郎英彤，辛原野

(吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林長春 130118)

近年來，柔性機器人以其結(jié)構(gòu)輕巧、荷載/重量高、操作空間較大、能耗低等諸多優(yōu)點受到廣泛關(guān)注。然而柔性機械臂在運動時所產(chǎn)生的彈性彎曲變形和振動，會使其定位不準(zhǔn)確，使得對柔性臂機器人的控制和分析已成為一個具有挑戰(zhàn)性的問題。

柔性機械臂動力學(xué)建模的目的是為了描述柔性機械臂的動力學(xué)行為，特別是為了確定柔性體所產(chǎn)生的變形和振動，以保證柔性機械臂末端的準(zhǔn)確定位和在運動過程中的準(zhǔn)確軌跡。而傳統(tǒng)的建模方式將柔性桿件運動過程中可能發(fā)生的一系列不確定因素進(jìn)行近似忽略，因此在該基礎(chǔ)上建立起來的數(shù)學(xué)模型具有一定的不準(zhǔn)確性，直接影響對桿件的控制，從而降低末端運動軌跡的準(zhǔn)確性。科技發(fā)展越來越迅猛的今天，無論是航天、能源、國防,還是汽車、機械等領(lǐng)域，對軌跡精度要求都越來越高，傳統(tǒng)方法已然不再適用，因此本文提出RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。

1 理論分析

柔性系統(tǒng)無法通過純運動幾何學(xué)將末端物體的位置、姿態(tài)變量與各關(guān)節(jié)變量間的關(guān)系一一對應(yīng)，它們之間的關(guān)系必須通過動力學(xué)控制方程的求解才能建立起來[1]，下面對該系統(tǒng)進(jìn)行逆動力學(xué)分析。

本文研究的單柔性機械臂簡圖如圖1所示，桿件為均勻歐拉梁，其質(zhì)量為M，長度為l，驅(qū)動力矩為τ(t)，且忽略重力的影響。

圖1 單柔性機械臂簡支梁模型

圖2 桿件的運動簡圖

圖2為桿件的運動簡圖，XOY為慣性坐標(biāo)，r是慣性坐標(biāo)中的位置矢量，xOy為相對坐標(biāo)系(或動坐標(biāo))，r′是動坐標(biāo)中的位置矢量。向量r在XOY和xOy坐標(biāo)系中的投影關(guān)系為：

A為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；θ為OX軸與Ox軸之間的夾角，即機械臂的剛性轉(zhuǎn)角。

對于桿件的變形關(guān)系,本文采用Rayleigh-Ritz方法來描述，令桿件的橫向位移v(x,t)=Φ(x)qf(t)。

其中，Φ(x)取簡支梁模態(tài)函數(shù)，模態(tài)取二階Φ(x)=[Φ1(x) Φ2(x)]，qf=[qf1qf2]T。其中，qf1、qf2分別對應(yīng)桿件任意截面的撓度與轉(zhuǎn)角的廣義坐標(biāo)。

L=T-U-V.

其中，

V表示重力勢能，本文忽略重力勢能。

其中，

q表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，q=[θqf1qf2]T=[q1q2q3]T；

由于該系統(tǒng)控制方程具有強耦合性和非線性[3]，通常得不到相應(yīng)的解析解，所以必須借助于數(shù)值計算方法。基本上可分成兩大類[4]：一類是拉格朗日乘子法，通常稱為最大未知量法；另一類是全部用獨立的廣義坐標(biāo)描述的純微分方程組，通常稱為最小未知量法。其中拉格朗日乘子法即通過引入拉格朗日乘子釋放系統(tǒng)的約束，在控制方程中包括獨立和不獨立兩種廣義坐標(biāo)形式，并且又包含了待定乘子，這樣就構(gòu)成了系統(tǒng)的運動微分方程與約束方程相結(jié)合的動力學(xué)控制方程，即為微分-代數(shù)混合方程組。

目前一般采用傳統(tǒng)的近似法進(jìn)行求解，該方法的思想是：先忽略彈性變形對整體剛性運動的影響，得到初步驅(qū)動力矩后，將其帶入柔性機械臂方程中求解彈性變量，再將給定的剛性變量和彈性變量一起作為初值，重新帶回動力學(xué)方程中。由于該方法不會造成端點軌跡的定性差別，所以該方法仍在廣泛應(yīng)用。

對于近似方法產(chǎn)生的誤差造成末端軌跡不精準(zhǔn)、不能滿足使用要求等問題，可以借助于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法來解決，該方法具有擬合非線性方程、較好的耐故障能力和較快的總體處理能力，以及自適應(yīng)性、適應(yīng)集成、多變量系統(tǒng)的特點，可以解決柔性桿件運動中產(chǎn)生的不確定因素[5]。根據(jù)這些特點，本文采用該方法對系統(tǒng)動力學(xué)進(jìn)行數(shù)值仿真，并與近似方法進(jìn)行比較。

2 數(shù)值仿真

(1)采用近似方法[6]對系統(tǒng)動力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值仿真[7]。機械臂的物理和幾何參數(shù)如表1所示。

初始條件：θ=2t3-3t2，當(dāng)t=0時運動變量θ=0，θ′=0，彈性變形qf1=qf2=0。撓度qf1、qf2與時間t的關(guān)系曲線見圖3和圖4，剛性轉(zhuǎn)角θ實際軌跡與理想軌跡隨時間t變化的曲線見圖5。

表1 機械臂的物理和幾何參數(shù)

圖3 撓度qf1與時間的關(guān)系曲線

圖4 撓度qf2與時間的關(guān)系曲線

圖5 剛性轉(zhuǎn)角θ實際軌跡與理想軌跡隨時間變化的曲線

(2)采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法進(jìn)行數(shù)值仿真。1985年P(guān)owell提出，徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)(Radial Basis Funtion，RBF)是一種兩層前向型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，包含一個具有徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)元的隱層和一個具有線性神經(jīng)元的輸出層。近些年，曹小濤[8]利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對柔性機械臂進(jìn)行了力/位置控制分析；謝曉竹[9]利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對軍用機器人進(jìn)行魯棒控制研究。本文利用MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中的徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)來逼近柔性機械臂動力學(xué)方程，確定精確方程后即可得出理想軌跡，即輸入數(shù)據(jù)θ直接求出驅(qū)動力矩。

圖6 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

其中，αi(x)>0.05，0<β<1。

若使柔性機械臂的運動軌跡達(dá)到理想軌跡，可更新網(wǎng)絡(luò)參數(shù),使得t→時,

在設(shè)計徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)時有兩種調(diào)用方法：newrbe和newrb。本文采用的是newrb函數(shù)設(shè)計網(wǎng)絡(luò)，即每一次循環(huán)只產(chǎn)生一個神經(jīng)元，可自動增加網(wǎng)絡(luò)的隱層神經(jīng)元數(shù)目，直到均方差滿足精度要求。

SPREAD值的大小影響網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度，在這里分別在SPREAD=1、2、3、4的情況下計算網(wǎng)絡(luò)的預(yù)報精度。分布密度為1時，網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差比較小，故本文取SPREAD=1。

圖7 利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到的轉(zhuǎn)角θ與對應(yīng)的驅(qū)動力矩關(guān)系曲線

圖8 轉(zhuǎn)角θ的實際軌跡與理想軌跡的對比曲線

以近似方法得到的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法擬合系統(tǒng)方程，得到剛性轉(zhuǎn)角θ和驅(qū)動力矩τ之間的關(guān)系，并根據(jù)理想軌跡預(yù)測出對應(yīng)的驅(qū)動力矩(圖7)。

為了驗證RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法的準(zhǔn)確性，將通過訓(xùn)練得到的數(shù)據(jù)作為初始值代入柔性機械臂的動力學(xué)方程中，得到機械臂的運動軌跡，與理想軌跡進(jìn)行比較(圖8)。

3 結(jié)果分析

本文采用的近似方法雖然不會造成軌跡的定性誤差，但是由圖5可知，柔性機械臂在運動過程產(chǎn)生的彈性變形，桿端產(chǎn)生的彈性振動會使最終得到的結(jié)果產(chǎn)生誤差，致使結(jié)果不夠精確，所以該方法已經(jīng)不能滿足現(xiàn)如今對柔性機械臂軌跡精度的要求。

由圖8可知，本文所采用的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，可以較精確地得出作用在柔性機械臂上的驅(qū)動力矩，也能較好地預(yù)測出理想的運動軌跡，這是由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以通過若干實例學(xué)習(xí)實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)最優(yōu)，而不需要被控對象的數(shù)學(xué)模型，也不需要事先為它設(shè)計好控制算法，并且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對外界環(huán)境參數(shù)的變化具有一定的適應(yīng)性。所以，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)只要求給出符合柔性機械臂逆動力學(xué)方程的數(shù)據(jù)，就可以很好地擬合出驅(qū)動力矩與剛性轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系，并可以較好地預(yù)測出理想軌跡下的驅(qū)動力矩，并且能夠降低編程工作量，誤差小，直觀方便。