張熒驛 傅振亮 田雪艷 談立成
(中車唐山機(jī)車車輛有限公司,063035,唐山//第一作者,工程師)
可靠性增長數(shù)據(jù)分析是通過收集產(chǎn)品的可靠性數(shù)據(jù),不斷動(dòng)態(tài)地分析與評價(jià)產(chǎn)品可靠性水平的過程??尚尴到y(tǒng)是可通過修復(fù)性維修恢復(fù)其全部功能的產(chǎn)品??尚尴到y(tǒng)的相鄰故障間隔通常不是獨(dú)立同分布的,而非齊次泊松過程(NHPP)模型一般用來分析既不獨(dú)立也不同分布的隨機(jī)變量[1];冪律過程(PLP)模型(或AMSAA模型)是NHPP模型的一種,常被用于描述復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性模型增長和可修系統(tǒng)的可靠性分析與評估,有著非常廣泛的應(yīng)用。
如果一個(gè)計(jì)數(shù)過程{N(t),t≥0}滿足以下3個(gè)條件,則稱該過程為NHPP[1]:
(1)N(0)=0;
(2) {N(t),t≥0}具有獨(dú)立增量性,即在任意不相重疊的兩個(gè)區(qū)間內(nèi),時(shí)間發(fā)生的次數(shù)相互獨(dú)立;
Pr{N(t2)-N(t1)=k}=
(1)
當(dāng)Λ(t)=bt時(shí),NHPP減弱為齊次泊松過程(HPP)。
式中:
N(t)——故障次數(shù)函數(shù);
k——故障次數(shù);
λ(t)——故障率函數(shù)或強(qiáng)度函數(shù);
b——故障率。
當(dāng)Λ(t)具有以下強(qiáng)度函數(shù)時(shí),稱為PLP模型:
λ(t)=bβtβ-1
(2)
式中:
β——形狀參數(shù)或增長參數(shù)。
當(dāng)使用極大似然估計(jì)法時(shí),PLP模型也稱為AMSAA模型。因其強(qiáng)度函數(shù)λ(t)與Weibull分布的概率密度函數(shù)相似,因此,PLP又稱為Weibull過程[2]。
對于AMSAA模型,當(dāng)0<β<1時(shí),系統(tǒng)處于可靠性增長趨勢;當(dāng)β>1時(shí),系統(tǒng)處于可靠性下降趨勢;當(dāng)β=1時(shí),Λ(t)=bt,PLP就退化為HPP[3]。
采用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)確定故障數(shù)據(jù)是否符合AMSAA模型[3]。
Cramer-Von Mises檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:
(3)
對于定數(shù)截尾型數(shù)據(jù),
(4)
對于定時(shí)截尾型數(shù)據(jù),
(5)
式中:
M——相鄰故障時(shí)間間隔的個(gè)數(shù);
T——定時(shí)截尾時(shí)間。
對于完全樣本的概率密度函數(shù),對于未知參數(shù)θ1,θ2,…,θk的極大似然函數(shù)可表示為:
(6)
對極大似然函數(shù)取對數(shù),分別對θ1,θ2,…,θk求偏導(dǎo)數(shù),令其等于0,即可得到各參數(shù)的估計(jì)值。
一般情況下,使用的數(shù)據(jù)往往存在部分缺失,稱為刪失數(shù)據(jù)。對于單側(cè)刪失(定時(shí)截尾)數(shù)據(jù),極大似然函數(shù)修訂公式為:
(7)
其中,[R(t*)]n-k為n-k個(gè)刪失單元在截?cái)鄷r(shí)刻不發(fā)生故障的概率。對于定數(shù)截尾的數(shù)據(jù),t*被替換為tn。
二參數(shù)威布爾分布的極大似然估計(jì)對于完全和單側(cè)刪失的數(shù)據(jù),形狀參數(shù)β的估計(jì)公式如下[4]:
(8)
因此,得到參數(shù)β、b的極大似然估計(jì)值為:
對于定數(shù)截尾型數(shù)據(jù),
(9)
式中:
對于定時(shí)截尾型數(shù)據(jù),
(10)
采用Laplace分析法對數(shù)據(jù)進(jìn)行趨勢檢驗(yàn),驗(yàn)證產(chǎn)品的可靠性是否存在變化,以確定改進(jìn)措施是否有效。
單臺(tái)或多臺(tái)系統(tǒng)的定數(shù)截尾或定時(shí)截尾型數(shù)據(jù)的Laplace檢驗(yàn)可按如下步驟進(jìn)行[3]。
第一步:建立假設(shè)。
原假設(shè)H0:單臺(tái)系統(tǒng)(或多臺(tái)系統(tǒng))的故障數(shù)據(jù)服從HPP。
備擇假設(shè)H11:相鄰故障時(shí)間間隔M隨機(jī)地變長。這意味著產(chǎn)品可靠性在增長。
備擇假設(shè)H12:相鄰故障時(shí)間間隔M隨機(jī)地變短。這意味著產(chǎn)品可靠性在下降。
第二步:選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量μ。
對于定數(shù)截尾型數(shù)據(jù),
(11)
對于定時(shí)截尾型數(shù)據(jù),
(12)
第三步:根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算μ的值。
第四步:根據(jù)規(guī)定的檢驗(yàn)顯著性水平α,確定拒絕域。
無論定數(shù)截尾還是定時(shí)截尾,顯著性水平α和相鄰時(shí)間間隔數(shù)M的拒絕域是相同的。
在H0對H11的檢驗(yàn)問題中,拒絕域W1={μ<μα}。
在H0對H12的檢驗(yàn)問題中,拒絕域W2={μ>μ1-α}。
而在H0對H1=H11∪H12的檢驗(yàn)問題中,拒絕域W={μ>μ1-α/2}∪{μ<μα/2}。
其中,μα/2<μ<μ1-α/2,其值依賴于M,可查表得到。
第五步:將μ的值與μ1-α/2、μα/2比較,做出判斷。
當(dāng)μα/2<μ<μ1-α/2時(shí),接受H0,表示相鄰故障時(shí)間間隔服從指數(shù)分布,產(chǎn)品的可靠性沒有變化趨勢;
當(dāng)μ<μα?xí)r,拒絕H0,接受H11,可靠性有顯著增長趨勢;
當(dāng)μ>μ1-α?xí)r,拒絕H0,接受H12,可靠性有顯著下降趨勢。
可修系統(tǒng)往往是“修復(fù)如舊”的,可靠性水平會(huì)隨時(shí)間而改變。
針對產(chǎn)品的特性以及對該產(chǎn)品的要求選擇合適的參數(shù)以體現(xiàn)產(chǎn)品的可靠性,如平均故障次數(shù)E[N(t)]、平均首次故障時(shí)間tE[N(t)]=1、瞬時(shí)平均故障間隔時(shí)間tIMDBF和累積平均故障間隔時(shí)間tCMDBF[2,5-7]。公式如下:
(13)
E[N(t)]表示在(0,t]時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的平均故障次數(shù)。
(14)
tE[N(t)]=1是描述可修系統(tǒng)首次故障狀況的一個(gè)可靠性特征量,相當(dāng)于不可修產(chǎn)品的壽命問題。
(15)
tIMDBF表示任意t>0時(shí)刻的平均故障間隔時(shí)間(tMDBF),反映在(t,t+Δt)時(shí)間段內(nèi)系統(tǒng)當(dāng)前的移動(dòng)平均可靠性水平。
(16)
tCMDBF表示在(0,t)時(shí)間段內(nèi)累積的tMDBF,反映系統(tǒng)在時(shí)間段內(nèi)總體的可靠性水平。
截止2012年,某列車受電弓系統(tǒng)在運(yùn)營過程中共發(fā)生了351次故障,首先對運(yùn)營數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)處理,規(guī)則如下:
(1) 本案例中受電弓的序列號記錄不完善,不能使用產(chǎn)品的序列號進(jìn)行產(chǎn)品評估數(shù)據(jù)處理。由于受電弓安裝在不同車輛上,因此可將受電弓所在車輛的編號作為唯一標(biāo)識,以此將一輛車上的受電弓作為一個(gè)系統(tǒng)。
(2) 受電弓故障時(shí),有時(shí)需要通過原位修理或更換零部件進(jìn)行恢復(fù),將原位修理或更換零部件看作是“修復(fù)如舊”,當(dāng)作同一個(gè)系統(tǒng);有時(shí)則需要更換整個(gè)受電弓才能恢復(fù),將更換整個(gè)受電弓看作“修復(fù)如新”,當(dāng)作新的系統(tǒng)。
(3) 將運(yùn)營期間受電弓經(jīng)歷的無原因更換和技術(shù)整改更換看作是預(yù)防維修,并且針對受電弓維修(包括更換)情況進(jìn)行的分析都基于現(xiàn)有的預(yù)防維修。
(4) 在工程應(yīng)用中,不同產(chǎn)品的可靠性的衡量指標(biāo)不一樣,可靠性分析公式中的t既可以代表時(shí)間,也可以代表里程、循環(huán)次數(shù)。列車以運(yùn)營里程作為考核指標(biāo),因此,本文將運(yùn)營里程代入可靠性公式中的t,進(jìn)行相關(guān)可靠性計(jì)算與分析。
受電弓處理后的數(shù)據(jù)分屬298個(gè)系統(tǒng),可將這些數(shù)據(jù)看作定數(shù)截尾型數(shù)據(jù),見表1。
表1 某型受電弓定數(shù)截尾數(shù)據(jù)
將故障數(shù)據(jù)代入式(8)和式(9),可得β、b的極大似然估計(jì)值為:
將M=n-1=350,故障數(shù)據(jù)代入式(11),計(jì)算趨勢檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量μ=-32.59。
取α=0.1,可得μα/2=-1.645。由于μ<μα/2,表明此型受電弓具有增長的趨勢,顯著性水平為α/2=0.05。
上述可靠性參數(shù)的表達(dá)式如下:
當(dāng)列車運(yùn)行1年(約80萬km)時(shí),受電弓的E[N(t)]為:
次
受電弓的平均首次故障里程tE[N(t)]=1為:
圖1 受電弓平均故障次數(shù)隨運(yùn)營里程變化情況
圖2 受電弓平均故障間隔里程隨運(yùn)營里程變化情況
受電弓的平均故障間隔里程呈上升趨勢(β<1)。由于tCMDBF累積了低水平的tMDBF,所以tIMDBF比tCMDBF上升得更快。受電弓平均首次故障里程(tN(t)=1)約為33.57萬km。按年運(yùn)行80萬km計(jì)算,第一年將出現(xiàn)1.91次故障,若維修保養(yǎng)得當(dāng),則以后的故障次數(shù)將逐年減少。
本文研究了一種可修系統(tǒng)的可靠性評估方法,具體給出了隨機(jī)過程模型的選取、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、參數(shù)估計(jì)、趨勢檢驗(yàn)和可靠性參數(shù)評估方法。最后給出了一個(gè)工程實(shí)例,結(jié)果表明某列車受電弓的運(yùn)營數(shù)據(jù)服從AMSAA模型,tMDBF呈上升趨勢(β<1),隨著對受電弓的維修,其總體可靠性基本穩(wěn)定,并略有提高。該方法具有很強(qiáng)的借鑒意義,可以應(yīng)用到列車其他關(guān)鍵可修系統(tǒng)的可靠性分析與評估中。