莊妍 王孟 王康宇

摘 要：為了研究移動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的安定性問(wèn)題，以Melan靜力型安定定理為基礎(chǔ)，通過(guò)構(gòu)造滿(mǎn)足靜力平衡條件的最佳殘余應(yīng)力場(chǎng)，并求解移動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)中的真實(shí)彈性應(yīng)力場(chǎng)，發(fā)展了一種彈塑性安定性計(jì)算方法.該方法擺脫了傳統(tǒng)安定性分析方法中的數(shù)學(xué)規(guī)劃運(yùn)算，解決了計(jì)算中維數(shù)障礙的問(wèn)題.通過(guò)與前人研究結(jié)果對(duì)比，說(shuō)明本方法的正確性.基于此方法，研究了列車(chē)荷載直接作用下路基的靜力安定極限的第一類(lèi)上限kI和靜力安定極限kSD，進(jìn)行輪載間距L和鐵軌間距B對(duì)路基安定極限的敏感性分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)輪載間距L和鐵軌間距B大于等于10a時(shí)，輪載間距L和鐵軌間距B對(duì)路基安定極限不再產(chǎn)生影響；通過(guò)分析材料泊松比v和內(nèi)摩擦角φ對(duì)安定極限的影響，表明安定極限隨著路基泊松比的增大略有減小，但隨著內(nèi)摩擦角的增大而有明顯增加；并提出了一種基于安定極限荷載包絡(luò)圖的路基安定性評(píng)價(jià)方法和設(shè)計(jì)方法，據(jù)此可對(duì)鐵路路基進(jìn)行設(shè)計(jì)指導(dǎo)和安全性評(píng)價(jià).

關(guān)鍵詞：安定分析；鐵路；赫茲荷載；Melan靜力安定定理；移動(dòng)荷載；彈塑性材料

中圖分類(lèi)號(hào)：TU4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674—2974（2018）07—0093—10

Abstract： An elastic-plastic shakedown solution is established for the shadedown analysis of the structure under moving loads.On the basis of the Melans static shakedown theorem，this method is developed by searching for the best residual stress field，and calculating the actual elastic stress field subjected to the moving loads.This method avoids the operation of mathematical programming in traditional method of shakedown analysis，and therefore obstruction due to large scale mathematical programming is overcome. The validity of this method is verified by comparing the results of the previous study. Based on this method，the upper bound type 1 shakedown limit kI and static shakedown limit kSD of railway subgrade are presented. A sensitive analysis is also presented， showing that the shakedown limit remains stable if the distance between the loads L and rails B is longer than 10a，so that the upper bound type 1 shakedown limit kI is shown. Meanwhile， by means of investigation on the influence of Poisson′s ratio and internal friction angle， it is found that the static shakedown limit kSD diminish marginally with the increase of Poisson′s ratio， while both the upper bound type 1 shakedown limit kI and static shakedown limit kSD experience a steadily growth with the increase of internal friction angle. A design method for subgrade is finally proposed based on the envelope diagram of shakedown limits， which can provide guidelines for design and safety assessment of railway subgrade.

Key words： shakedown analysis；railways；Hertz load；Melan′s lower-bound shakedown theorem；moving load；elastis plastic materials

高速鐵路無(wú)砟軌道具有乘坐舒適、方便快捷、運(yùn)輸能力強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)，因此成為鐵路客運(yùn)專(zhuān)線(xiàn)發(fā)展的必然選擇[1].隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展和“一帶一路”戰(zhàn)略的提出，我國(guó)高速鐵路的建設(shè)得到了快速的發(fā)展.截至2016年底，中國(guó)高鐵的運(yùn)營(yíng)里程已經(jīng)達(dá)到2.2萬(wàn)公里，占世界高速鐵路運(yùn)營(yíng)總里程60 %多.國(guó)家發(fā)改委等部門(mén)出臺(tái)的規(guī)劃明確指出，到2025年，中國(guó)高速鐵路通車(chē)?yán)锍虒⑦_(dá)到3.8萬(wàn)公里，并形成“八縱八橫”的高鐵網(wǎng).2017年6月，具有完全自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)車(chē)組“復(fù)興號(hào)”首發(fā)成功，最高時(shí)速達(dá)400 km/h.隨著列車(chē)運(yùn)行速度的不斷提高，作為軌下基礎(chǔ)的路基發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用[2]，對(duì)鐵路安全性、可靠性的要求日漸提高[3].但是現(xiàn)行的設(shè)計(jì)方法仍以靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)為主[4]，對(duì)于路基臨界應(yīng)力、破壞時(shí)機(jī)、塑性應(yīng)變累積、永久變形的預(yù)測(cè)都是難以確定和定義的，而在研究道路結(jié)構(gòu)性能時(shí)，這些都是必要因素.安定性是對(duì)結(jié)構(gòu)在變化荷載作用下塑形行為的研究.通過(guò)安定分析可以確定結(jié)構(gòu)的臨界安定載荷和破壞機(jī)制，為工程設(shè)計(jì)和安全評(píng)估提供準(zhǔn)確可靠的理論依據(jù)[5].

自安定理論20世紀(jì)30年代開(kāi)始建立以來(lái)，安定分析方法得到了迅速的發(fā)展[6]. 1962年，Johnson[7]利用靜力安定定理（Melan定理）求解出一個(gè)Tresca半無(wú)限空間體在移動(dòng)豎向赫茲荷載作用下的安定極限.1984年，Sharp等[8]首次把安定理論引入到了道路工程領(lǐng)域，他們把道路問(wèn)題簡(jiǎn)化為一種平面應(yīng)變問(wèn)題，運(yùn)用靜力安定定理對(duì)Mohr-Coulomb材料在循環(huán)移動(dòng)荷載下的變形趨勢(shì)問(wèn)題進(jìn)行安定分析.其后，國(guó)內(nèi)外許多專(zhuān)家學(xué)者提出，利用安定理論分析交通荷載引起的公路和鐵路結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)以及永久變形，可改進(jìn)設(shè)計(jì)方法，從而達(dá)到降低維修成本的目的.1995年，劉啟躍[9]提出應(yīng)以鋼軌的安定極限值代替鋼軌的彈性極限值作為鋼軌的許用極限值.2010年，F(xiàn)rancois等[10]研究了交通荷載引起的小幅循環(huán)荷載對(duì)道路結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的永久變形和破壞.2014年，F(xiàn)ang等[11]將道路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為層狀飽和半空間上的薄板，揭示了路面柔性和支撐層特性對(duì)路面系統(tǒng)響應(yīng)的影響.2016年，Li等[12]基于安定理論建立計(jì)算有砟軌道永久變形的數(shù)值模型.

目前通用的安定性計(jì)算方法是采用數(shù)學(xué)規(guī)劃技術(shù)，用這種方法，當(dāng)單元比較多或載荷空間頂點(diǎn)比較多時(shí)，規(guī)劃問(wèn)題的約束條件就很多.這樣就形成大規(guī)模非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，出現(xiàn)所謂的維數(shù)障礙現(xiàn)象，使得計(jì)算量呈指數(shù)上升，內(nèi)存量急劇膨脹，即使對(duì)現(xiàn)代計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，也是件十分困難的工作，使得問(wèn)題實(shí)際上不可求解[13].

以Melan靜力型安定定理為基礎(chǔ)，本文發(fā)展了一種彈塑性安定性計(jì)算方法，該方法通過(guò)求移動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)中的真實(shí)彈性應(yīng)力場(chǎng)，并構(gòu)造滿(mǎn)足靜力平衡條件的最佳殘余應(yīng)力場(chǎng)，獲得靜力安定極限的第一類(lèi)上限kI和靜力安定極限kSD，擺脫了傳統(tǒng)安定性分析方法中的數(shù)學(xué)規(guī)劃運(yùn)算，解決了計(jì)算中維數(shù)障礙的問(wèn)題.基于所發(fā)展的安定分析方法，將荷載簡(jiǎn)化為單個(gè)赫茲荷載時(shí)，本文的結(jié)果與Shiau[14]和Ponter等[15]接近，說(shuō)明本文的方法是正確的.對(duì)鐵路結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化，研究了列車(chē)荷載直接作用下路基的靜力安定極限的第一類(lèi)上限kI和靜力安定極限kSD，進(jìn)行輪載間距L和軌距B對(duì)路基安定極限的敏感性分析；分析了材料泊松比v和內(nèi)摩擦角φ對(duì)安定極限的影響，并繪制了不同摩擦角材料的安定荷載包絡(luò)線(xiàn).

1 經(jīng)典的Melan安定性分析下限定理

Melan于1938年提出了靜力安定定理（下限定理）：如果能夠找到一個(gè)自相平衡的殘余應(yīng)力場(chǎng)σr ij，它與由外荷載所引起的彈性應(yīng)力場(chǎng)共同構(gòu)成一個(gè)處于屈服極限之內(nèi)的應(yīng)力系統(tǒng)，則結(jié)構(gòu)是安定的[16].若外部荷載用λp表示，其中p是單位荷載，λ是無(wú)量綱因子（又稱(chēng)安定乘子），則靜力安定理論可表示為：

根據(jù)求解所需的條件，易知λSD≤（λⅡ，λⅢ）≤λⅠ.第二類(lèi)上限λⅡ和第三類(lèi)上限λⅢ不考慮殘余應(yīng)力的屈服條件，因此對(duì)殘余應(yīng)力沒(méi)有一個(gè)上下界的約束，求解將會(huì)變得特別困難.所以本文僅對(duì)λSD和λⅠ進(jìn)行求解.

2 基于靜力安定定理的彈塑性安定分析方法

根據(jù)Melan定理，要求解靜力安定極限，就必須找到一個(gè)符合條件的殘余應(yīng)力場(chǎng).Hills & Sackfield[20]提出，可能存在不同的符合條件的殘余應(yīng)力場(chǎng)，這些不同殘余應(yīng)力場(chǎng)都可以得出同樣的安定極限.而求解的安定極限的精確度便取決于所構(gòu)造的殘余應(yīng)力場(chǎng)與真實(shí)殘余應(yīng)力場(chǎng)的差值.根據(jù)勒沙特里（Henri Louis Le Chatelier）平衡原理[21]，結(jié)構(gòu)總是以一種最佳的方式去抵抗外界的作用，所以，在屈服后的變形過(guò)程中完全有可能塑造出最佳的殘余應(yīng)力場(chǎng)，而關(guān)鍵問(wèn)題在于如何分離出這個(gè)最佳的殘余應(yīng)力場(chǎng).

2.1 荷載定義

交通荷載是常見(jiàn)的移動(dòng)荷載，工程上對(duì)單個(gè)車(chē)輛輪載的模擬常采用赫茲荷載分布形式[9]（如圖1所示）：

2.2 彈性應(yīng)力場(chǎng)求解

Hamilton[22]給出了赫茲荷載作用下半無(wú)限空間任意一點(diǎn)（x，y，z）應(yīng)力的解析公式，因此，半空間體表面受N個(gè)輪載作用時(shí)，空間中每一點(diǎn)的彈性應(yīng)力由每個(gè)赫茲荷載產(chǎn)出的應(yīng)力疊加而得到.

假設(shè)第i個(gè)荷載作用點(diǎn)（xi，yi，0）空間三維結(jié)構(gòu)中每一點(diǎn)（x，y，z）的彈性應(yīng)力分別由豎向荷載和切向荷載獨(dú)立作用并相互疊加，即：

2.3 殘余應(yīng)力場(chǎng)

假設(shè)材料是均勻且各向同性的，因此沿著移動(dòng)荷載前進(jìn)方向（x-方向）的殘余應(yīng)力和塑性變形分量應(yīng)與坐標(biāo)位置無(wú)關(guān).Yu等[23]假設(shè)在運(yùn)動(dòng)荷載作用下的臨界面為x - z平面（即與y = 常數(shù)），在這樣的平面上，對(duì)靜力安定極限有影響的殘余應(yīng)力分量只有σr xx.Johnson[24]、Kapoor & Johnson[25]、Collins & Boulbibane[26]等指出，在對(duì)稱(chēng)荷載作用下，切應(yīng)力σr xz關(guān)于x軸是反對(duì)稱(chēng)的，因此在x = 0處，σr xz = 0，而切應(yīng)力σr xz又與x坐標(biāo)位置無(wú)關(guān)，所以切應(yīng)力σr xz對(duì)安定極限沒(méi)有影響.當(dāng)然，y-方向存在不為零的應(yīng)力分量σr yy.Shiau[14]利用數(shù)值模擬的方法，考慮σr xx和σr yy的殘余應(yīng)力場(chǎng)計(jì)算得到了靜力安定極限.Wang等[27]利用Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則時(shí)，將σyy = λσe yy + σr yy考慮為中主應(yīng)力，從而只考慮了殘余應(yīng)力場(chǎng)分量σr xx對(duì)安定極限的影響，得到了與Shiau相似的結(jié)果.

因此，列車(chē)荷載作用下路基中總應(yīng)力場(chǎng)由式（8）給出：

2.4 彈塑性安定性分析方法

應(yīng)用Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，結(jié)構(gòu)中各點(diǎn)的屈服方程為：

3 應(yīng)用研究

選擇不同p0作為單位荷載可以得到不同形式的安定極限乘子λ，但對(duì)于同一結(jié)構(gòu)，不同安定極限乘子所指的是同一個(gè)安定極限荷載，為了消除這一影響，引入另一個(gè)量k（靜力安定極限的第一類(lèi)上限kI = λI p0 /c；靜力安定極限kSD = λSDp0 /c.）從而將安定極限乘子進(jìn)行歸一化.