王彬瑤，李寶毅，張永康

（天津師范大學數學科學學院，天津300387）

1 引言和主要結論

電力電子、生物學、控制理論等許多領域的問題需要使用分段光滑系統模型來描述，因此在微分方程定性理論中，分段光滑系統的性質得到相關學者的關注，其中，極限環(huán)的研究是一個熱點問題，極限環(huán)的存在性、穩(wěn)定性、個數以及分布具有非常重要的實際意義和理論價值.文獻[1-2]分別證明了一類平面分段（2個區(qū)域）線性系統可以存在2個極限環(huán).文獻[3]證明了分成6種類型的平面分段（2個區(qū)域）線性微分系統可以存在2個極限環(huán).文獻[4]證明了一類平面分段（4個區(qū)域）光滑線性系統可以存在5個極限環(huán).文獻[5]證明了一類分段二次近Hamilton系統可以存在8個極限環(huán).文獻[6]考慮一類具有雙同宿閉軌的分段Hamilton系統，證明了在擾動下其可以存在14個極限環(huán).文獻[7]證明了一類分段系統在n次多項式擾動下最多存在n個極限環(huán).

本文將平面分成2個區(qū)域：D1∪D2，其中：D1=（{x，y）|x≥0，y≥0}，D2=（{x，y）|x＜0}∪（{x，y）|y＜0}.考慮分段光滑近Hamilton系統

其中：H（1x，y）=（x-1）（y-1）=h1，（x，y）∈D1；H（2x，y）=-（x+a）2-（y+a）2=h2，（x，y）∈D2，a∈R+；P（kx，y）和Q（kx，y）為區(qū)域Dk內的n次實系數多項式，n∈N+，k=1、2.

當ε=0時，系統（1）0存在逆時針走向的周期閉軌族 Γh= Γh1∪Γh2，其中：

設Γh1與正x軸交點為A（0u，0），與正y軸交點為A（10，u），其中 u=1-h1∈（0，1），則

本文得到如下定理.

定理存在n次多項式P（kx，y）和Q（kx，y）（k=1、2），使得分段光滑近 Hamilton系統（1）ε至少存在n+1+2（[n+1）/2]個極限環(huán).

2 Melnikov函數

因為H（1x，y）=h1=1-u，故 Γh1的參數方程可設為，其中 s∈（0，u），u∈（0，1）.因為H（2x，y）=h2=-（x+a）2-（y+a）2=-v2，其中v=，故的參數方程可設為x=v cos θ-a，y=v sin θ-a，θ∈（α，β），其中：α 表示當Γh2位于點A（10，u）時所對應的角，β表示當 Γh2位于點A（0u，0）時所對應的角.因此有，則，則.

引理1[7]分段光滑近Hamilton系統（1）ε的一階Melnikov函數為

引理2設，其中：，，則有

證明令，顯然，則

整理即得式（2），證畢.

推論1若m∈N+，則有·v2mω-uf2m-（2u），f（nu）為關于u的n次多項式.

證明當m=0時，，顯然當m=1、2時，結論成立.假設當m=k時，結論成立，則當m=k+1時，有

滿足結論，證畢.

引理3設，其中 i、j∈N，則有

其中fn（u）為關于u的n次多項式，且各項系數相互獨立.

證明顯然當n=1時，結論成立.

假設當n=2k（k∈N+）時結論成立，則當n=2k+1時，考慮i+j=2k+1，此時

注意到

故有

設

新增加 2 項 u2k+2和（u-1）ukln（1-u）的系數相互獨立且僅與{pij、qij|i+j=2k+1，i、j∈N}中的元素有關，即n=2k+1時結論成立.

假設n=2k+1（k∈N）時結論成立，同理可證，當n=2k+2（k∈N）時結論成立.綜上，引理3得證.

引理4設，，則有

其中fn*（u）為關于u的n次多項式，且各項系數相互獨立.

證明顯然當n=1時，結論成立.

假設n=2k（k∈N+）時結論成立，則當n=2k+1時，考慮i+j=2k+1，

其中 rij=-qi，j-1-pi-1，j.補充定義 q2k+2，-1=p-1，2k+2=0.

若i≡0（mod2），j≡0（mod2），則

由推論1可知v2（ka2kK2k+a2k-2K2k-2+…+a0K0）=Av2kω+uf*2k-（2u），a2k，…，a0為K2k，…，K0的系數，因此

故新增加的項v2k+2ω的系數僅與{rij|i+j=2k+2，i≡0（mod2），i、j∈N}中的元素有關.

若i≡1（mod2），j≡1（mod2），則

故新增加的項 u2k+2的系數僅與{rij|i+j=2k+2，i、j∈N，i≡1（mod2）}中的元素有關.

假設n=2k+1（k∈N）時結論成立，則當n=2k+2時，考慮i+j=2k+2，

其中 rij=-qi，j-1-pi-1，j.補充定義 q2k+3，-1=p-1，2k+3=0.

若i≡0（mod2），j≡1（mod2），則

故新增加的項u2k+2的系數僅與{rij|i+j=2k+3，i≡0（mod2），i、j∈N}中的元素有關.

若i≡1（mod2），j≡0（mod2），則

故新增加的項 u2k+3的系數與{pij、qij|i+j=2k+2，i、j∈N}中的元素有關.綜上，引理4得證.

3 Melnikov函數的變號零點

命題設（fu）和g（u）是R+上的連續(xù)函數，且當0＜u?1時，（fu）=fm· um+o（um），g（u）=g·lul+o（u）l，其中fm、gl為實數且.若 （fu）在R+上存在k個變號零點且l＜m，則存在實數C，使得F（u）=（fu）+Cg（u）在R+上至少存在k+1個變號零點.

證明假設（fu）的k個正變號零點依次為0＜u1＜u2＜…＜ uk，則存在 v1，v+1，v2，v+2，…，vk，v+k，使得 0 ＜v1＜u2＜v+1＜v2＜u2＜v+2＜…＜vk＜uk＜v+k滿足（fv）i·（fv+）i＜0，F（v+）i（fv+）i＞0，故F（v）iF（v+）i＜0，因此F（u）在（vi，v+）i內至少有一個變號零點 ωi，1≤i≤k.

不妨設fm＞0，則u→0+時，有（fu）＞0，故存在δ1∈（0，v1），使得（fδ1）＞0，因此存在 ε*＞0，當|C|＜ ε*時，有，即，取·sgn（g）l，由于l＜m，故當u→0+時，F（u）＜0，因此存在 δ2∈（0，δ1），使得 F（δ2）＜ 0，故 F（δ1）F（δ2）＜ 0，即F（u）在（δ2，δ1）內至少存在一個變號零點 ω0.命題得證.

由命題可得推論2.

推論2設φi（u）為（0，+∞）上的連續(xù)函數，當0＜u?1時，，其中：，α1＜ α2＜…＜ αk.則存在實數 C1，C2，…，Ck，使得在（0，+∞）至少存在k-1個變號零點.

定理的證明由引理3和引理4可得系統（1）ε的一階Melnikov函數為

當n=1時，M1（h）=0等價于

上式改寫為

其中系數 a0、a1、a2、b0、c0相互獨立.注意到

令

當0＜u?1時，φ0（u）=4a2π+o（1），因此，M1（h）=0等價于

其中系數 c0、a*0、a*1、a*2、b0相互獨立，由推論 2 可得存在實數 c0、a*0、a*1、a*2、b0，使得方程（3）在（0，1）上至少存在4個正變號零點，即存在1次多式Pk（x，y）和Qk（x，y）（k=1、2），使得系統（1）ε至少存在4個極限環(huán).

當n=2時，M1（h）=0等價于

其中系數 a0、a1、a2、a3、b0、c0相互獨立.注意到

其中系數 c0、a*0、a*1、a*2、b0相互獨立.由推論 2 可得方程（4）在（0，1）上至少存在5個正變號零點，即存在2次多項式Pk（x，y）和Qk（x，y）（k=1、2），使得系統（1）ε至少存在5個極限環(huán).

利用類似的方法可以證明當n≥3時，存在系數a0，a1，…，an+2，b0，b1，…，b[(n-1)/2]，c0，c1，…，c[(n-1)/2]相互獨立，使得M1（h）=0在（0，1）上至少存n+1+2（[n+1）/2]個正變號零點，即存在n次多項式Pk（x，y）、Qk（x、y）（k=1、2），使得系統（1）ε至少存在 n+1+2[（n+1）/2]個極限環(huán).