錢玉玲

求兩條或兩條以上線段和的最小值問題，是同學(xué)們的“老朋友”了.解決這類問題的策略很多，其中利用軸對稱變換轉(zhuǎn)化線段，是一種重要的方法.分析這類問題時(shí)，我們一般要先分析相關(guān)點(diǎn)是定點(diǎn)還是動點(diǎn)，往往動點(diǎn)個數(shù)越多，難度越大.下面就兩個定點(diǎn)兩個動點(diǎn)（簡稱“兩定兩動”）型線段和的最小值問題與同學(xué)們一起探討，期待給同學(xué)們一些啟發(fā).

【基本模型】如圖1，點(diǎn)A、B是銳角MON外部任意兩個定點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM、ON上分別確定點(diǎn)P、Q，使得AP+PQ+QB的值最小.

圖1

圖2

【解析】A、B兩點(diǎn)確定，P、Q兩點(diǎn)分別是OM、ON上的動點(diǎn)，如圖2，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，連接AB與OM、ON分別交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)P、Q即為所作.接下來運(yùn)用這一基本模型解決問題.

【例1】如圖3，點(diǎn)A、B分別是銳角MON內(nèi)部、外部一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM、ON上各找一點(diǎn)P、Q，使得AP+PQ+QB的值最小.

圖3

圖4

圖5

【解析】顯然，連接AB無法解決問題.類比基本模型，相同之處是A、B兩點(diǎn)是定點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)是動點(diǎn)；不同的是定點(diǎn)A在∠MON的內(nèi)部.那么能否轉(zhuǎn)化為基本模型呢？如圖4，作點(diǎn)A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A′，由軸對稱性質(zhì)可知PA′＝PA，則AP＋PQ＋QB＝A′P＋PQ＋QB，所以當(dāng)A′P+PQ+QB的值取最小時(shí)，AP+PQ+QB的值最小.觀察圖4，點(diǎn)A′、B在∠MON的外部，與基本模型一致，連接A′、B即可（如圖5）.

【變式】如圖6，點(diǎn)A、B是銳角MON內(nèi)部任意兩點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM、ON上各找一點(diǎn)P、Q，使得AP+PQ+QB的值最小.

圖6

圖7

圖8

【解析】類比例1，只需為A、B兩個定點(diǎn)尋找“替身”，轉(zhuǎn)化到∠MON的外部即可.顯然，軸對稱及軸對稱的性質(zhì)是尋找“替身”的“出路”（如圖7），結(jié)合基本模型，連接A′B′，即可解決問題（如圖8）.

【實(shí)際應(yīng)用】某中學(xué)八（2）班舉行元旦晚會，桌子擺成如圖9所示的兩直排（圖中OA、OB）.OA桌面上擺滿橘子，OB桌面上擺滿糖果.站在C處的小明同學(xué)先拿橘子，再拿糖果，然后到D處的座位上.請你幫他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走路程最短.

圖9

圖10

【解析】先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.兩排桌子構(gòu)成了∠AOB，小明出發(fā)地C和座位D可看成∠AOB內(nèi)部兩個定點(diǎn)，根據(jù)前面的解題經(jīng)驗(yàn)，只需分別作出點(diǎn)C關(guān)于OA的對稱點(diǎn)C′，點(diǎn)D關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D′，連接C′D′與OA、OB分別交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)P、點(diǎn)Q即是小明拿橘子、糖果的位置（如圖10）.

同學(xué)們，“題?！泵Ｃ?，在學(xué)習(xí)的過程中，要善于總結(jié)歸納基本圖形；在其他具體問題情境中，學(xué)會利用“轉(zhuǎn)化”思想向基本模型“靠攏”，可以達(dá)到事半功倍的效果.