xiàng)參數(shù),Pm為壓磁材料各項(xiàng)參數(shù),Ve為磁電彈夾層中壓電材料的體積分?jǐn)?shù),Vm為磁電彈夾層中壓磁材料的體積分?jǐn)?shù),其中Ve+Vm=1.雖然在壓電和壓磁材料中磁電系數(shù)α11=0,但是在磁電彈夾層材料中α11=4αmaxVeVm,其中αmax為α11的最大值,αmax=5×10?12Ns/VC.

在實(shí)際討論計(jì)算中,單胞厚度取固定值0.004 m,則a=0.002 m,壓電/壓磁聲子晶體中壓電材料為BaTiO3,壓磁材料為CoFe2O4,b為磁電彈夾層中壓電材料占總材料的體積分?jǐn)?shù).討論磁電彈夾層厚度對(duì)帶隙特性的影響時(shí),取b=0.5,磁電彈夾層中壓電材料為BaTiO3,壓磁材料為CoFe2O4.在討論壓電材料體積比的影響時(shí),單胞厚度保持不變,為0.004 m.磁電彈夾層中壓電材料為PZT-5A,壓磁材料為CoFe2O4,磁電彈夾層厚度d2取定值0.001 m.在討論壓電材料種類的影響時(shí),磁電彈夾層厚度d2=0.001 m,磁電彈夾層中壓電材料占總材料的體積分?jǐn)?shù)b=0.5.

表1 材料參數(shù)[21]Table 1.Material parameters[21].

當(dāng)d2=0時(shí),磁電彈夾層厚度為0,此時(shí)曲線為壓電/壓磁聲子晶體色散曲線；當(dāng)d2＞0時(shí),此時(shí)曲線表示的是三組元聲子晶體中彈性波的頻散關(guān)系.從圖2可以看出,磁電彈夾層厚度d2的改變對(duì)第一帶隙的寬度影響比較小,當(dāng)d2從0增加到0.5a時(shí),第一帶隙寬度基本保持不變,僅由0.04增加到0.07,第一帶隙中心頻率由0.522上升到0.760.而對(duì)第二帶隙和第三帶隙影響比較大:第二帶隙寬度明顯變大,由0.001增加到1.12；第三帶隙寬度略微變寬,由0.04增加到0.23；第二帶隙中心頻率由1.045上升到1.614,第三帶隙中心頻率從1.568增加到2.508.聲子晶體中彈性波的帶隙形成遵循Bragg散射機(jī)理,在增加磁電彈夾層后,改變了聲子晶體周期結(jié)構(gòu),同時(shí)因磁電彈夾層的存在,不同子層各項(xiàng)參數(shù)之間的差值發(fā)生改變,使得SH波在聲子晶體中傳播的帶隙特性也發(fā)生改變.隨著磁電彈夾層厚度d2的增加,帶隙寬度增加,帶隙中心頻率向高頻方向移動(dòng).

圖2 帶隙隨磁電彈夾層厚度的變化Fig.2.Band gap varying with thickness of MEE interlayer.

從圖3可以看出,隨體積分?jǐn)?shù)b從0增大到1,第一帶隙寬帶隙中心頻率由1.431下降到1.023,第一帶隙寬度從0.652減小到0.358.通過(guò)圖4可以得到,當(dāng)b=0時(shí),此時(shí)磁電彈夾層全為壓磁材料,第二和第三帶隙中心頻率分別是2.614和4.163；當(dāng)b=0.4時(shí),第二和第三帶隙中心頻率分別是2.430和3.999；當(dāng)b=1時(shí),此時(shí)磁電彈夾層全為壓電材料,第二和第三帶隙中心頻率分別是2.095和3.707.在b從0增加到1的過(guò)程中,第二帶隙的寬度由0.853增加到1.053,第三帶隙的寬度基本沒變,保持在2.02左右.三個(gè)帶隙的中心頻率都隨著壓電材料所占總材料的體積分?jǐn)?shù)b的增大向低頻方向移動(dòng),但各個(gè)帶隙寬度的變化不相同.通過(guò)分析計(jì)算可知,隨著體積分?jǐn)?shù)b的增大,磁電彈夾層中壓電效應(yīng)在增強(qiáng),而壓磁效應(yīng)在減弱,各組分的材料參數(shù)差異發(fā)生改變；由于Bragg散射機(jī)理的作用,聲子晶體帶隙特性也發(fā)生改變.隨著壓電體積分?jǐn)?shù)的增加,帶隙中心頻率向低頻方向移動(dòng),中心頻率越高,移動(dòng)越明顯,第一帶隙寬度明顯變窄,第二稍微變寬,第三帶隙基本不變.

圖3 壓電材料體積分?jǐn)?shù)對(duì)第一帶隙特性的影響Fig.3.The influence of volumefraction of piezoelectric material on the first band gap characteristics.

圖4 帶隙隨壓電材料體積分?jǐn)?shù)的變化Fig.4. Band gap varying with volumefraction of piezoelectric materials.

從圖5可以看出,不同的壓電材料對(duì)帶隙的中心頻率和帶隙寬度有明顯影響.由于各項(xiàng)材料參數(shù)的影響一直存在,需要將不同材料的帶隙中心頻率和帶隙寬度與相對(duì)應(yīng)的材料參數(shù)相比較.結(jié)果發(fā)現(xiàn),壓電材料彈性模量越大,聲子晶體帶隙中心頻率越高,帶隙寬度越寬.結(jié)合聲子晶體帶隙機(jī)理及帶隙特性,可以得到彈性模量比其他材料參數(shù)對(duì)帶隙變化影響更大,并且隨著帶隙所在區(qū)域頻率的升高,帶隙特性的變化越明顯.

圖5 壓電材料不同時(shí)聲子晶體的帶隙Fig.5.Band gap of phononic crystal with different types piezoelectric material.

4 結(jié) 論

本文通過(guò)構(gòu)建含磁電彈夾層的一維壓電/壓磁聲子晶體模型,利用傳遞矩陣法和Bloch定理得到了模型中SH波的色散方程,并把方程的解以圖像的形式展現(xiàn)出來(lái),根據(jù)圖像討論磁電彈層對(duì)壓電/壓磁聲子晶體帶隙特性的影響.結(jié)果表明,插入的磁電彈夾層可以改變壓電/壓磁聲子晶體帶隙寬度和中心頻率.當(dāng)磁電彈層厚度增加時(shí),帶隙的中心頻率上升,帶隙寬度變寬；當(dāng)磁電彈夾層中壓電材料體積分?jǐn)?shù)增加時(shí),帶隙中心頻率下降,第一帶隙寬度變窄,第二帶隙寬度增加,第三帶隙寬度保持不變；當(dāng)磁電彈夾層中的壓電材料種類不同時(shí),帶隙的中心頻率和帶隙寬度有明顯的改變；磁電彈夾層對(duì)壓電/壓磁聲子晶體帶隙中心頻率的影響在高頻區(qū)比低頻區(qū)更顯著.因此,在設(shè)計(jì)聲子晶體結(jié)構(gòu)時(shí),可以通過(guò)增加不同的磁電彈夾層,在一定程度上調(diào)節(jié)帶隙的寬度和中心頻率.