李艷秋，王 楠

(1.吉林工程技術(shù)師范學(xué)院應(yīng)用理學(xué)院，吉林長春 130052；2.吉林工程技術(shù)師范學(xué)院數(shù)據(jù)分析創(chuàng)新團(tuán)隊，吉林長春 130052)

1 研究背景

在種群動力學(xué)文獻(xiàn)中，多采用連續(xù)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)和離散斑塊區(qū)域模型來描述種群擴(kuò)散的空間不均勻性[1].雖然反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)適合于隨機(jī)的空間擴(kuò)散，但斑塊區(qū)域模型通常用于描述區(qū)域之間的定向運動，當(dāng)傳染病模型中空間不均勻性時，種群運動使得傳染病可以在國家和地區(qū)之間，或在城市之間發(fā)生傳播.

斑塊區(qū)域環(huán)境中的離散空間傳染病模型是非線性微分方程中的熱點問題，其全局動力系統(tǒng)的建立是一個數(shù)學(xué)難題.Arino和Van den Driessche建立了n座城市之間傳染病模型，研究了城市間旅游對城市傳染病空間擴(kuò)散的影響，推導(dǎo)出了基本再生數(shù)R0，并進(jìn)行了數(shù)值模擬，結(jié)果表明R0<1時疾病消失，R0>1時傳染病成為地方病[2].王穩(wěn)地等研究了一個具有雙線性關(guān)聯(lián)的n斑塊SIS模型；在每個區(qū)域上的可疑和傳染性個體具有相同的擴(kuò)散速率的情況下，證明了如果R0<1，無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定.同時還證明如果R0>1，系統(tǒng)是一致持久的和地方病平衡點的存在性.在同樣的假設(shè)下，易感和傳染性個體的傳播速率是相同的，n斑塊SIS模型可以被簡化為單調(diào)系統(tǒng)，利用單調(diào)動力系統(tǒng)理論，證明了當(dāng)R0>1時，局部平衡的唯一性和全局穩(wěn)定性[3].在許多斑塊區(qū)域傳染病模型中，當(dāng)R0>1時，地方病平衡點的唯一性和全局穩(wěn)定性沒有得到解決，利用Lyapunov函數(shù)方法研究在斑塊區(qū)域環(huán)境中的傳染病模型的全局穩(wěn)定性相關(guān)工作很少.

近年來，許多文獻(xiàn)采用了圖論方法對大規(guī)模耦合系統(tǒng)的全局Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造進(jìn)行了系統(tǒng)化[4-6].該方法已被成功地應(yīng)用于求解多群傳染病模型特有平衡點的全局穩(wěn)定性問題，并解決了斑塊區(qū)域環(huán)境中捕食者-食餌模型的正平衡問題.本文利用新的方法來研究具有n個區(qū)域的傳染病模型的局部平衡的全局穩(wěn)定性.考慮在斑塊區(qū)域環(huán)境中的雙線性傳染病的SIR傳染病模型：

(1.1)

由于變量Ri沒有出現(xiàn)在(1.1)的前兩個方程中，所以可以首先研究簡化系統(tǒng).

本文將討論如下系統(tǒng)(1.2)，并假設(shè)初始條件Si(0)≥0,Ii(0)≥0.

(1.2)

2 初步結(jié)果

2.1 無病平衡點

為了找到(1.2)的無病平衡點，考慮以下線性系統(tǒng)：

(2.1)

矩陣形式表示為DS=Λ.其中，

由于D的所有非對角線元素是非正的，并且D的每個列中的元素和是正的，因此D是非奇異M-矩陣,D-1≥0[7].對于?i，Si(0)≥0，線性系統(tǒng)(2.1)具有唯一的正解S0.

性質(zhì)1 系統(tǒng)(1.2)存在唯一的無病平衡點P0.

2.2 可行區(qū)域

因此(1.2)的可行區(qū)域選擇為：

(2.2)

2.3 基本再生數(shù)

令

(2.3)

(2.4)

參照van den Driessche[2]的方法，計算出基本再生數(shù)為R0=ρ(FV-1).其中，ρ表示矩陣的譜半徑，F(xiàn)V-1是再生矩陣.

依據(jù)文獻(xiàn)[8]中定理2，得到如下結(jié)論：

性質(zhì)2 系統(tǒng)(1.2)的無病平衡點P0，當(dāng)R0<1時局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1時不穩(wěn)定.

2.4 其它邊界平衡點

定理1 假設(shè)B=(bij)是不可約的，那么在?Γ中除了P0外無其它邊界平衡點.

證明 規(guī)定對任意i,有Ii=0蘊(yùn)含著對任意j,有Ij=0.

由于B是不可約的，則存在有序?qū)Φ男蛄衶(i,r1),(r1,r2),…,(rm,j)},使得：

bir1>0,br1r2>0,…,brmj>0,1≤rk≤n,k=1,2,…,m.

因此，

Ir1=0,Ir2=0,…,Irm=0,Ij=0，i=1,2,…,n.

即，?j,Ii=0.

根據(jù)性質(zhì)1得到，方程在邊界?Γ存在唯一的平衡點P0.

3 無病平衡點P0的全局穩(wěn)定性

本節(jié)將證明當(dāng)R0≤1時無病平衡點P0是全局漸近穩(wěn)定性的.

定理2 如果R0≤1，傳遞矩陣B=(bij)是不可約陣或是零陣，那么在Γ中P0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明 證明傳遞矩陣B=(bij)是不可約陣的情況.B=0的情況類似可證.

設(shè)F,V分別由(2.3)和(2.4)中給出.V的所有非對角線項都是非正的，且每一列之和為正，因而V是一個非奇異的M-矩陣.假設(shè)B是不可約的，則V-1>0也是不可約的.根據(jù)Perron-Frobenouse定理[7]，非負(fù)不可約矩陣V-1F存在一個正左特征向量(ω1,ω2,…,ωn),對應(yīng)特征值為ρ(V-1F).

因此，L是系統(tǒng)(1.2)的李雅普諾夫函數(shù).

利用(2.1)式可得,Ii=0(對于i=1,2,…,n).因此，如果L′=0，那么Ii=0.

4 局部平衡點的唯一性和全局穩(wěn)定性

在假設(shè)R0>1條件下，利用圖論方法[5,6,10]推導(dǎo)局部平衡點是唯一的且全局漸近穩(wěn)定的充分條件.

需要注意的是，對于x>0，恒有1-x+lnx≤0(等式成立當(dāng)且僅當(dāng)x=1).根據(jù)系統(tǒng)(1.2)對Vi微分.

(4.1)

附錄：記(G,W)是一個n≥2的加權(quán)二坐標(biāo)向量，W=(wij)是權(quán)重矩陣.如果從頂點j到頂點i的有向弧(j,i)存在，則權(quán)重wij>0；否則wij=0.設(shè)Ti為(G,W)根在頂點i的所有生成樹集合，對于t∈Ti，以W(t)表示t的權(quán)重，是t的所有弧上的權(quán)值的乘積.

若

(A.1)

(A.2)

如果W=(wij)是不可約陣，那么對于所有i，有ci>0[6].