段國(guó)榮，劉元會(huì)

(長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院，西安 710064)

0 引 言

在地下水研究中,經(jīng)常遇到有關(guān)含水層參數(shù)的估計(jì)問題。含水層參數(shù)是否可靠,決定地下水模擬計(jì)算的準(zhǔn)確性。目前,估計(jì)含水層參數(shù)的主要方法是通過分析抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù)來確定,在這方面許多專家進(jìn)行了大量的研究。標(biāo)準(zhǔn)曲線配線法[1],時(shí)間定律法(Law of Times)和拐點(diǎn)法(Method of Inflection Point)[2],非線性最小二乘法[3,4],線性回歸法[5], Sushil K.S.方法[6,7]和直線圖解法[8]等是分析抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù)的傳統(tǒng)方法,但這些方法在實(shí)際應(yīng)用中存在局限性。近年來,智能優(yōu)化算法被廣泛用于解決含水層參數(shù)問題,例如粒子群優(yōu)化算法[9],混沌人工魚群混合算法[10],改進(jìn)粒子群算法[11], 單純形-粒子群混合算法[12],單純形差分進(jìn)化混合算法[13]和改進(jìn)的花粉算法[14]等方法。郭建青,李彥等將粒子群優(yōu)化算法[9]應(yīng)用于確定含水層參數(shù),但該算法對(duì)粒子數(shù)目的大小依賴性很強(qiáng)。袁帆,劉元會(huì)等利用單純形-粒子群混合算法[18]計(jì)算含水層參數(shù)的問題,但計(jì)算結(jié)果精度不高,且粒子數(shù)目的大小和待估參數(shù)取值范圍對(duì)算法的收斂性有較大的影響。粒子群優(yōu)化算法[9]容易實(shí)現(xiàn),但常出現(xiàn)收斂速度慢,精度差和易陷入局部極值等缺陷。因此,本研究給出緊湊度和調(diào)度處理[15]的概念,與粒子群優(yōu)化算法相結(jié)合,組成一種混合策略粒子群優(yōu)化算法,即PCS-PSO算法。將PCS-PSO算法用于分析無限延伸含水層和直線隔水邊界含水層條件下的抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù),求解含水層參數(shù),試圖為含水層參數(shù)的確定提供一種新的方法。

1 優(yōu)化算法簡(jiǎn)介

1.1 PCS-PSO算法的思想

為避免粒子群優(yōu)化算法出現(xiàn)收斂速度慢,精度差,易陷入局部極值等缺陷,本研究對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn),改進(jìn)方案如下。

(1)局部搜索。為了避免粒子群優(yōu)化算法陷入局部最優(yōu),提出了緊湊度[16]的概念,若粒子處于緊湊狀態(tài)時(shí),能夠加強(qiáng)粒子群優(yōu)化算法的局部搜索能力。這里給定緊湊度閾值 來判斷相鄰兩粒子是否處于緊湊狀態(tài)。

(2)提高算法尋優(yōu)精度及收斂速度[16]。通過調(diào)度處理[16]中調(diào)度系數(shù) 的控制,能夠保證被調(diào)度的粒子在全局最優(yōu)解 周圍進(jìn)行深度搜索,這樣既能夠提高算法的尋優(yōu)精度,又能加快算法的收斂速度。

(3)全局搜索[16]。以一定的小概率[16]隨機(jī)改變粒子的當(dāng)前位置而不受全局最優(yōu)解 的影響,由于小概率 的約束,能夠提高全局搜索能力。

1.2 PCS-PSO算法的步驟

步驟1:初始化PCS-PSO算法的相關(guān)參數(shù)。

步驟2:評(píng)價(jià)各粒子的適應(yīng)度值,保存粒子個(gè)體和全局最優(yōu)位置及最優(yōu)解。

步驟3:若t

步驟4:更新各粒子的速度和位置,并更新粒子個(gè)體和全局的最優(yōu)解。

步驟5:將各粒子的適應(yīng)度值進(jìn)行降序排列。

步驟6:計(jì)算兩粒子間適應(yīng)度差值H,引入小概率p1,若H

步驟7:若pg小于收斂精度e1或pg的誤差小于相似度[17], 則k=k+1,否則轉(zhuǎn)到步驟3。

步驟8:輸出結(jié)果。

2 目標(biāo)函數(shù)與控制條件

2.1 降深表達(dá)式

(1)各向同性、均質(zhì)和無限延伸條件下的降深計(jì)算公式。根據(jù)地下水動(dòng)力學(xué)中的迭加原理,含水層中任一位置的降深可由兩部分疊加得到,即虛擬映射注水井注水和抽水實(shí)井抽水分別在該位置產(chǎn)生降深的疊加。無限延伸含水層條件下井孔的位置關(guān)系[5]如圖1所示。

圖1 無限延伸含水層條件下井孔的位置Fig.1 The position of well hole under the condition of infinitely aquifer

該情況下,含水層中任一位置的降深表達(dá)式為[18]：

s=s1+s2=[w(u1)-w(u2)]Q/4 πT

(1)

式中:T表示含水層導(dǎo)水系數(shù),m2/min;Q表示抽水流量,m3/min;s1表示實(shí)井抽水引起的降深,m;s2表示虛擬映射注水井注水引起的降深,m;w(u1)和w(u2)分別表示相應(yīng)的抽水實(shí)井和虛擬映射注水井的井函數(shù),無量綱,其表達(dá)式分別為:

(2)

式中：u1和u2為無量綱時(shí)間,表達(dá)式分別為:

(3)

式中:r是抽水實(shí)井與觀測(cè)井的距離,m;r′是虛擬映射井與觀測(cè)井的距離,m;t為抽水持續(xù)時(shí)間，min;S為儲(chǔ)水系數(shù),無量綱。

由式(2)可知,需要計(jì)算廣義積分值,利用R.Srivastava的泰斯井函數(shù)近似表達(dá)式[19]進(jìn)行計(jì)算:

W(u)=-Inu+a0+a1u+a2u2+a3u3+a4u4+a5u5,u≤1

(4)

(5)

其中的常數(shù)值分別為:a0=-0.577 72,a1=0.999 99,a2=-0.249 1,a3=-0.055 19,a4=-0.009 76,a5=0.001 08,b1=8.634 76,b2=18.059 02,b3=8.573 30,c0=3.958 50,c1=21.099 65,c2=25.632 96,c3=9.573 32。

(2)直線隔水邊界條件下的降深計(jì)算公式。直線隔水邊界含水層情況下,而其他條件與無限延伸含水層情況相同,觀測(cè)孔中水位降深的表達(dá)式如下:

(6)

2.2 目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)成

應(yīng)用PCS-PSO算法時(shí),要求待估參數(shù)向量 使如下目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最小,即:

(7)

式中:θ表示待估參數(shù)向量;s0i為開始抽水后第i時(shí)刻的實(shí)際水位降深;si為計(jì)算得到的第i時(shí)刻的水位降深;在無限延伸含水層條件下,利用式(1)計(jì)算水位降深si,在直線隔水邊界含水層條件下,利用式(6)計(jì)算水位降深si,i=1,2,…,m表示抽水試驗(yàn)中水位降深的觀測(cè)時(shí)間序列號(hào)。

2.3 算法參數(shù)控制

經(jīng)過大量試驗(yàn)分析,本研究選取緊湊度閾值Hth=100,小概率p1=0.05,調(diào)度系數(shù)c3=1.0,粒子數(shù)目維度N=20,最大迭代次數(shù)gen=200,根據(jù)文獻(xiàn)[20],含水層導(dǎo)水系數(shù)T∈[2.5,3.5] m2/min,儲(chǔ)水系數(shù)S∈[0.050,0.070],觀測(cè)井與虛擬映射井的距離r′∈[100,130] m,收斂精度e1=5×10-5,計(jì)算相似度[13]e2=10-9,最優(yōu)累計(jì)次數(shù)[13]K=20。

3 算 例

算例1引自文獻(xiàn)[14]。無限含水層條件下原始抽水試驗(yàn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)見表1,試驗(yàn)中抽水流量Q=4.543 m3/min,離抽水主井30.48 m處有一個(gè)觀測(cè)孔。

表1 原始抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù)(無限含水層)Tab.1 The drawdown& time in pumping test in infinitely aquifer

算例2引自文獻(xiàn)[13]。直線隔水邊界含水層條件下原始抽水試驗(yàn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)見表2,試驗(yàn)中抽水流量Q=4.581 m3/min, 離抽水主井30.48 m處有一個(gè)觀測(cè)孔。

表2 原始抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù)(直線隔水邊界)Tab.2 The drawdown& time in pumping test in the aquifer with impermeable boundary

3.1 不同方法計(jì)算結(jié)果的比較

表3提供了PCS-PSO算法和相關(guān)文獻(xiàn)中的其他方法在無限延伸含水層條件下求解含水層參數(shù)的結(jié)果。

表3 不同方法的計(jì)算結(jié)果Tab.3 The results of different methods

由表3可知,由PCS-PSO算法求解無限延伸含水層條件下的含水層參數(shù)時(shí),得到的目標(biāo)函數(shù)值 的精度優(yōu)于其他方法,計(jì)算時(shí)間為0.588 s,因此,PCS-PSO算法對(duì)含水層參數(shù)的計(jì)算是可靠的,運(yùn)算速度也比較快。

3.2 直線隔水邊界含水層條件下的參數(shù)計(jì)算

采用表2的數(shù)據(jù),利用PCS-PSO算法計(jì)算得到的3個(gè)參數(shù)分別為T=3.010 0 m2/min,S=0.066 2,r′=107.744 0 m,目標(biāo)函數(shù)值φ=4.260 1×10-6。為了驗(yàn)證PCS-PSO算法估計(jì)含水層參數(shù)的可靠性,將估計(jì)的3個(gè)參數(shù)代入式(6),得到水位降深計(jì)算值與觀測(cè)值的對(duì)比情況,如圖2所示。由圖2可知,隨時(shí)間變化過程中,計(jì)算的水位降深與實(shí)際觀測(cè)值非常吻合。因此,PCS-PSO算法同樣適用于分析直線隔水邊界下的抽水實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),對(duì)含水層參數(shù)的估計(jì)是可靠的。

圖2 原始數(shù)據(jù)與計(jì)算結(jié)果Fig.2 Initial data and the values of calculated

3.3 待估參數(shù)取值范圍對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響

限于篇幅下面只研究無限延伸含水層條件下算法的優(yōu)點(diǎn)。表4是在其他試驗(yàn)條件不變,令待估參數(shù)取值范圍的上限為原來的2,4,6和8倍,運(yùn)行100次程序求計(jì)算結(jié)果的平均值。收斂率、平均迭代次數(shù)、平均最優(yōu)值及標(biāo)準(zhǔn)差見表4。由表4可知,隨著待估參數(shù)范圍的增大,PSO算法的收斂率快速下降,平均迭代次數(shù)快速上升,而PCS-PSO算法的收斂率保持不變,高達(dá)100%,平均迭代次數(shù)基本保持不變;PCS-PSO算法標(biāo)準(zhǔn)差的精度明顯高于PSO算法,由此可知PCS-PSO算法收斂速度較快,收斂性較好,穩(wěn)定性較好。

表4 待估參數(shù)取值范圍的上限擴(kuò)大為原來的不同倍數(shù)時(shí)PCS-PSO算法與PSO算法的計(jì)算結(jié)果Tab.4 The calculated results of PCS-PSO and PSO under being estimated parameters from the upper limit of the range expand to the original different multiples

4 結(jié) 論

數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:PCS-PSO算法能有效地估計(jì)無限延伸含水層和直線隔水邊界含水層條件下的含水層參數(shù);PCS-PSO算法計(jì)算得到的目標(biāo)函數(shù)值φ(θ)精度優(yōu)于其他方法;擴(kuò)大待估參數(shù)取值范圍對(duì)PCS-PSO算法的收斂性及收斂速度影響很小,明顯優(yōu)于PSO算法;PCS-PSO算法估計(jì)含水層參數(shù)時(shí),精度高,收斂性好,收斂速度快,穩(wěn)定性好及尋優(yōu)率高。因此,PCS-PSO算法是分析抽水實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),確定含水層參數(shù)的有效方法。

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