徐晨陽(yáng)，肖中銀

（上海大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，上海200072）

隨著無(wú)線通信的快速發(fā)展，對(duì)微波濾波器的要求也越來(lái)越高。微波濾波器作為通信系統(tǒng)中的一個(gè)關(guān)鍵器件，具有抑制系統(tǒng)噪聲，消除帶外雜散，防止信號(hào)串?dāng)_的作用。

計(jì)算耦合矩陣是設(shè)計(jì)濾波器的重要步驟。耦合矩陣不止可以用于設(shè)計(jì)同軸濾波器，介質(zhì)濾波器[1]，雙模濾波器[2]和雙通道濾波器[3]，也是濾波器調(diào)試診斷[4-5]的關(guān)鍵。

通常計(jì)算濾波器的耦合矩陣有兩種方法，即分析法和綜合法?？梢愿鶕?jù)對(duì)濾波器電路原型的計(jì)算，通過(guò)ADS，Designer，MWO等電路仿真軟件建模完成，但這需要根據(jù)每一個(gè)濾波器的指標(biāo)新建或修改模型，要求操作者熟練使用這些軟件，而且對(duì)于復(fù)雜電路，優(yōu)化變量較多使耗時(shí)較長(zhǎng)。可是，用綜合的方法可以快速計(jì)算出濾波器的響應(yīng)和耦合矩陣等設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)。Richard J.Cameron[6-7]和Amari[8]分別提出了用迭代的方法，綜合出濾波器低通原型的傳遞函數(shù)。但是按照[6-7]中的方法綜合出來(lái)的耦合矩陣是濾波器的一種特殊的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，實(shí)際應(yīng)用很難實(shí)現(xiàn)，需要對(duì)耦合矩陣進(jìn)一步的消元，使之與實(shí)際能實(shí)現(xiàn)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一致。由系統(tǒng)傳遞函數(shù)計(jì)算耦合矩陣的方法主要有兩大類：旋轉(zhuǎn)消元法[6-7]和優(yōu)化法[8-10]。旋轉(zhuǎn)消元法是對(duì)綜合得到的初始耦合矩陣進(jìn)行相似形變換，在保證矩陣的特征值和特征向量不變的情況下消去矩陣中應(yīng)該為0的值。

優(yōu)化法按照其目標(biāo)函數(shù)可分為三大類。第一類優(yōu)化法是由S.Amari提出的，利用耦合矩陣與傳輸零點(diǎn)和反射零點(diǎn)之間個(gè)關(guān)系建立耦合矩陣。將系統(tǒng)的傳輸極點(diǎn)和傳輸零點(diǎn)分別代入由耦合矩陣求得的S11和S21多項(xiàng)式，通過(guò)優(yōu)化耦合矩陣，達(dá)到目標(biāo)函數(shù)最小值。這種方法的缺點(diǎn)是對(duì)初始值非常敏感，用梯度優(yōu)化算法很難優(yōu)化出合適的結(jié)果。第二種優(yōu)化法是由A.Lamecki提出的[10]，根據(jù)N階濾波器的耦合矩陣與短路輸出導(dǎo)納的關(guān)系，提出了基于短路輸出導(dǎo)納分子分母特征值的優(yōu)化方法。第三種優(yōu)化法是由G.Macehiarella[9]提出的，通過(guò)優(yōu)化耦合矩陣旋轉(zhuǎn)消元角度的方法，消去耦合矩陣中不需要的變量。G.Macehiarella的方法對(duì)N+2型的耦合矩陣進(jìn)行相似變換，對(duì)耦合矩陣?yán)锩恳粋€(gè)應(yīng)消元素進(jìn)行一次旋轉(zhuǎn)消元。比較這3種優(yōu)化方法，前兩種方法的缺點(diǎn)是對(duì)優(yōu)化的初始值非常敏感，用梯度優(yōu)化算法很難優(yōu)化出滿意的收斂結(jié)果。第三種方法雖然編程簡(jiǎn)單，只需要求得初始耦合矩陣，并且對(duì)初始值可不敏感，可以直接用rand（-π，π）生成初始值，但對(duì)階數(shù)較高或者帶外傳輸零點(diǎn)較多等復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，收斂效果不好。

文中提出了一種改進(jìn)的算法，首先對(duì)耦合矩陣做預(yù)處理，縮短優(yōu)化時(shí)間。再對(duì)優(yōu)化旋轉(zhuǎn)消元角度的方法進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)調(diào)整選擇消元的順序和旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，使優(yōu)化更加快速有效。最后給出兩個(gè)設(shè)計(jì)實(shí)例，

寫(xiě)成矩陣如式（3）矩陣形式。

證明了這種方法的實(shí)用性。

1 廣義切比雪夫綜合理論

由廣義切比雪夫原型得到傳遞函數(shù)的分子分母多形式FN，PN，EN是綜合濾波器以及得到耦合函數(shù)的基礎(chǔ)。由FN可求得S11的零點(diǎn)，由PN可求得S21的零點(diǎn)。其關(guān)系由下列公式表示：

具體的迭代計(jì)算方法在Cameron和Amari的文章中已經(jīng)很詳細(xì)的敘述了，這里不再贅述。由圖1的通用帶通濾波器電路模型可以耦合系數(shù)與電路各部分之間的關(guān)系。

根據(jù)基爾霍夫定理可得方程組：

其中[U]為單位矩陣，R為R11=R1，Rnn=Rn，其余元素為0的N階矩陣，M是耦合矩陣。

那么上式可簡(jiǎn)化寫(xiě)為：

則可以由耦合矩陣計(jì)算出[I]，由此得出耦合矩陣和S參數(shù)的關(guān)系如下式：

圖1 通用帶通濾波器電路模型

2 優(yōu)化算法的改進(jìn)

本文通過(guò)選擇合適的優(yōu)化算法，改進(jìn)綜合過(guò)程有效的提高濾波器耦合矩陣的綜合速度和效果。

1）優(yōu)化算法的選擇

目前用于優(yōu)化耦合矩陣的算法主要有兩大類：一類是牛頓算法及其衍生的擬牛頓等算法[11]；其一類是遺傳算法[12]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[13-14]、野草算法[15-16]等。

牛頓算法使用目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也就是多元函數(shù)的梯度，找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)下降方向，收斂很快[11]，就是通過(guò)梯度算法優(yōu)化濾波器耦合矩陣的。但梯度算法求極值的原理也決定了這類算法很容易陷入局部最值，可能無(wú)法得到所期望的耦合矩陣。

遺傳算法[12]是一種模擬自然選擇生物進(jìn)化過(guò)程的隨機(jī)算法，初代種群按照適者生存和優(yōu)勝劣汰的原則，逐代演化產(chǎn)生更優(yōu)的解，其包括選擇、交叉、變異上中操作算子，使用的是全局并行搜索的方式來(lái)搜索種群中的最優(yōu)解，有效的避免了對(duì)初值的敏感問(wèn)題[17]。與遺傳算法類似的還有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，野草算法等。但由于其全局遍歷性，這些算法得到最優(yōu)解的耗時(shí)較長(zhǎng)。

牛頓優(yōu)化算法的速度明顯高于其他算法，如果要避免牛頓算法的缺點(diǎn)，耦合矩陣的初始值很重要，如果對(duì)耦合矩陣做預(yù)處理，使之接近優(yōu)化的全局最優(yōu)解，那么優(yōu)化效果和計(jì)算速度都能兼顧。

2）對(duì)初始耦合矩陣做預(yù)處理

綜合出來(lái)的原始耦合矩陣可以先按照Cameron[6-7]中的方法旋轉(zhuǎn)消元做預(yù)處理。旋轉(zhuǎn)消元是對(duì)耦合矩陣進(jìn)行相似變換，變化后矩陣的特征值和原耦合矩陣的特征值一致。由公式（5），（6）可以看出，耦合矩陣直接確定了S21和S11的響應(yīng)。對(duì)于一個(gè)N階的濾波器初始耦合矩陣M0進(jìn)行相似變換，公式如下：，其中R為旋轉(zhuǎn)矩陣，Rt為旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)置。M1為旋轉(zhuǎn)變換一次的耦合矩陣。若旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為其他主對(duì)角線的元素為1，其他元素為0。θ為旋轉(zhuǎn)角度。R可表示為：

對(duì)耦合矩陣Mb進(jìn)行以[i，j]為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，θ為旋轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)變換，那么Mb+1相對(duì)Mb，第i行和j行，第i列和j列發(fā)生變化，其他元素不變。

但要由初始耦合矩陣M0得到目標(biāo)耦合矩陣，必須按照特定的順序和角度來(lái)進(jìn)行消元，這個(gè)順序和傳輸零點(diǎn)的數(shù)量和位置以及N的大小有關(guān)。[6][7]中的消元順序無(wú)法滿足任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)耦合矩陣消元。那么，使用簡(jiǎn)單消元的順序和角度，對(duì)初始耦合矩陣做預(yù)處理，這里使用的消元順序是第一行從右到左，第N列從上到下，第二行從右到左，第N-1列從上到下，以此類推，直到所有應(yīng)消元素都做了消元處理。這樣，大部分的待消元素已經(jīng)被消去，余下的元素用優(yōu)化法可以很快完成消元步驟。

3）優(yōu)化旋轉(zhuǎn)角度得到最優(yōu)解

G.Macehiarella旋轉(zhuǎn)消元消元是按照從下到上，從右到左的順序一行一行進(jìn)行，初始耦合矩陣M0對(duì)每個(gè)應(yīng)消元素選擇消元可表示為：

若用Ez表示設(shè)M0中所有需要消去的元素的位置，其中共有z個(gè)元素，則其優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可寫(xiě)為，

由式（8）可以看出，要消去哪個(gè)元素就以哪個(gè)元素為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，那么每一次旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)已經(jīng)確定，旋轉(zhuǎn)角度未知。通過(guò)對(duì)旋轉(zhuǎn)角度的優(yōu)化得到其最優(yōu)解。

由（1）中的旋轉(zhuǎn)消元方式可知，耦合矩陣CM進(jìn)行以[i，j]為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，θ為旋轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)消元，那么其第i行和j行，以及第i列和j列都發(fā)生變化。如果按照上面的順序消元，耦合矩陣中應(yīng)消元素會(huì)被多次旋轉(zhuǎn)變換。以一個(gè)7pole的濾波器為例，如圖2（a），其中，標(biāo)記為S的是自耦合，M為主通道耦合，C為交叉耦合，x為應(yīng)消元素。如果按照式（8）的方式，那么旋轉(zhuǎn)消元的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)順序?yàn)閇5，7]，[4，7]，[4，6]，[2，7]，[2，6]……，設(shè)其旋轉(zhuǎn)角分別為θ1，θ2，θ3，θ4，θ5……那么在以[4，7]，[2，7]為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)消元時(shí)，已經(jīng)消元變換過(guò)的[5，7]發(fā)生如下變化：

其中M的上標(biāo)表示變換的次數(shù)。很清楚地看出應(yīng)消元素M57將與多個(gè)角度相關(guān)，求解旋轉(zhuǎn)角就轉(zhuǎn)換成了求解一個(gè)多元高次非線性方程組。這也使這種方式的優(yōu)化效果不佳，無(wú)法收斂較好的結(jié)果。

適當(dāng)?shù)恼{(diào)整旋轉(zhuǎn)順序和旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，目的是使每個(gè)應(yīng)消元素與盡可能少的旋轉(zhuǎn)角度相關(guān)。旋轉(zhuǎn)順序的旋轉(zhuǎn)采用“洋蔥式”，以耦合矩陣右上角為起點(diǎn)，由外向內(nèi)消元。圖 2（b）拓?fù)錇槔?，消元順序?yàn)閇1，7]，[1，6]，[1，5]，[1，4]，[1，3]，[2，7]，[3，7]，[4，7]，[5，7]，[2，6]，[2，5]，[2，4]，[4，6]，這就如同將耦合矩陣先在第 1行“剝?nèi)ァ币粚?，再?gòu)牡?列“剝?nèi)ァ币粚樱源祟愅?。消元的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)根據(jù)被消元素是在被“剝?nèi)ァ钡男羞€是被“剝?nèi)ァ钡牧蟹殖蓛煞N。被消元素[m，n]位于被“剝?nèi)ァ钡男?，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)選擇[n-1，n]；被消元素[m，n]位于被“剝?nèi)ァ钡牧?，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)選擇[m，m+1]。這樣就避開(kāi)了耦合矩陣中的元素多次旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題。

對(duì)于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)較復(fù)雜的情況，上述方法也無(wú)法滿足所有應(yīng)消元素都只與一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度相關(guān)。但這時(shí)要求解的方程組已經(jīng)明顯比前一種的方法簡(jiǎn)單得多，選擇合適的優(yōu)化算法，可以很快得到最優(yōu)解。

圖2 耦合矩陣及消元

3 設(shè)計(jì)實(shí)例

例1用上述方法設(shè)計(jì)一個(gè)10腔的濾波器，頻率范圍 1880～1915 MHz，傳輸零點(diǎn)位置位于[1872，1875，1920，1930.5]，初步消元后目標(biāo)函數(shù) K 值為0.217，用Matlab的Quasi-Newton算法優(yōu)化后得到的響應(yīng)曲線與用電路仿真軟件Ansoft Designer對(duì)比圖見(jiàn)圖3，其中實(shí)線為綜合優(yōu)化響應(yīng)曲線，虛線為仿真響應(yīng)曲線?？梢钥闯?，綜合優(yōu)化響應(yīng)和仿真響應(yīng)一致。軟件仿真電路原理圖見(jiàn)圖4和耦合矩陣見(jiàn)圖5。

圖3 綜合結(jié)果與仿真軟件Ansoft Designer結(jié)果對(duì)比

例2，設(shè)計(jì)并制作了一款濾波器，頻率范圍2575～2615 MHz，傳輸零點(diǎn)位置[2567.6，2570.5，2619.5，2622.4]，綜合優(yōu)化響應(yīng)曲線和實(shí)際測(cè)試曲線對(duì)比圖見(jiàn)圖6，其中實(shí)線為綜合優(yōu)化響應(yīng)曲線[18]，虛線為實(shí)際測(cè)試曲線?？梢钥闯?，綜合仿真響應(yīng)和實(shí)際樣品吻合度很高。其拓?fù)鋱D見(jiàn)圖7，圖8為樣品圖片，耦合矩陣如圖9所示。

圖4 仿真電路

圖5 綜合結(jié)果

圖6 綜合結(jié)果與樣品測(cè)試結(jié)果對(duì)比

圖7 濾波器拓?fù)鋱D

圖8 樣品效果圖

圖9 綜合結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文改進(jìn)原有使用優(yōu)化算法計(jì)算耦合矩陣的方法，先對(duì)由廣義切比雪夫函數(shù)綜合得到的初始耦合矩陣做預(yù)處理，再通過(guò)調(diào)整優(yōu)化旋轉(zhuǎn)角度消元法的旋轉(zhuǎn)順序和旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，提高了優(yōu)化效率和優(yōu)化效果。通過(guò)與電路仿真軟件計(jì)算結(jié)果和實(shí)際產(chǎn)品的測(cè)試結(jié)果對(duì)比，證明了這種方法的可行性。大大方便了實(shí)際工程應(yīng)用。