趙軍龍 張譯丹 楊名

(安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院,合肥 230601)

(2018年1月5日收到;2018年3月26日收到修改稿)

量子度量學(xué)是研究量子測(cè)量與統(tǒng)計(jì)推斷的一門學(xué)科,主要利用量子手段來(lái)提高參數(shù)估計(jì)的精度,在量子信息處理與測(cè)量中起到關(guān)鍵作用.量子參數(shù)估計(jì)的一般過(guò)程包含四個(gè)步驟:探針態(tài)的制備、參數(shù)化過(guò)程、對(duì)參數(shù)化后的輸出態(tài)進(jìn)行測(cè)量以及根據(jù)測(cè)量結(jié)果估計(jì)待測(cè)參數(shù).其中探針態(tài)的選取對(duì)測(cè)量精度起著至關(guān)重要的作用.然而在實(shí)際的量子探針態(tài)的制備過(guò)程中,初始探針態(tài)會(huì)受到環(huán)境噪聲的影響.目前人們已經(jīng)研究了W態(tài)與Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)態(tài)的量子Fisher信息(QFI)在典型噪聲通道下的變化行為.由于W態(tài)與GHZ態(tài)有著不同的糾纏性質(zhì),對(duì)于W態(tài)與GHZ態(tài)的疊加態(tài)的QFI動(dòng)力學(xué)研究具有重要的實(shí)際意義.故此,本文主要研究典型噪聲通道對(duì)這兩種狀態(tài)的疊加態(tài)的QFI動(dòng)力學(xué)行為的影響,得出了QFI隨噪聲參數(shù)的變化行為.結(jié)果表明,疊加態(tài)中W態(tài)組分可明顯對(duì)抗相位阻尼噪聲對(duì)探針態(tài)的QFI的影響,而其中的GHZ態(tài)組分可明顯對(duì)抗振幅阻尼噪聲的影響,從而為在實(shí)際環(huán)境中選取高精度的參數(shù)估計(jì)過(guò)程提供參考.

1 引 言

量子度量學(xué)是關(guān)于量子參數(shù)估計(jì)的一門學(xué)科,主要利用量子手段進(jìn)行高分辨率與高敏感度測(cè)量[1].在傳統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)中,可以達(dá)到的測(cè)量精度受到散粒噪聲極限的限制,為了進(jìn)一步提高參數(shù)估計(jì)的精度,需要引入量子技術(shù),也就是利用粒子的量子性質(zhì)來(lái)提高參數(shù)估計(jì)的精度.常見(jiàn)的量子特性包括量子自旋壓縮[2],量子糾纏[3,4],量子態(tài)純度[5]和量子失諧[6]等.

一般的參數(shù)估計(jì)過(guò)程包括四個(gè)步驟:探針態(tài)的制備、參數(shù)化過(guò)程、對(duì)參數(shù)化后的輸出態(tài)進(jìn)行測(cè)量以及根據(jù)測(cè)量結(jié)果估計(jì)待測(cè)參數(shù).針對(duì)上述四個(gè)步驟,Giovannetti等[7]進(jìn)行了研究并得出結(jié)論:探針態(tài)的量子性質(zhì)可以明顯提高參數(shù)估計(jì)的精度,而在測(cè)量端采用量子手段并不能明顯提高參數(shù)估計(jì)的精度.也就是說(shuō),對(duì)于參數(shù)估計(jì)精度的大小,探針態(tài)的性質(zhì)起到?jīng)Q定性的作用.

雖然同一個(gè)探針態(tài)在不同的參數(shù)化過(guò)程中對(duì)參數(shù)的敏感度不同,但是Hyllus等[3]提出了不依賴于具體參數(shù)化過(guò)程的最大量子Fisher信息的概念,定義了自旋參數(shù)化過(guò)程對(duì)于自旋角度θ的敏感度,并遍歷所有可能的參數(shù)化過(guò)程(自旋方向),使得探針態(tài)的量子Fisher信息(QFI)取最大值,即將自旋角度敏感性最大的方向上的Fisher信息作為探針態(tài)的QFI[8?11].當(dāng)一個(gè)N粒子量子態(tài)作為探針態(tài)時(shí),如果各粒子之間都是獨(dú)立的,即沒(méi)有糾纏,此時(shí)可達(dá)到的最大QFI為N,此極限稱為散粒噪聲極限.如果這N個(gè)粒子處于理想的最大糾纏態(tài),則最大QFI可以達(dá)到N2,此極限稱為Heisenberg極限[7,12].當(dāng)環(huán)境噪聲的影響考慮在內(nèi)時(shí),人們研究了量子增強(qiáng)的度量極限以及達(dá)到該極限的條件[13,14].更進(jìn)一步的研究表明,在非線性參數(shù)化過(guò)程中還可以突破Heisenberg極限[15],這里不做研究.

由于多粒子糾纏結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,多粒子態(tài)通?？梢苑譃槎鄠€(gè)不能通過(guò)局域操作和經(jīng)典通信進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換的類別,如Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)態(tài)[16],W態(tài)[17]和Cluster態(tài)[18]等.由于W態(tài)與GHZ態(tài)具有不同的糾纏性質(zhì),在典型的噪聲通道下研究W態(tài)與GHZ態(tài)度量學(xué)性質(zhì)的演化規(guī)律具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義.目前,人們已經(jīng)研究了噪聲對(duì)GHZ態(tài)[19]和W態(tài)[8]的量子度量學(xué)功能的影響,以及W態(tài)與GHZ態(tài)的疊加態(tài)中的疊加系數(shù)對(duì)QFI的影響[20?22].但W態(tài)與GHZ態(tài)的疊加態(tài)以及統(tǒng)計(jì)混合態(tài)的量子度量學(xué)功能(QFI)是否會(huì)受到噪聲的影響尚未可知,雖然有人研究了W態(tài)與GHZ態(tài)的相干疊加態(tài)的度量學(xué)功能對(duì)不同噪聲的免疫能力[23,24],但是并沒(méi)有給出這種現(xiàn)象的物理原因.故此,本文主要聚焦噪聲對(duì)三粒子W態(tài)與GHZ態(tài)的相干疊加態(tài)的QFI的影響,并尋找產(chǎn)生這種現(xiàn)象的物理根源,結(jié)果表明:疊加態(tài)中W態(tài)組分可明顯對(duì)抗相位阻尼噪聲對(duì)探針態(tài)的QFI的影響,而其中的GHZ態(tài)組分可明顯對(duì)抗振幅阻尼噪聲,從而為在實(shí)際環(huán)境中選取高精度的參數(shù)估計(jì)過(guò)程提供參考.

2 量子Fisher信息

假設(shè)待估計(jì)的參數(shù)為系統(tǒng)中某一變量 θ,則θ的估計(jì)精度極限可由量子Cramér-Rao不等式?jīng)Q定[25,26]:

其中Nm為實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù);F為量子Fisher信息,其數(shù)值越大,測(cè)量精度越高;?代表θ的標(biāo)準(zhǔn)差.量子Fisher信息是經(jīng)典Fisher信息在量子領(lǐng)域的自然拓展[27],表征量子態(tài)對(duì)參數(shù)的敏感度,其定義為[25,26,28]

其中ρθ表示含有未知參數(shù)的參數(shù)化量子態(tài),L為對(duì)稱對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)(SLD)算符,

考慮一個(gè)自旋系統(tǒng),ρθ表示由初始量子態(tài)繞某一自旋方向J旋轉(zhuǎn)θ角n度所得狀態(tài),此時(shí)自旋系統(tǒng)的量子Fisher信息為[8,9,29]

在(4)式中選取Jn=nxJx+nyJy+nzJz,n=(nx,ny,nz),分別代表繞x軸,y軸,z軸旋轉(zhuǎn)的自旋Hamilton量.為了尋找使F最大的n,可構(gòu)建一個(gè)矩陣C,其矩陣元定義為

當(dāng)ρ為純態(tài)時(shí),(6)式可以簡(jiǎn)化為

上述F(ρ,Jn)表示探針態(tài)ρ繞自旋n方向旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,對(duì)旋轉(zhuǎn)角度θ的敏感度.很顯然QFI依賴于旋轉(zhuǎn)軸的方向n,故遍歷所有可能的旋轉(zhuǎn)方向可以得到探針態(tài)ρ的最大QFI[3,8,9]:

其中λmax是矩陣C的最大本征值.

下面主要利用W態(tài)與GHZ態(tài)疊加態(tài)的最大量子Fisher信息(Fmax)的動(dòng)力學(xué)行為來(lái)研究噪聲對(duì)該疊加態(tài)的量子度量學(xué)功能的影響.

3 W態(tài)與GHZ態(tài)的疊加態(tài)在噪聲通道下的QFI動(dòng)力學(xué)

3.1 W態(tài)與GHZ態(tài)相干疊加態(tài)的最大QFI

在自旋系統(tǒng)中,GHZ態(tài)與W態(tài)的最大QFI分別為N2與3N?2[8,27],則相應(yīng)的三粒子系統(tǒng)QFI,分別為9和7.如果制備一個(gè)GHZ態(tài)與W態(tài)的相干疊加態(tài),其QFI將會(huì)是怎樣的呢？設(shè)該相干疊加態(tài)的形式如下[32]:

其中

根據(jù)(6)式—(8)式可計(jì)算出該狀態(tài)的Fmax隨著α的變化情況,如圖1所示.

圖1 W態(tài)與GHZ態(tài)的相干疊加態(tài)的QFI隨著疊加系數(shù)α的變化Fig.1.The QFI of superposition of W state and GHZ state as a function of α.

通過(guò)上面的研究可以得出:W態(tài)與GHZ態(tài)進(jìn)行相干疊加時(shí),最大QFI隨著疊加系數(shù)的減小而從GHZ態(tài)的Fmax最終減小到W態(tài)的Fmax,但減小過(guò)程不是預(yù)想中的單調(diào)過(guò)程,而是一個(gè)非單調(diào)過(guò)程.說(shuō)明兩個(gè)糾纏特性不同的多粒子糾纏態(tài)的疊加可以使該量子系統(tǒng)狀態(tài)的糾纏特性更加豐富,進(jìn)而使其量子度量學(xué)特性更加豐富.

3.2 三粒子W態(tài)與GHZ態(tài)的疊加態(tài)在噪聲通道下的QFI動(dòng)力學(xué)

環(huán)境噪聲對(duì)量子態(tài)的影響有多種形式,這里選取三種典型的噪聲作為研究對(duì)象:退極化、振幅阻尼與相位阻尼.首先討論退極化噪聲對(duì)該疊加態(tài)度量學(xué)功能的影響.

對(duì)于qubit系統(tǒng),退極化通道的Kraus算子為:

由(11)式可以計(jì)算得到該疊加態(tài)的QFI隨退極化系數(shù)p的變化,如圖2所示.

圖2 在退極化通道下W態(tài)與GHZ態(tài)的相干疊加態(tài)的最大QFI動(dòng)力學(xué)Fig.2.Dynamics of QFI for the superposition of W state and GHZ state under depolarization damping channels.

從圖2可以看出,在退極化通道下,隨著退極化過(guò)程的演進(jìn),該疊加態(tài)的Fmax呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì),最后趨于零.其物理原因不難理解,即在退極化噪聲通道中,隨著消相干過(guò)程的推進(jìn),量子態(tài)的純度不斷降低,QFI也隨之降低,最后達(dá)到最大混合態(tài)的QFI,即為零.

對(duì)于qubit系統(tǒng),振幅阻尼通道的Kraus算子為

其中p=1?s,s=exp(?γ1t/2),γ1稱為阻尼率.

當(dāng)p=1時(shí),噪聲演化后的終態(tài)為

即為分離態(tài).W態(tài)與GHZ態(tài)的相干疊加態(tài)在振幅阻尼通道下的最大QFI動(dòng)力學(xué)行為如圖3所示.

圖3 W態(tài)與GHZ態(tài)的相干疊加態(tài)在振幅阻尼通道下的最大QFI動(dòng)力學(xué)Fig.3.The dynamics of QFI for the superposition of W state and GHZ state under amplitude damping channels.

從圖3可以看出,在振幅阻尼通道下,隨著衰減的演進(jìn),QFI呈現(xiàn)出先減小到最小(但不為零),然后增加到3,也就是散粒噪聲極限.這里,該疊加態(tài)的最大QFI并不是隨著振幅阻尼最終衰減到零,而是最終達(dá)到散粒噪聲極限.出現(xiàn)該反常QFI動(dòng)力學(xué)行為的物理根源在于:振幅衰減會(huì)使得該純的疊加態(tài)演化為混合糾纏態(tài),而混合態(tài)的QFI可以低于散粒噪聲極限;隨著振幅衰減的演進(jìn),量子系統(tǒng)將損失掉所有能量,最終處于穩(wěn)定基態(tài)上,即純的三粒子直積態(tài).而三粒子直積態(tài)的QFI即為散粒噪聲極限3.另外,從圖中可以看出,疊加參數(shù)α越小,振幅阻尼衰減對(duì)該疊加態(tài)的QFI影響越小,即從量子度量學(xué)角度來(lái)說(shuō),GHZ態(tài)組分比W態(tài)組分具有更好的抗振幅阻尼噪聲效果.

對(duì)于qubit系統(tǒng),相位阻尼通道的Kraus算子為:

當(dāng)p=1時(shí),

W態(tài)與GHZ態(tài)的相干疊加態(tài)在相位阻尼通道下的最大QFI動(dòng)力學(xué)行為如圖4所示.從圖4中可以看出,在相位阻尼通道下,隨著消相干的演進(jìn),相干疊加態(tài)的Fmax呈現(xiàn)出下降趨勢(shì),但最終趨于一個(gè)穩(wěn)定的非零值.由(17)式可以看出,系統(tǒng)最終將演化為一個(gè)混合糾纏態(tài),而不是糾纏為零的最大混合態(tài),故最終的QFI穩(wěn)定值非零.另外,從圖中可以看出,疊加參數(shù)α越小,相位阻尼衰減對(duì)該疊加態(tài)的QFI影響越大,即從量子度量學(xué)角度來(lái)說(shuō),W態(tài)組分比GHZ態(tài)組分具有更好的抗相位阻尼噪聲效果.

圖4 W態(tài)與GHZ態(tài)的相干疊加態(tài)在相位阻尼通道下的最大QFI動(dòng)力學(xué)Fig.4.The dynamics of QFI for the superposition of W state and GHZ state under phase damping channels.

3.3 多粒子W態(tài)與GHZ態(tài)的疊加態(tài)在噪聲通道下的QFI動(dòng)力學(xué)

3.2節(jié)研究了三粒子W態(tài)與GHZ態(tài)的疊加態(tài)在噪聲通道下的QFI動(dòng)力學(xué),結(jié)果表明:從量子度量學(xué)角度來(lái)說(shuō),W態(tài)組分比GHZ態(tài)組分具有更好的抗相位阻尼噪聲效果,而GHZ態(tài)組分比W態(tài)組分具有更好的抗振幅阻尼噪聲效果.但隨著粒子數(shù)的增多該結(jié)論是否依然成立尚未可知,故此選取粒子數(shù)為5的情況進(jìn)行進(jìn)一步研究,即

其中

(18)式中的量子態(tài)在振幅阻尼噪聲通道((12)式)與相位阻尼噪聲通道((15)式)下的最大QFI動(dòng)力學(xué)行為分別如圖5(振幅阻尼)和圖6(相位阻尼)所示.

圖5 五粒子W態(tài)與GHZ態(tài)的相干疊加態(tài)在振幅阻尼通道下的最大QFI動(dòng)力學(xué)Fig.5. Dynamics of QFI for the superposition of 5-particle W state and GHZ state under amplitude damping channels.

圖6 五粒子W態(tài)與GHZ態(tài)的相干疊加態(tài)在相位阻尼通道下的最大QFI動(dòng)力學(xué)Fig.6. Dynamics of QFI for the superposition of 5-particle W state and GHZ state under phase damping channels.

通過(guò)圖5與圖6可以看出,從量子度量學(xué)角度來(lái)說(shuō),五粒子W態(tài)與GHZ態(tài)的相干疊加態(tài)中的W態(tài)組分比GHZ態(tài)組分具有更好的抗相位阻尼噪聲效果,而GHZ態(tài)組分比W態(tài)組分具有更好的抗振幅阻尼噪聲效果,即與三粒子系統(tǒng)中所得到的結(jié)論相同.

4 討 論

本文主要研究W態(tài)與GHZ態(tài)的相干疊加態(tài)的最大QFI隨噪聲的演化情況.由于這里重點(diǎn)討論量子參數(shù)估計(jì)過(guò)程中的第一個(gè)步驟,即探針態(tài)的制備,所以對(duì)參數(shù)估計(jì)過(guò)程的其他三個(gè)步驟進(jìn)行了約定,即所有的探針態(tài)都經(jīng)歷相同的參數(shù)化、測(cè)量以及估計(jì)過(guò)程.本文中選取自旋量子系統(tǒng)為研究對(duì)象,并選取系統(tǒng)的Hamiltonian量(即自旋的旋轉(zhuǎn)方向)使得探針態(tài)的QFI達(dá)到最大值.這里選用最大QFI來(lái)刻畫探針態(tài)的度量學(xué)功能主要基于以下兩點(diǎn)考慮:1)本文的討論重點(diǎn)是量子參數(shù)估計(jì)過(guò)程中的第一個(gè)步驟,即探針態(tài)的制備,故其他三個(gè)步驟必須進(jìn)行約定;2)QFI可以衡量測(cè)量的理論精確程度,QFI越大,理論上的精確度越高.雖然在實(shí)際測(cè)量中由于各種原因無(wú)法達(dá)到理論上的精度極限,但理論精度是實(shí)際測(cè)量努力的方向,有了明確的理論精度,就可以千方百計(jì)提高實(shí)際的測(cè)量精度,使其不斷接近理論上的測(cè)量精度極限,這也正是對(duì)理論測(cè)量精度極限進(jìn)行研究的意義所在.

同時(shí),本文選取的三個(gè)噪聲通道也是常見(jiàn)的噪聲過(guò)程,即退極化、振幅阻尼與相位阻尼.這三個(gè)典型噪聲通道的演化規(guī)律具有代表性,且都有明確的Kraus算子表示.

本文中的結(jié)果以函數(shù)圖像的形式展示,便于對(duì)QFI的變化趨勢(shì)進(jìn)行分析;同時(shí),選取了不同疊加系數(shù)的相干疊加態(tài)進(jìn)行研究,防止因所選取的疊加系數(shù)特殊而得不到普遍的規(guī)律.另外,由于噪聲通道對(duì)量子態(tài)的影響是一個(gè)漸進(jìn)行為,只有當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)才會(huì)有穩(wěn)定的結(jié)果,為了克服做圖中出現(xiàn)的時(shí)間無(wú)限大問(wèn)題,選取隨著時(shí)間趨向無(wú)窮大而無(wú)限接近于1的參量p來(lái)替代時(shí)間參量.

5 結(jié) 論

本文主要研究噪聲對(duì)多粒子探針態(tài)的度量學(xué)功能QFI的影響,給出了W態(tài)與GHZ態(tài)相干疊加態(tài)在三種不同噪聲通道下的最大QFI的動(dòng)力學(xué)行為.結(jié)果表明,最大QFI在退極化通道下隨著消相干的演進(jìn)而衰減,最后減小為零;在振幅阻尼通道下隨著消相干的演進(jìn),最大QFI先衰減到最小,然后再增加到散粒噪聲極限;在相位阻尼通道下,與退極化通道相似,最大QFI也隨著消相干的演進(jìn)而衰減,但是最終穩(wěn)定值不為零.通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn),噪聲對(duì)該疊加態(tài)的度量學(xué)功能的影響并不只是單純地使QFI減小,而是在不同的噪聲影響下呈現(xiàn)出不同的動(dòng)力學(xué)行為.從量子度量學(xué)角度來(lái)說(shuō),W態(tài)組分比GHZ態(tài)組分具有更好的抗相位阻尼噪聲效果,而GHZ態(tài)組分比W態(tài)組分具有更好的抗振幅阻尼噪聲效果,從而為在實(shí)際環(huán)境中選取高精度的參數(shù)估計(jì)過(guò)程提供參考.