魏麗英 崔裕楓 李東瑩

(北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院,北京 100044)

(2018年3月26日收到；2018年8月10日收到修改稿)

1 引 言

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,城市居民的出行需求不斷增加,道路上行人和機(jī)動(dòng)車流量不斷增加,導(dǎo)致行人與機(jī)動(dòng)車的沖突越來(lái)越嚴(yán)重,人車事故頻發(fā).《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第四十七條規(guī)定:“機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí),應(yīng)當(dāng)減速行駛；遇行人正在通過(guò)人行橫道,應(yīng)當(dāng)停車讓行.機(jī)動(dòng)車行經(jīng)沒(méi)有交通信號(hào)的道路時(shí),遇有行人橫過(guò)道路,應(yīng)當(dāng)避讓.”這為行人過(guò)街安全提供了法律保障.但是在實(shí)際調(diào)查中發(fā)現(xiàn),行人只是在有限的避讓范圍內(nèi)才具有優(yōu)先權(quán),實(shí)際中行人和機(jī)動(dòng)車是相互穿越通過(guò)沖突區(qū)域的.

博弈論作為一門新興學(xué)科,在交通領(lǐng)域中逐漸得到應(yīng)用.1952年,Wardrop[1]首次將博弈理論引入到交通中,分析出行路徑的選擇問(wèn)題,隨后大量學(xué)者[2?12]開始使用博弈論來(lái)研究交通管理、控制及分配等問(wèn)題.鑒于經(jīng)典博弈論在應(yīng)用中被發(fā)現(xiàn)存在著假設(shè)缺陷、方法缺陷以及實(shí)證缺陷等問(wèn)題[13?19],20世紀(jì)90年代發(fā)展了演化博弈論的研究工作,并且近年來(lái)開始有部分學(xué)者將演化博弈論引入到行人過(guò)街行為的研究中[20].

本文根據(jù)人車沖突實(shí)際情景,提出了沖突損失、等待損失、互讓損失以及基礎(chǔ)收益等概念,并在此基礎(chǔ)上建立了行人與機(jī)動(dòng)車的博弈矩陣.引入演化分析范式,建立行人與機(jī)動(dòng)車沖突演化的動(dòng)力學(xué)模型,分析了系統(tǒng)均衡點(diǎn)的位置、穩(wěn)定性等,以探究“人讓車”及“車讓人”等形成的機(jī)理.本文的研究對(duì)于提高道路服務(wù)水平、加強(qiáng)道路交通安全、提升交通文明有著重要的意義.

這里需要特別說(shuō)明的是,本文研究的重點(diǎn)并非針對(duì)行人與機(jī)動(dòng)車在一次具體的沖突中是如何做出行為決策的,而在于整個(gè)城市的行人與機(jī)動(dòng)車群體經(jīng)過(guò)反復(fù)發(fā)生沖突,雙方為了最大化自己的利益,不斷調(diào)整自己的行為策略,進(jìn)行重復(fù)博弈,最終達(dá)到一種動(dòng)態(tài)平衡的過(guò)程.為了定量化表述這種過(guò)程,建立了人車沖突演化動(dòng)力學(xué)模型,并用于分析不同條件下人車沖突系統(tǒng)的收斂方向,即是會(huì)收斂于“車讓人”,又或者是“人讓車”等,以及收斂于這些穩(wěn)定點(diǎn)的速率如何.

2 人車沖突分析

2.1 人車沖突的流程分析

本文討論的人車沖突是指:在現(xiàn)實(shí)的交通環(huán)境下,如果行人與機(jī)動(dòng)車雙方?jīng)]有信息交流,無(wú)法總是達(dá)成誰(shuí)先行的一致意見,此時(shí),二者都有一定的概率選擇通過(guò),即為人車沖突情景.如果行人和機(jī)動(dòng)車雙方根據(jù)人車安全的前提,不需要博弈很容易就能夠達(dá)成誰(shuí)先行的共識(shí),此時(shí)認(rèn)為沒(méi)有沖突.如圖1(a),車輛距離行人太近,行人和機(jī)動(dòng)車根據(jù)當(dāng)前速度和距離一致判斷行人通過(guò)顯然是絕對(duì)不安全的,即雙方很容易就達(dá)成了車輛先行的一致,此類情況在本文中認(rèn)為不發(fā)生沖突.如圖1(b),車輛距離行人太遠(yuǎn),明顯行人以正常速度可以安全通過(guò),也不發(fā)生沖突.即這兩種情形都不是本文認(rèn)為的沖突情形.

圖1 人車不發(fā)生沖突的情形 (a)車輛先行；(b)行人先行Fig.1. The situation which there is not conflict between pedestrian and vehicle:(a)Vehicle ahead；(b)pedestrian ahead.

如圖2所示,如果人車之間距離介于圖1中的兩種情況之間,行人將無(wú)法準(zhǔn)確判斷機(jī)動(dòng)車是選擇通過(guò)還是不通過(guò).因?yàn)榧词故峭瑯拥慕煌ㄇ樾?由于機(jī)動(dòng)車駕駛員的個(gè)性差異,有些機(jī)動(dòng)車會(huì)選擇通過(guò),有些機(jī)動(dòng)車會(huì)選擇不通過(guò),即機(jī)動(dòng)車是以一定概率選擇通過(guò)的.而機(jī)動(dòng)車以多大概率選擇通過(guò),行人只能根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)判斷獲知,然后根據(jù)判斷的機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率,決策行人自己選擇通過(guò)的概率.

同樣,由于行人也存在個(gè)性差異,機(jī)動(dòng)車駕駛員認(rèn)為行人也是以一定概率選擇通過(guò)的,進(jìn)而機(jī)動(dòng)車駕駛員會(huì)判斷行人的通過(guò)概率,據(jù)此決策自己選擇通過(guò)的概率.

既然在圖2這種沖突距離下,車輛和行人都是以一定的概率選擇通過(guò)的,那么車輛和行人就可能同時(shí)選擇通過(guò),進(jìn)而有發(fā)生人車事故的風(fēng)險(xiǎn),這就是本文描述和分析的人車沖突情形.即由于不同行人與機(jī)動(dòng)車的特性不同,人車難以根據(jù)安全的前提達(dá)成先行共識(shí).

圖2 人車沖突情形Fig.2.The situation which there is a conflict between pedestrian and vehicle.

2.2 行人與機(jī)動(dòng)車沖突協(xié)調(diào)分析

行人與機(jī)動(dòng)車沖突最好的結(jié)果是“人讓車”或者“車讓人”,即行人與機(jī)動(dòng)車之間能達(dá)成先行的協(xié)調(diào).對(duì)于“人不讓車,車不讓人”或者“人讓車,同時(shí)車讓人”都不是最好的結(jié)果,前者易發(fā)生事故,后者則影響整體的交通效率.

假設(shè)在一次沖突中,行人選擇通過(guò)的概率為x,機(jī)動(dòng)車選擇通過(guò)的概率為y,行人與機(jī)動(dòng)車沒(méi)有信息交流,僅僅根據(jù)通過(guò)概率決定其是否通過(guò).則行人選擇通過(guò),機(jī)動(dòng)車選擇不通過(guò)的概率為x(1?y),行人選擇不通過(guò),機(jī)動(dòng)車選擇通過(guò)的概率為y(1?x),進(jìn)而行人與機(jī)動(dòng)車達(dá)成先行協(xié)調(diào)的概率z為上述兩部分之和,即

式中,0 6 x 6 1,0 6 y 6 1.

z關(guān)于x,y的函數(shù)曲線如圖3所示,顯然z關(guān)于平面x+y=1對(duì)稱.z值最大為1,對(duì)應(yīng)的(x,y)取值為(1,0)或(0,1),其他(x,y)取值越靠近這兩組值,對(duì)應(yīng)的z值越大,且沿著x+y=1的平面,z值從最高點(diǎn)下降的速率最慢.

為了便于對(duì)圖3的交通含義進(jìn)行分析,下面說(shuō)明“人讓車”,“車讓人”以及“人不讓車,車不讓人”等對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表示.

圖3 行人與機(jī)動(dòng)車協(xié)調(diào)的概率Fig.3.Probability of coordination between pedestrians and motor vehicles.

如果行人選擇通過(guò)的概率為1,機(jī)動(dòng)車選擇通過(guò)的概率為0,即(x,y)=(1,0),行人與機(jī)動(dòng)車達(dá)成了行人先行的協(xié)調(diào),就是所謂的“車讓人”.同理,可以得到表1所列的對(duì)應(yīng)關(guān)系.其中符號(hào)(～,1)表示x可以取[0,1]中的任意值,y取1；符號(hào)(1,～)表示x取1,y可以取[0,1]的任意值.

表1 數(shù)學(xué)表示(x,y)對(duì)應(yīng)的交通含義Table 1.Transportation means of the mathematical representation(x,y).

從圖3可以看出,(0,1)“人讓車”和(1,0)“車讓人”兩點(diǎn)協(xié)調(diào)的概率最高,值為1；(1,1)“人不讓車,車不讓人”和(0,0)“人讓車,同時(shí)車讓人”協(xié)調(diào)的概率最低,值為0.對(duì)于交通管理人員來(lái)講,可以通過(guò)采取相關(guān)措施,一步步調(diào)整行人及機(jī)動(dòng)車通過(guò)的概率,從而實(shí)現(xiàn)人車沖突系統(tǒng)狀態(tài)由“人讓車”向“車讓人”轉(zhuǎn)換.為了保證轉(zhuǎn)換過(guò)程中協(xié)調(diào)的概率盡可能大,在調(diào)整時(shí)最好能夠保持機(jī)動(dòng)車選擇通過(guò)的概率與行人選擇通過(guò)的概率之和為1,即x+y=1,這樣才能保證調(diào)整過(guò)程中交通狀態(tài)盡可能的安全、高效.

3 建立人車沖突演化動(dòng)力學(xué)模型

3.1 基本假設(shè)

1)博弈參與主體的集合:機(jī)動(dòng)車(駕駛員)和過(guò)街行人.

2)博弈主體策略集合:{通過(guò),不通過(guò)}.

3)過(guò)街行人與機(jī)動(dòng)車的支付變量.

由于無(wú)論如何決策,行人和機(jī)動(dòng)車最終總能通過(guò)沖突區(qū),所以過(guò)街帶來(lái)的收益是一直存在的,但是,不同情況下產(chǎn)生的過(guò)街時(shí)間和其他損失會(huì)有所不同.如果設(shè)行人、機(jī)動(dòng)車無(wú)沖突過(guò)街時(shí)的基礎(chǔ)收益分別為P,V,則行人與機(jī)動(dòng)車選擇不同的策略組合,帶來(lái)的將只是相對(duì)于基礎(chǔ)收益的損失不同.

如表2,定義行人選擇通過(guò),機(jī)動(dòng)車選擇不通過(guò)時(shí),機(jī)動(dòng)車的損失為其等待損失N；行人選擇不通過(guò),機(jī)動(dòng)車選擇通過(guò)時(shí),行人的損失為其等待損失M；行人和機(jī)動(dòng)車都選擇通過(guò)時(shí),機(jī)動(dòng)車的損失為其沖突損失S,行人的損失為其沖突損失R；行人和機(jī)動(dòng)車都選擇不通過(guò)時(shí),機(jī)動(dòng)車的損失為其互讓損失K,行人的損失為其互讓損失J.另外,行人與機(jī)動(dòng)車發(fā)生沖突并不一定是發(fā)生事故,所以這里定義的沖突損失并不一定是行人與機(jī)動(dòng)車發(fā)生事故對(duì)雙方造成的損失.

表2 變量定義表Table 2.Definition for variables.

3.2 模型建立

根據(jù)上述假設(shè),可以得到行人與機(jī)動(dòng)車的博弈矩陣如表3.

1)行人的期望收益及復(fù)制動(dòng)態(tài)方程

行人選擇通過(guò)的純策略期望收益Ep1為

行人選擇不通過(guò)的純策略期望收益Ep2為

行人以x的概率選擇通過(guò),以1?x的概率選擇不通過(guò)的混合策略的期望收益為

根據(jù)(2)和(4)式,得到行人選擇通過(guò)的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程為

表3 博弈矩陣Table 3.Game matrix.

2)機(jī)動(dòng)車的期望收益及復(fù)制動(dòng)態(tài)方程

機(jī)動(dòng)車選擇通過(guò)的純策略期望收益Ev1為

機(jī)動(dòng)車選擇不通過(guò)的純策略期望收益Ev2為

機(jī)動(dòng)車以y的概率選擇通過(guò),以1?y的概率選擇不通過(guò)的混合策略的期望收益為

根據(jù)(6)和(8)式,得到機(jī)動(dòng)車選擇通過(guò)的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程為

將(5)和(9)式聯(lián)合起來(lái)即為行人與機(jī)動(dòng)車沖突演化的動(dòng)力學(xué)模型.

4 演化均衡穩(wěn)定分析

4.1 均衡點(diǎn)的相關(guān)計(jì)算

為求得人車博弈系統(tǒng)的均衡點(diǎn),根據(jù)演化博弈中演化穩(wěn)定策略的概念和微分方程的相關(guān)知識(shí),解由(5)和(9)式組成的關(guān)于x,y的二階微分方程組,如(10)式,即可得到系統(tǒng)的所有均衡點(diǎn)(x?,y?).

無(wú)論支付變量M,R,N,S取何值,二階微分方程組都有4組確定解(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)；當(dāng)＜R且＜S,另有一組可能解(K/(K+S?N),J/(J+R?M))；特殊條件下R=M(或S=N),還會(huì)有無(wú)數(shù)組特殊解(～,1)(或(1,～)).

由(5)和(9)式構(gòu)成的人車博弈動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的雅克比矩陣為

計(jì)算(11)式雅克比矩陣的秩和跡如下:

表4 不同均衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的雅克比矩陣的秩和跡Table 4.The rank and trace of the jacobi matrix corresponding to the different equilibrium points.

為了分析均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,將可能的均衡點(diǎn)全部代入(12)和(13)式中,分別計(jì)算人車博弈系統(tǒng)的不同均衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的雅克比矩陣的秩和跡,如表4所列:

4.2 均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

表5給出了均衡點(diǎn)的類型判別,對(duì)于離散系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)det(Jacobi)＞0,tr(Jacobi)＜0時(shí),該均衡點(diǎn)為ESS(進(jìn)化穩(wěn)定策略)穩(wěn)定點(diǎn).由表4可以看出,博弈矩陣的支付變量相對(duì)取值不同,det(Jacobi),tr(Jacobi)的正負(fù)符號(hào)可能不同,進(jìn)而根據(jù)表5判別均衡點(diǎn)的類型不同.

表5 均衡點(diǎn)類型判別表Table 5.The discriminant of equilibrium point type.

決定det(Jacobi),tr(Jacobi)正負(fù)符號(hào)的因素,主要是博弈矩陣支付變量M與R,N與S的相對(duì)大小.考慮M與R的相對(duì)大小主要是＜R,＞R,N與S的相對(duì)大小可能是＜S,＞S,下面將二者組合成4種情況分類討論不同情況下均衡點(diǎn)的類型.

這里首先簡(jiǎn)單討論M與R,N與S組合成的4種情況對(duì)應(yīng)的現(xiàn)實(shí)交通意義.

當(dāng)過(guò)街行人流量比較小,從機(jī)動(dòng)車的角度,由于行人流量小,機(jī)動(dòng)車讓當(dāng)前等待過(guò)街行人先通過(guò),甚至連帶后面少數(shù)的行人通過(guò)之后自己再通過(guò),帶來(lái)的延誤以及其他損失(加減速帶來(lái)的不舒適感等)相對(duì)于與行人發(fā)生沖突的損失可能并不高,即機(jī)動(dòng)車的等待損失N小于其沖突損失S,即＜S.

同理,當(dāng)機(jī)動(dòng)車流量較小時(shí),行人讓當(dāng)前即將通過(guò)的機(jī)動(dòng)車先通過(guò),甚至連帶車輛后面幾輛車緊隨通過(guò)之后自己再通過(guò),帶來(lái)的延誤相對(duì)于與機(jī)動(dòng)車發(fā)生沖突的損失也并不高,即行人的等待損失M小于其沖突損失R,即＜R.

另一方面,當(dāng)過(guò)街行人流量非常大,從機(jī)動(dòng)車的角度,由于行人流量非常大,機(jī)動(dòng)車如果讓當(dāng)前等待過(guò)街的行人通過(guò),后續(xù)會(huì)有很多行人連續(xù)緊隨通過(guò),給機(jī)動(dòng)車帶來(lái)延誤可能非常高,再結(jié)合其他損失,最后可能高于與行人發(fā)生沖突的沖突損失,即機(jī)動(dòng)車的等待損失N大于其沖突損失S,即＞S.類似地,從行人的角度分析可以得到相似的結(jié)論,即行人的等待損失M也可能大于其沖突損失R,即＞R.這就說(shuō)明下文討論M與R,N與S組合成的4種情況都對(duì)應(yīng)有現(xiàn)實(shí)的交通意義.

下面開始討論4種分類條件下均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

1)＜R且＜S

行人的等待損失小于其沖突損失,機(jī)動(dòng)車的等待損失也小于其沖突損失,類似于博弈論經(jīng)典模型之“性別之戰(zhàn)”.此時(shí),系統(tǒng)有5個(gè)均衡點(diǎn):(0,0),(0,1),(1,0),(K/(K+S?N),J/(J+R?M)),(1,1).

表6 ＜R且＜S時(shí)的均衡點(diǎn)類型判斷Table 6.The discriminant of equilibrium point type when ＜R and ＜S.

從表6中看出系統(tǒng)有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)(0,1),(1,0).均衡點(diǎn)(K/(K+S?N),J/(J+R?M))為中心點(diǎn)(混合策略納什均衡點(diǎn)),(1,1)為不穩(wěn)定點(diǎn).對(duì)于點(diǎn)(0,0),由表4知,無(wú)論M,R,S,N取值,其Jacobi矩陣行列式和跡恒為正,從而點(diǎn)(0,0)永遠(yuǎn)是不穩(wěn)定點(diǎn).也就是說(shuō)“人讓車,同時(shí)車讓人”是永遠(yuǎn)不可能穩(wěn)定存在的,下文將不再重復(fù)討論該點(diǎn).

下面分別取一組滿足當(dāng)前條件＜R且＜S的值,J=1,R?M=2,K=2,S?N=4,做出不同初始(x,y)值下的人車博弈系統(tǒng)的演化路徑圖(如圖4),分析其演化規(guī)律.x,y初始值分別取自向量(0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0),下同.

圖4 ＜R且＜S時(shí)的x-y演化路徑圖Fig.4.The evolutionary path of x-y when ＜R and ＜S.

這里先以(x,y)初始值取(0.6,0.9)的演化路徑為代表分析圖4,如圖中有數(shù)字標(biāo)號(hào)的一條線,其演化方向已在圖中標(biāo)識(shí).1號(hào)位置,行人與機(jī)動(dòng)車通過(guò)的概率都較大,人車雙方的損失以沖突損失為主,且由于行人與機(jī)動(dòng)車的沖突損失均大于等待損失,所以人車將各自降低其通過(guò)概率以減少?zèng)_突損失,這就有了圖中位置1→2→3的演化.在3號(hào)位置(x,y)約為(0.35,0.85),此時(shí)行人通過(guò)概率較低,車輛通過(guò)的概率較高.對(duì)于車輛,由于行人通過(guò)概率較低,其通過(guò)概率的調(diào)整對(duì)沖突損失的增減并不顯著,但卻會(huì)顯著影響其互讓損失,即互讓損失成為其主要損失,所以車輛會(huì)提高其通過(guò)概率以減少互讓損失；對(duì)于行人,由于車輛通過(guò)概率較高,其通過(guò)概率的降低仍可以顯著減少?zèng)_突損失且不會(huì)顯著增加互讓損失,即沖突損失仍是主要損失,所以行人仍會(huì)降低通過(guò)概率以減少?zèng)_突損失.最終由3→4→5收斂于(0,1),即“人讓車”.

總體而言,除了表6中的三個(gè)不穩(wěn)定均衡點(diǎn)之外,所有初始值經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的演化最終都收斂到(1,0)或(0,1).也就是說(shuō),無(wú)論行人和機(jī)動(dòng)車的初始通過(guò)概率如何,都會(huì)向著“人讓車”或者“車讓人”的方向演化,初始占據(jù)優(yōu)勢(shì)的行人或機(jī)動(dòng)車,后續(xù)的演化更容易積累擴(kuò)大優(yōu)勢(shì),以更高的概率選擇通過(guò)；初始處于弱勢(shì)的博弈主體在演化中會(huì)變得更弱,即通過(guò)概率不斷降低.這里說(shuō)的行人或機(jī)動(dòng)車占據(jù)優(yōu)勢(shì)是指其通過(guò)概率較高.

這是由于沖突損失大于等待損失,行人和機(jī)動(dòng)車為了降低自己的損失,都會(huì)選擇盡量不與對(duì)方發(fā)生沖突,不會(huì)出現(xiàn)“人不讓車,車不讓人”；但是互讓損失的存在,又使行人和機(jī)動(dòng)車不至于都不通過(guò),也不會(huì)出現(xiàn)“人讓車,同時(shí)車讓人”.經(jīng)過(guò)反復(fù)博弈,最終行人與機(jī)動(dòng)車達(dá)成“人讓車”或者“車讓人”的協(xié)調(diào).

2)＜R且＞S

行人的等待損失小于其沖突損失,機(jī)動(dòng)車的等待損失大于其沖突損失.此時(shí),系統(tǒng)有4個(gè)均衡點(diǎn):(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).計(jì)算每個(gè)均衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性如表7.

此時(shí)人車博弈系統(tǒng)有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)(0,1),兩個(gè)鞍點(diǎn)(1,0),(1,1),特殊的系統(tǒng)初始狀態(tài)可能會(huì)收斂于這兩個(gè)鞍點(diǎn).

取J=1,R?M=2,K=2,S?N=?4以滿足當(dāng)前條件＜R且＞S,做出不同初始值下(x,y)的演化路徑圖,分析其演化規(guī)律.

如圖5所示,在＜R且＞S條件下,對(duì)于任何初始值,人車博弈系統(tǒng)都會(huì)以極快的速度收斂于(0,1),除了y=0或x=1時(shí),系統(tǒng)分別會(huì)收斂于鞍點(diǎn)(1,0)和(1,1).

這是由于機(jī)動(dòng)車的等待損失大于其沖突損失,選擇通過(guò)是其嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)策略,而行人的等待損失小于其沖突損失,行人的最佳對(duì)策是選擇避讓,從而系統(tǒng)存在純策略納什均衡,即為(0,1),機(jī)動(dòng)車選擇通過(guò),行人選擇不通過(guò),“人讓車”.

表7 ＜R且＞S時(shí)的均衡點(diǎn)類型判斷Table 7.The discriminant of equilibrium point type when ＜R and ＞S.

圖5 ＜R且＞S時(shí)的x-y演化路徑圖Fig.5.The evolutionary path of x-y when ＜R and ＞S.

a)初始機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率y=0時(shí),如果機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率沒(méi)有任何“突變”,根據(jù)(9)式,機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率y無(wú)法向其嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)策略y=1演化增長(zhǎng),這相當(dāng)于機(jī)動(dòng)車不知道自己還可以選擇通過(guò)這種策略,所以只能一直選擇不通過(guò),雖然其嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)策略是通過(guò).機(jī)動(dòng)車選擇不通過(guò),行人的最佳對(duì)策是通過(guò),所以如果x=0,系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的演化必然收斂于鞍點(diǎn)(1,0)“車讓人”.

b)初始行人通過(guò)概率x=1時(shí),如果行人通過(guò)概率也沒(méi)有任何“突變”,根據(jù)(5)式,行人通過(guò)概率x無(wú)法向其最佳對(duì)策x=0演化,這相當(dāng)于行人不知道自己還可以選擇不通過(guò)這種策略,所以只能一直選擇通過(guò),雖然通過(guò)不是其最佳對(duì)策.而機(jī)動(dòng)車通過(guò)的概率y必然向其嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)策略y=1演化,從而系統(tǒng)收斂于(1,1)“人不讓人,車不讓車”.

另外,收斂于以上兩個(gè)鞍點(diǎn)“車讓人”和“人不讓車,車不讓人”的條件分別是初始情況下機(jī)動(dòng)車通過(guò)的概率為0及行人通過(guò)的概率為1,一旦機(jī)動(dòng)車(行人)發(fā)生“突變”,這相當(dāng)于機(jī)動(dòng)車(行人)發(fā)現(xiàn)自己還可以選擇通過(guò)(不通過(guò))這種策略,人車博弈系統(tǒng)將不可逆地收斂于“人讓車”,這也比較符合現(xiàn)實(shí)的規(guī)律.

3)＞R且＜S

行人的等待損失大于其沖突損失,機(jī)動(dòng)車的等待損失小于其沖突損失.此時(shí),系統(tǒng)有4個(gè)均衡點(diǎn):(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).

計(jì)算每個(gè)均衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性如表8.取J=1,R?M=?2,K=2,S?N=4,做出不同初始值下(x,y)的演化路徑圖,如圖6.由于博弈矩陣變量的完全對(duì)稱性,此時(shí)＞R且＜S與＜R且＞S是完全對(duì)稱的,不做重復(fù)分析.

表8 ＞R且＜S時(shí)的均衡點(diǎn)類型判斷Table 8.The discriminant of equilibrium point type when ＞R and ＜S.

圖6 ＞R且＜S時(shí)的x-y演化路徑圖Fig.6.The evolutionary path of x-y when ＞R and ＜S.

4)＞R且＞S

行人的等待損失大于其沖突損失,機(jī)動(dòng)車的等待損失大于其沖突損失.此時(shí),系統(tǒng)有4個(gè)均衡點(diǎn):(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).計(jì)算每個(gè)均衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性如表9.此時(shí)系統(tǒng)有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)(1,1),兩個(gè)鞍點(diǎn)(1,0),(0,1).

取J=1,R?M=?2,K=2,S?N=?4以滿足當(dāng)前條件＞R且＞S,做出不同初始值下(x,y)的演化路徑圖,分析其演化規(guī)律.

如圖7所示,系統(tǒng)絕大多數(shù)的初始值,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的演化,最終都會(huì)收斂到穩(wěn)定點(diǎn)(1,1)“人不讓人,車不讓車”.在初始值x=0且x不發(fā)生“突變”時(shí),會(huì)收斂到鞍點(diǎn)(0,1)“人讓車”；在初始值y=0且y不發(fā)生“突變”時(shí),會(huì)收斂到鞍點(diǎn)(1,0)“車讓人”.

這是由于行人與機(jī)動(dòng)車的等待損失均大于其沖突損失,此時(shí)(通過(guò),通過(guò))是惟一的純策略或混合策略納什均衡點(diǎn).絕大多數(shù)情況下,系統(tǒng)將向著“人不讓人,車不讓車”的方向演化.

表9 ＞R且＞S時(shí)的均衡點(diǎn)類型判斷Table 9.The discriminant of equilibrium point type when ＞R and ＞S.

圖7 ＞R且＞S時(shí)的x-y演化路徑圖Fig.7.The evolutionary path of x-y when ＞R and ＞S.

5 靈敏度分析

前文討論了各種情況下人車博弈系統(tǒng)均衡點(diǎn)的位置和穩(wěn)定性,并分析了系統(tǒng)的演化機(jī)理.分析演化機(jī)理時(shí),是通過(guò)取一組滿足當(dāng)前條件的典型值,做出演化路徑圖展開分析的.雖然典型值的選取不會(huì)影響均衡點(diǎn)的位置和穩(wěn)定性以及演化路徑的基本輪廓,但卻會(huì)影響著系統(tǒng)收斂于均衡點(diǎn)的收斂速度.為此下文將分析基于博弈矩陣的四個(gè)參數(shù)J,K,R?M,S?N,對(duì)于系統(tǒng)收斂到均衡點(diǎn)的靈敏度.

將(5)和(9)式的行人與機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程分別對(duì)J,K,R?M,S?N求導(dǎo)得:

可以看出x,y關(guān)于t的變化率是隨著J,K的增加而增加,隨著R?M,S?N的增加而減小.由于x,y既可能收斂于1,也可能收斂于0,即收斂方向不同,所以J,K,R?M,S?N既可能加快收斂速度,也可能減慢收斂速度.下面將通過(guò)Matlab編程做出幾種典型情況下,行人與機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率隨時(shí)間的演化收斂圖,進(jìn)而分析J,K,R?M,S?N對(duì)收斂速度的作用.J,K,R?M,S?N的一組取值只為了說(shuō)明一種典型,沒(méi)有其他的特別依據(jù).

為了便于分析觀察,本節(jié)不再像4.2節(jié)取11×11個(gè)系統(tǒng)初始值,做出不同初始值下系統(tǒng)的演化路徑,而是單方面取系統(tǒng)初始狀態(tài)(x0,y0)=(0.7,0.3)作為典型,展開仿真分析.由于博弈矩陣中機(jī)動(dòng)車與行人的支付變量是完全對(duì)稱的,所以如果分析系統(tǒng)初始狀態(tài)為(x0,y0)=(0.7,0.3)時(shí)的演化收斂圖,會(huì)與(x0,y0)=(0.3,0.7)完全類似.

5.1 J,K的靈敏度分析

為了控制變量,在進(jìn)行J,K靈敏度分析時(shí),需要固定R?M,S?N的取值.這里R－M取5,而S?N分別取5和－5,以保證能夠做出兩組演化收斂圖,用以分析x,y收斂于0和收斂于1的兩種情況.另外,在進(jìn)行J的靈敏度分析,還要控制K為某一定值,然后J分別取一組不同值,用以分析J的變化對(duì)于行人通過(guò)概率的靈敏度.在進(jìn)行K的靈敏度分析時(shí)也要進(jìn)行類似設(shè)定.系統(tǒng)初始狀態(tài)(x0,y0)取(0.7,0.3).

1)J的靈敏度分析

取R?M=S?N=5,(x0,y0)=(0.7,0.3),J分別取1,3,5,7,9,K=1,做出行人通過(guò)概率的演化收斂圖,如圖8(a).取S?N=?5,其他參數(shù)不變,做出另外一個(gè)行人通過(guò)概率的演化收斂圖,如圖8(b).圖中灰色的線由淺到深對(duì)應(yīng)著J值的增大,實(shí)線對(duì)應(yīng)的是行人通過(guò)概率的演化情況,虛線對(duì)應(yīng)的是同時(shí)機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率的演化情況,橫軸是演化時(shí)間,縱軸對(duì)應(yīng)行人或機(jī)動(dòng)車的通過(guò)概率.

圖8(a)是研究S＞N(S?N=5)場(chǎng)景下,行人通過(guò)概率的演化關(guān)于行人互讓損失J的靈敏度圖.顯然行人互讓損失J的增大,使行人通過(guò)概率x更快地收斂于1,且過(guò)程由曲折變得直接,系統(tǒng)則更快地收斂于“車讓人”.即行人互讓損失的增加會(huì)促進(jìn)沖突時(shí)行人通過(guò)概率的增大.

如圖8(b)是研究＞N(S?N=?5)場(chǎng)景下,行人通過(guò)概率關(guān)于行人互讓損失J的靈敏度圖.顯然行人互讓損失J的增大,使行人通過(guò)的概率x更慢地收斂于0,且過(guò)程更加曲折.即行人互讓損失的增加會(huì)抑制沖突時(shí)行人通過(guò)概率的下降.

2)K的靈敏度分析

取R?M=S?N=5,(x0,y0)=(0.7,0.3),K分別取1,3,5,7,9,J=1,做出機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率的演化收斂圖,如圖9(a).取S?N=?5,其他參數(shù)不變,做出另外一個(gè)機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率的演化收斂圖,如圖9(b).圖中灰色的線由淺到深對(duì)應(yīng)著K值的增大,虛線對(duì)應(yīng)的是機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率的演化情況,實(shí)線對(duì)應(yīng)的是同時(shí)行人通過(guò)概率的演化情況,橫軸是演化時(shí)間,縱軸對(duì)應(yīng)行人或機(jī)動(dòng)車的通過(guò)概率.

圖9(a)是研究機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率關(guān)于機(jī)動(dòng)車互讓損失K在S＞N(S?N=5)場(chǎng)景下的靈敏度圖.可見機(jī)動(dòng)車互讓損失K的增加,可能改變機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率y的收斂方向,能夠減緩機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率收斂于0.即機(jī)動(dòng)車互讓損失的增加會(huì)抑制沖突時(shí)機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率的下降.

圖9(b)是另一個(gè)研究機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率關(guān)于機(jī)動(dòng)車互讓損失K在＞N(S?N=?5)場(chǎng)景下的靈敏度圖.可見機(jī)動(dòng)車互讓損失K的增加,加速了機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率y收斂于1,且這種加速效果后期比較顯著.即機(jī)動(dòng)車互讓損失的增加會(huì)促進(jìn)沖突時(shí)機(jī)動(dòng)車選擇通過(guò)概率的增大.

圖8 行人通過(guò)概率的演化收斂圖 (a)S?N=5；(b)S?N=?5Fig.8.Evolutionary convergence of pedestrian passing probability:(a)S?N=5；(b)S?N=?5.

圖9 機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率的演化收斂圖 (a)S?N=5；(b)S?N=?5Fig.9.Evolutionary convergence of vehicle passing probability:(a)S?N=5；(b)S?N=?5.

5.2 R?M,S?N的靈敏度分析

類似地,在進(jìn)行R?M,S?N的靈敏度分析時(shí),需要固定J,K的取值,這里取J=K=5.

另外,在進(jìn)行R?M的靈敏度分析時(shí),還要控制S?N為某一定值,然后R?M分別取一組不同值,來(lái)分析R?M的變化對(duì)于行人通過(guò)概率的靈敏度.

同樣,在進(jìn)行S?N的靈敏度分析時(shí),也要進(jìn)行類似設(shè)定.系統(tǒng)初始狀態(tài)(x0,y0)取(0.7,0.3).

下面分析R?M,S?N對(duì)應(yīng)的實(shí)際交通意義.R?M,S?N看上去是行人或者機(jī)動(dòng)車沖突損失和等待損失之差,實(shí)際上它還有其他含義.

當(dāng)決策主體面臨多個(gè)決策時(shí),被舍棄的選項(xiàng)的最高價(jià)值即為本次決策的機(jī)會(huì)成本[17].將機(jī)會(huì)成本引入到博弈論里,本文定義了如下的機(jī)會(huì)損失的概念:博弈主體有多個(gè)策略,當(dāng)博弈主體選擇某個(gè)策略,被舍棄的策略的最高得益與當(dāng)前選擇策略的得益之差即為機(jī)會(huì)損失.

如表3,分析行人選擇通過(guò),機(jī)動(dòng)車也選擇通過(guò)時(shí),行人的機(jī)會(huì)損失為P?M?(P?R)=R?M.同樣,行人選擇不通過(guò),機(jī)動(dòng)車選擇不通過(guò)時(shí),行人的機(jī)會(huì)損失為P?(P?J)=J,所以互讓損失也是行人選擇不通過(guò)、機(jī)動(dòng)車也選擇不通過(guò)時(shí)行人的機(jī)會(huì)損失.

所以R?M,S?N是行人或機(jī)動(dòng)車選擇通過(guò),博弈對(duì)方也選擇通過(guò)時(shí),行人或機(jī)動(dòng)車的機(jī)會(huì)損失.下文為了簡(jiǎn)化表述,直接將R?M,S?N稱為行人或機(jī)動(dòng)車的機(jī)會(huì)損失.

1)R?M的靈敏度分析

取J=K=5,S?N=?5,R?M分別取?10,?8,?6,?4,?2,0,2,4,6,8,10,(x0,y0)取(0.7,0.3).做出行人通過(guò)概率的演化收斂圖,如圖10.左手坐標(biāo)系,x軸為演化時(shí)間,y軸為機(jī)會(huì)損失,z軸為行人通過(guò)概率.

圖10 行人通過(guò)概率的演化收斂圖Fig.10.Evolutionary convergence of pedestrian passing probability.

圖10是不同行人的機(jī)會(huì)損失下,行人通過(guò)概率的演化收斂圖.當(dāng)行人通過(guò)概率收斂于1時(shí),行人機(jī)會(huì)損失的增加,減緩了收斂的速度；當(dāng)行人通過(guò)概率收斂于0時(shí),行人機(jī)會(huì)損失的增加,加快了收斂的速度.即行人機(jī)會(huì)損失的增加會(huì)抑制行人通過(guò)概率的上升,促進(jìn)行人通過(guò)概率的下降.

2)S?N的靈敏度分析

取J=K=5,R?M=?5,S?N分別取?10,?8,?6,?4,?2,0,2,4,6,8,10,(x0,y0)取(0.7,0.3).做出機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率的演化收斂圖,如圖11.

圖11 機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率的演化收斂圖Fig.11.Evolutionary convergence of vehicle passing probability.

圖11是不同機(jī)動(dòng)車的機(jī)會(huì)損失下,機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率的演化收斂圖.當(dāng)機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率收斂于1時(shí),機(jī)動(dòng)車機(jī)會(huì)損失的增加,減緩了收斂的速度；當(dāng)機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率收斂于0時(shí),機(jī)動(dòng)車機(jī)會(huì)損失的增加,加快了收斂的速度.即機(jī)動(dòng)車機(jī)會(huì)損失的增加會(huì)抑制機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率的上升,促進(jìn)機(jī)動(dòng)車通過(guò)概率的下降.

6 總 結(jié)

本文在對(duì)行人與機(jī)動(dòng)車的沖突情景進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上,提出了基礎(chǔ)收益、沖突損失、等待損失以及互讓損失的概念,據(jù)此構(gòu)建了行人與機(jī)動(dòng)車的沖突博弈矩陣.然后引入演化分析范式,計(jì)算行人與機(jī)動(dòng)車選擇通過(guò)的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程,建立行人與機(jī)動(dòng)車沖突演化的動(dòng)力學(xué)模型,來(lái)分析不同條件下系統(tǒng)的演化方向及演化速率.

表10 不同的沖突損失和等待損失相對(duì)大小對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的演化方向Table 10.The relative size between con fl ict loss and waiting loss are different,corresponding to different evolution direction of the system.

研究發(fā)現(xiàn),不同的沖突損失和等待損失相對(duì)大小,對(duì)應(yīng)人車沖突系統(tǒng)的穩(wěn)定點(diǎn)及演化方向不同,如表10所列.另外,行人或機(jī)動(dòng)車互讓損失的增加對(duì)各自通過(guò)概率有上升促進(jìn)和下降抑制作用,而機(jī)會(huì)損失增加對(duì)通過(guò)概率的作用則與互讓損失恰好相反.

需要說(shuō)明的是,本文雖為人車沖突演化機(jī)理的動(dòng)力學(xué)模型研究,但對(duì)交通實(shí)踐仍具有一定的指導(dǎo)意義.例如,某城市由于歷史原因,行人處于交通弱勢(shì),在與機(jī)動(dòng)車發(fā)生沖突時(shí),總是車輛先行.由于行人沖突損失大于其等待損失,與車輛搶行只能徒增其損失,而車輛處于最大得益狀態(tài),亦無(wú)改變現(xiàn)狀的意愿,所以人車沖突系統(tǒng)處于“人讓車”的穩(wěn)定狀態(tài),沒(méi)有外力干預(yù)無(wú)法改變現(xiàn)狀.此時(shí),如果交通管理部門為提升道路交通文明,希望改變當(dāng)前的人車沖突狀況,實(shí)現(xiàn)“車讓人”.則可以根據(jù)本文建立的模型,制定相關(guān)交通法規(guī)等改變博弈矩陣某些參數(shù),定向調(diào)整人車沖突系統(tǒng)的演化方向?yàn)椤败囎屓恕?同時(shí)避免了法規(guī)制定不當(dāng),致使系統(tǒng)進(jìn)入“人讓車,同時(shí)車讓人”的交通效率低下局面,又或者進(jìn)入“人不讓車,車不讓人”的事故頻發(fā)局面.

最后,本文是對(duì)于使用演化博弈模型解釋人車沖突演化機(jī)理的一個(gè)初步研究,后續(xù)研究仍需選擇具體實(shí)例標(biāo)定各參數(shù),以進(jìn)一步評(píng)價(jià)模型的合理性.考慮使用延誤和風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)組合來(lái)量化損益,確定模型中博弈矩陣各參數(shù).其中延誤的確定可以利用交通流間隙理論建立模型計(jì)算；風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)的確定需要調(diào)查大量數(shù)據(jù),以擬合不同行人及駕駛員的性別、年齡等自然屬性與其過(guò)街風(fēng)險(xiǎn)偏好的相關(guān)關(guān)系,例如年輕人過(guò)街的風(fēng)險(xiǎn)偏好可能是偏冒險(xiǎn)型,其風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)應(yīng)為小于1的一個(gè)折減系數(shù),而年齡大的人過(guò)街的風(fēng)險(xiǎn)偏好可能偏保守型,其風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)應(yīng)為大于1的一個(gè)擴(kuò)增系數(shù).模型驗(yàn)證可以選擇一個(gè)實(shí)例人車沖突交叉口,調(diào)查相關(guān)數(shù)據(jù),確定博弈矩陣各參數(shù),根據(jù)模型計(jì)算沖突演化路徑及演化結(jié)果,如演化結(jié)果與實(shí)例交叉口情形相一致,則模型具有一定合理性,進(jìn)而可以用演化路徑圖來(lái)分析該交叉口的演化過(guò)程.