董 勝，廖振焜，馮 亮，陶山山

（中國海洋大學(xué) 工程學(xué)院，山東 青島 266100）

0 引 言

隨著陸上及近海石油的日益枯竭，深海油氣資源勘探及開發(fā)成為我國保持經(jīng)濟社會發(fā)展的必然選擇。我國南海海域極易遭受臺風(fēng)等極端氣象災(zāi)害的侵襲，因而在該海域建造海洋石油平臺時應(yīng)當慎重考慮各種環(huán)境要素的影響。以往以單個環(huán)境要素為標準設(shè)計海洋平臺無法反映平臺所處的真實海洋環(huán)境條件。美國API規(guī)范[1]中針對近海固定式平臺的設(shè)計和建造提出了同時考慮惡劣環(huán)境條件下風(fēng)、浪、流等疊加的組合。我國海洋平臺設(shè)計規(guī)范[2]也部分選用了單因素頻率分析法對海洋環(huán)境參數(shù)進行估計，并選用各環(huán)境參數(shù)不同組合的疊加作為最終的設(shè)計準則。在這種標準下，各環(huán)境要素被視為獨立的。但實際的海洋環(huán)境并非如此，各環(huán)境要素具有一定的相關(guān)性。

海洋平臺的環(huán)境荷載設(shè)計標準必須兼顧安全性和經(jīng)濟性。在保證安全的前提下，單因素組合法所設(shè)計的標準趨于保守。不同極端海洋環(huán)境要素同時出現(xiàn)是一個小概率事件，將其用作設(shè)計標準與實際情況不符，會導(dǎo)致設(shè)計參數(shù)偏高，從而增加平臺的建造成本。因此選取以一種環(huán)境要素為主要素，同時發(fā)生的其他環(huán)境要素為條件要素的伴隨樣本，進行相關(guān)聯(lián)合概率設(shè)計標準的研究具有實際意義。

海洋環(huán)境要素聯(lián)合概率研究有三種方法[3-4]：隨機模擬法、極值響應(yīng)法和多元極值理論。其中，多元極值理論可以利用海洋環(huán)境要素的聯(lián)合分布進行求解，因而更加符合實際。Coles和Tawn[5-6]概括了對稱logistic模型、非對稱logistic模型、負非對稱logistic模型、Dirichlet模型、Bilogistic模型、嵌套logistic模型等。這些模型種類繁多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且邊緣一般限制使用極值分布，實際應(yīng)用受到了限制。Zachary[7]利用三維logistic模型計算波高及其相應(yīng)周期、風(fēng)速聯(lián)合發(fā)生的概率，該模型要求各個變量之間的相關(guān)性完全對稱，這在實際應(yīng)用中往往難以滿足，而嵌套logistic模型并無此限制。Liu等[8]基于嵌套logistic模型構(gòu)造了三維Poisson復(fù)合極值分布，以探討黃海海域極值波高、周期和風(fēng)速的統(tǒng)計規(guī)律。

本文選用最大熵分布作為三維嵌套邏輯模型的邊緣，對南海某海域有效波高、周期和風(fēng)速進行數(shù)據(jù)擬合，構(gòu)造聯(lián)合概率模型，給出三種多維海洋環(huán)境條件下的海洋平臺聯(lián)合設(shè)計標準，并且推導(dǎo)出相應(yīng)的聯(lián)合重現(xiàn)值，為海洋平臺的設(shè)計提供參考。

1 基于最大熵邊緣的三維嵌套邏輯模型

Zhang等[9]提出的最大熵分布的分布函數(shù)為

式中：β，γ，ξ和 a0為最大熵分布的四個參數(shù)，κ為 β，γ，ξ的組合，由下式給出：

嵌套logistic模型的邊緣一般選取Gumbel分布、Weibull分布等極值型分布。由于以上分布大多為最大熵分布的特例（如表1），所以我們建立基于最大熵邊緣的三維嵌套邏輯模型，進而對波高、風(fēng)速和周期進行三維概率分析。

設(shè)G（ x1, x2,x3）表示隨機向量 （X1, X2,X3）的三維聯(lián)合分布，則三維嵌套邏輯模型的一般表達式為

表1 最大熵分布與其他分布類型的關(guān)系Tab.1 Relationship between maximum entropy distribution and other probability distributions

式中：α和β為相關(guān)參數(shù)，且0≤α，β≤1。若α→0，且β→0，則變量之間近于完全相關(guān)；若α→1，且β→1，則變量之間近于相互獨立。

其聯(lián)合密度函數(shù)g（x1,x2,x3）為

2000年，法國國營鐵路公司(SNCF)采用CFRP研制出雙層TGV型車體(見圖2)，其相對鋁合金車體減重約25%，并且通過線路運行驗證了CFRP 在強度、沖擊、防火、降噪、隔熱等性能方面的優(yōu)點和工業(yè)可行性。

式中：

史道濟[13]給出了當H1（x1）、H2（x2）和H3（x3）均服從標準Gumbel分布時，相關(guān)參數(shù) α 和 β 的矩估計，見（9）式和（10）式。

式中：r12、r13、r23分別為變量 （X1,X2）、（X1,X3）、（X2,X3）的線性相關(guān)系數(shù)。該表達式簡化了復(fù)雜的相關(guān)函數(shù)，為工程界應(yīng)用三維嵌套邏輯模型提供了良好的計算方法。

若H1（x1）、H2（x2）和H3（x3）均為最大熵類型分布，則公式（3）可稱為基于最大熵邊緣的三維嵌套邏輯模型。其中

式中：βi，γi，ξi和a0i為第i個最大熵分布的參數(shù)；hi（xi）為第i個最大熵分布的密度函數(shù)。 αi為 βi，γi，ξi的組合（如（2）式）。

與Nataf變換類似，設(shè)隨機變量Xi（i=1,2,3）的樣本為xi1，xi2，…，xin，其對應(yīng)的最大熵分布函數(shù)值為Hi（xi1），Hi（xi2），…，Hi（xin），令于是得到服從標準 Gumbel分布的新樣本yi1，yi2，…，yin（y=1,2,3），根據(jù)（9）式和（10）式求解三維嵌套邏輯模型相關(guān)參數(shù)α和β的值。

在三維嵌套邏輯模型中，由于模型是非對稱的，因此三個隨機變量X1，X2，X3如何排列非常關(guān)鍵。根據(jù)參數(shù)α和β的矩估計結(jié)果，可得

因此

所以r12應(yīng)取三個相關(guān)系數(shù)中最大的那個值，否則β就有可能大于1，這樣就確定了第三個變量。而第一和第二個變量的位置，在三維嵌套邏輯模型中是等價的。

2 數(shù)據(jù)來源及最大熵邊緣擬合

選用南海潿洲島海域附近觀測結(jié)果：風(fēng)場為1976～2005年的再分析數(shù)據(jù)，分辨率0.2°×0.2°，時間間隔6小時；波浪計算采用WAVEWATCH-III波浪模式，分辨率0.25°×0.25°，時間間隔6小時。圖1為所取點位示意圖；選取4點1976～2005年風(fēng)速年最大值及對應(yīng)的波高、周期序列，其中波高為有效波高，周期為平均周期，波向采用的是航海坐標。利用最大熵分布對數(shù)據(jù)進行一維擬合。取置信水平為0.05，由于數(shù)據(jù)長度n=30，所以利用K-S（Kolmogorov-Smirnov）檢驗可知，統(tǒng)計量D30,0.05=0.241 7。擬合結(jié)果見圖2～4及表2。

在表2中，有效波高、平均周期和風(fēng)速的K-S檢驗統(tǒng)計量Dn均小于D30,0.05。因此由K-S檢驗可知，三種環(huán)境均通過檢驗，并且三者的平均離差平方和Q值也都較小，結(jié)合圖2～4說明擬合得到的最大熵分布曲線與數(shù)據(jù)偏差較小。因此，最大熵分布擬合有效波高、平均周期和風(fēng)速邊緣數(shù)據(jù)結(jié)果良好。

圖1 所取點位示意圖 Fig.1 Location diagram of selected points

圖2 年極值風(fēng)速擬合曲線Fig.2 Fitting curve of annual extreme wind speed

圖3 伴隨的有效波高擬合曲線Fig.3 Fitting curve of concomitant significant wave height

圖4 伴隨的平均周期擬合曲線Fig.4 Fitting curve of concomitant average period

表2 最大熵分布擬合結(jié)果Tab.2 Fitting results of maximum entropy distribution

3 海洋平臺環(huán)境條件聯(lián)合設(shè)計標準

目前，在海洋平臺的設(shè)計中，我國通常取重現(xiàn)期為50年的環(huán)境條件，但為何選取50年一遇的設(shè)計參數(shù)，仍沒有明確的理論依據(jù)，缺乏必要的論證分析。國內(nèi)外傳統(tǒng)的確定海洋環(huán)境條件設(shè)計參數(shù)的方法是：不考慮各種災(zāi)害動力環(huán)境條件之間的相關(guān)性，分別對其進行長期統(tǒng)計分析，選用不同重現(xiàn)期的動力因素值，將其疊加后用作設(shè)計標準。比如，在海洋工程設(shè)計中取波高、風(fēng)速和流速分別為50年一遇值作為設(shè)計標準[14]。但實際上，不同的極端海洋環(huán)境條件同時出現(xiàn)的概率非常小，因此將其用作設(shè)計標準不符合客觀情況，其概率意義不清晰，對結(jié)構(gòu)做出的可靠性評價與實際情況有較大的出入。偏高的設(shè)計參數(shù)將導(dǎo)致過于安全、龐大的海洋結(jié)構(gòu)，相應(yīng)增加了投資成本，導(dǎo)致某些油田不具備開采價值。因此，如何準確預(yù)測海上環(huán)境條件的聯(lián)合重現(xiàn)期，進而推求聯(lián)合重現(xiàn)值，對設(shè)計時兼顧海洋平臺的安全性和經(jīng)濟性至關(guān)重要。

本文利用基于最大熵邊緣的三維嵌套邏輯模型，給出了三種多維海洋環(huán)境條件下的聯(lián)合設(shè)計標準（如表3），并且推導(dǎo)出相應(yīng)的聯(lián)合重現(xiàn)值，為海洋平臺的設(shè)計提供參考。冬季極端海冰荷載會對平臺造成嚴重破壞[15]，而在平時風(fēng)浪是主要破壞荷載。在表3中，風(fēng)浪荷載產(chǎn)生的基底剪力由以下公式[16]給出：

將原樣本數(shù)據(jù)xi1，xi2，…，xin（服從最大熵分布）轉(zhuǎn)化為服從標準 Gumbel分布的數(shù)據(jù)yi1，yi2，…，yin，i=1,2,3。利用參數(shù) α 和 β的矩估計（9）式和（10）式，首先求解yi1，yi2，…，yin和yj1，yj2，…，yjn（i,j=1,2,3,i≠j）的線性相關(guān)系數(shù)，最終得到相關(guān)參數(shù)的估計值；并根據(jù)各線性相關(guān)系數(shù)的大小，確定風(fēng)速（W）、有效波高（H）、平均周期（T）在三維嵌套邏輯模型中的位置。經(jīng)計算得到，線性相關(guān)系數(shù)為：rHW=0.940 2；rHT=0.962 1；rWT=0.891 4。r12應(yīng)取三個相關(guān)系數(shù)中最大的那個值，即rHT，這樣就定下了風(fēng)速為X3。由于X1和X2的位置在三維嵌套邏輯模型中等效，故令有效波高為X1，平均周期為X2。最終求得=0.287 1，

3.1 傳統(tǒng)的單因素統(tǒng)計方法

根據(jù)有效波高、平均周期和風(fēng)速的最大熵分布擬合結(jié)果，得到各自10年、20年、25年、50年和100年一遇的重現(xiàn)值，代入風(fēng)浪荷載與有效波高、風(fēng)速的關(guān)系式中，計算相應(yīng)的風(fēng)浪荷載；且根據(jù)三維嵌套邏輯模型可得單因素重現(xiàn)值情況下的聯(lián)合重現(xiàn)期，結(jié)果如表4。

表4 各環(huán)境要素重現(xiàn)值及對應(yīng)的荷載和聯(lián)合重現(xiàn)期Tab.4 Return values of environmental elements and corresponding loads and joint return periods

表4結(jié)果說明，當有效波高、平均周期、風(fēng)速均取10年一遇重現(xiàn)值時，經(jīng)三維嵌套邏輯模型計算得到的聯(lián)合重現(xiàn)期為13年。但理論上若將其視為獨立，則聯(lián)合重現(xiàn)期應(yīng)為103=1 000年。可見三個環(huán)境要素的相關(guān)性較高，其他情形類似。相應(yīng)的風(fēng)浪荷載由公式（15）求得。

3.2 條件概率分布設(shè)計法

50年一遇和100年一遇風(fēng)速對應(yīng)的有效波高、平均周期聯(lián)合概率密度等值線見圖5～6。圖中的最大峰值（眾值）處所對應(yīng)的坐標值即為最常出現(xiàn)的海洋環(huán)境條件。

圖5 五十年一遇風(fēng)速對應(yīng)的有效波高、平均周期聯(lián)合概率密度等值線圖Fig.5 Joint probability density contours of concomitant significant wave height and average period under 50-year return wind speed

圖6 百年一遇風(fēng)速對應(yīng)的有效波高、平均周期聯(lián)合概率密度等值線圖Fig.6 Joint probability density contours of concomitant significant wave height and average period under 100-year return wind speed

均值往往大于眾值，對平臺結(jié)構(gòu)設(shè)計，考慮均值更加安全一些，且其計算概念比較明確，因此同時考慮多年一遇風(fēng)速條件下有效波高、平均周期聯(lián)合概率密度的均值。在聯(lián)合概率密度等值線圖中，均值所對應(yīng)的圖像為一條曲線，取曲線中使得對應(yīng)風(fēng)浪荷載最大時點的坐標值作為所求的環(huán)境條件值。

當主要環(huán)境因素風(fēng)速取某一確定重現(xiàn)值時，另外兩個環(huán)境要素有效波高、平均周期最可能出現(xiàn)的值稱為眾值組合，其結(jié)果見表5；當主要環(huán)境要素風(fēng)速取某一確定重現(xiàn)值，另外兩個環(huán)境要素有效波高、平均周期的聯(lián)合概率密度取均值時，對應(yīng)風(fēng)浪荷載最大的環(huán)境條件組合結(jié)果如表6。

表5 風(fēng)速重現(xiàn)值與對應(yīng)最常出現(xiàn)的有效波高、平均周期，及該組合對應(yīng)的最大風(fēng)浪荷載Tab.5 Return wind speeds and the groups of significant wave height and average period which occur the most frequently,and corresponding maximal wind wave loads

表6 風(fēng)速重現(xiàn)值與有效波高、平均周期聯(lián)合概率密度均值對應(yīng)最大風(fēng)浪荷載Tab.6 Return wind speeds and the groups of significant wave height and average period which make their joint probability density equal the mean value,and corresponding maximal wind wave loads

由表5和表6可知，使用次要環(huán)境條件為均值的方法得到的風(fēng)浪荷載遠大于眾值情況下得到的結(jié)果，以此為環(huán)境條件設(shè)計的平臺更加安全。在平臺設(shè)計時，建議選取聯(lián)合密度的均值而不是眾值，來選擇海洋環(huán)境條件的聯(lián)合重現(xiàn)值。

3.3 聯(lián)合環(huán)境條件設(shè)計法

當聯(lián)合重現(xiàn)期為N年時，對應(yīng)無數(shù)組有效波高、平均周期和風(fēng)速，分別計算其對應(yīng)的風(fēng)浪荷載，取其中風(fēng)浪荷載最大值對應(yīng)的那組有效波高、平均周期和風(fēng)速作為聯(lián)合環(huán)境條件值。結(jié)果列于表7中。

表7 N年聯(lián)合重現(xiàn)期下使風(fēng)浪荷載最大的有效波高、平均周期和風(fēng)速組合Tab.7 Groups of significant wave height,average period and wind speed which make the wind wave loads largest under N-year return period

4 結(jié) 論

本文建立了邊緣分布為最大熵分布的三維嵌套邏輯模型，應(yīng)用于南海潿洲島附近海域的有效波高、周期和風(fēng)速聯(lián)合統(tǒng)計分析中，該模型克服了原有單一因素估計重現(xiàn)期的不足?？紤]不同的聯(lián)合設(shè)計條件，總結(jié)提出了三種設(shè)計標準，從客觀上解釋了現(xiàn)有單一要素重現(xiàn)期存在的不足，使得降低海洋平臺投資規(guī)模在一定條件下得以實現(xiàn)。

需要指出的是，在確定海洋平臺環(huán)境設(shè)計參數(shù)時，如何考慮平臺投資的風(fēng)險，獲得新的設(shè)計準則，對于海洋平臺的建造更有現(xiàn)實意義。另外，風(fēng)浪荷載公式的選取及其擬合仍需進一步的研究。