單騰飛 劉才寧

摘要：本文主要運(yùn)用MATLAB軟件實現(xiàn)對調(diào)Q Nd：YAG激光器的綜合設(shè)計，在固體激光器設(shè)計初期完成性能預(yù)測和系統(tǒng)優(yōu)化的目的。主要包括使用MATLAB繪制優(yōu)化Q開關(guān)激光器運(yùn)轉(zhuǎn)的解析解，借助圖像完成激光器的初步設(shè)計。其次通過對激光器速率方程組進(jìn)行數(shù)值求解，推導(dǎo)出在激光調(diào)Q的過程中激光各粒子變化的規(guī)律，進(jìn)而得到如峰值功率、脈寬、升降時間等重要參量，以滿足激光器設(shè)計初期對性能掌握的要求。

關(guān)鍵詞：激光速率方程組，MATLAB，Nd：YAG，主動調(diào)Q

中圖分類號：0439 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

MATLAB是一款數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件，具有高效的數(shù)值計算及圖像處理能力，廣泛應(yīng)用于工程計算、圖像處理等領(lǐng)域。借助MATLAB可以較為輕易地解決與數(shù)學(xué)相關(guān)的問題，包括繪制復(fù)雜函數(shù)的圖形、求解微分方程的解析解。

為優(yōu)化固體激光器，達(dá)到其輸出的最大效率，在設(shè)計過程中可以借助優(yōu)化Q開關(guān)激光器的解析解，來實現(xiàn)激光器的綜合設(shè)計。但由于解析解的函數(shù)形式較為復(fù)雜，難以直接判斷其具體特性。而由于MATLAB軟件具有如上所述的優(yōu)點(diǎn)，可以通過MATLAB軟件繪制出解析解的圖像，進(jìn)而幫助設(shè)計者迅速完成激光器的初步設(shè)計。另外，為了進(jìn)一步了解調(diào)Q激光器的性能，可以通過求解激光器的速率方程組來實現(xiàn)，因為激光器速率方程可以精確地描述激光動態(tài)特性，表征激光器內(nèi)光子數(shù)與工作物質(zhì)各能級上原子數(shù)隨時間變化的規(guī)律[1]。且通過對速率方程的求解，可以進(jìn)一步得出激光器能量、功率脈寬和脈沖形成時間等重要參量，有助于了解在實際情況中固體激光器的特性。另外，由于方程組中各變量相互耦合，其速率方程組的解析解難以算出，一般運(yùn)用計算機(jī)輔助得出數(shù)值解。而通過MATLAB軟件求解速率方程，則可以得到不同階段下激光器內(nèi)光子數(shù)與各能級粒子數(shù)隨時間變化的規(guī)律，進(jìn)而求得激光器的各種性能參量。

2.理論

2.1優(yōu)化Q開關(guān)激光器運(yùn)轉(zhuǎn)的解析解

優(yōu)化Q開關(guān)激光器運(yùn)轉(zhuǎn)的解析解的形式由Degnan推導(dǎo)出，他指出最佳反射率、輸出能量、峰值功率、提取效率等參量可以用函數(shù)z=2g0l/L表示，其中2g0l為對數(shù)小信號增益，L為激光器往返損耗。借助這些函數(shù)可以完成激光器初步設(shè)計，得到Q開關(guān)激光器的脈沖寬度及峰值功率等參數(shù)。

最佳反射率

（1）

輸出能量

（2）

其中Esc為標(biāo)度因子，包含若干常數(shù)。

（3）

脈沖寬度

（4）

其中tR為腔內(nèi)的往返時間，tR=2l'/c，l'為激光器諧振腔的長度， c為光速。且a的表達(dá)式為

a=（z-1）（zlnz） （5）

能量提取效率

（6）

2.2激光器速率方程組的解析解

2.2.1一般四能級系統(tǒng)方程[1]

（7）

（8）

（9）

式中n1為能級1粒子數(shù)密度，n2為能級2粒子數(shù)密度，ntot為總粒子數(shù)密度，γ為簡并因子，對于四能級系統(tǒng)通常為1。Wp為泵浦速率，Wpn0的含義表示單位時間、單位體積內(nèi)由基能級向上激光上能級轉(zhuǎn)移原子的數(shù)量，σ為激光受激發(fā)射截面，φ為光子密度，c為介質(zhì)中的光速，τ21為能級2自發(fā)輻射壽命，τ10為下能級到基態(tài)能級的弛豫時間，τ20為上能級到基態(tài)能級的弛豫時間。其中Wpn0可表示為[2]

（10）

其中ηB為光束交疊效率，ηQ為量子效率，ηS為斯托克斯因子，ηP為泵浦源效率，ηT為有效輻射泵浦效率，ηA為吸收效率，hvl為激光輻射能量，v為光速，Pin為泵浦光功率

2.2.2泵浦階段

由于在泵浦階段中，激光振蕩尚未形成，激光腔內(nèi)光子數(shù)較少。因此在式（7）、（8）中，可近似光子數(shù)密度φ為零，于是得到泵浦階段速率方程

（11）

（12）

2.2.3 Q開關(guān)工作階段[1]

（13）

（14）

式中φ為光子密度，n為反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度，c為介質(zhì)中的光速，l為激活材料的長度，l為諧振腔的長度，tR=2l'/c為光子壽命，σ為受激發(fā)射截面，γ為簡并因子，ε為腔內(nèi)的損耗，可表示為

（15）

式中R為出射鏡反射率，ξ為Q開關(guān)工作時的腔損耗。

3分析說明

調(diào)Q技術(shù)的原理是將激光能量壓縮在很短的脈沖當(dāng)中，從而使得到高的輸出功率。因調(diào)Q激光器具有峰值功率高、脈寬窄等特點(diǎn)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用與工業(yè)加工與科研領(lǐng)域。因此，研究Q開關(guān)激光器設(shè)計方法，具有重要的現(xiàn)實意義。以下主要基于MATLAB軟件繪制優(yōu)化Q開關(guān)激光器的解析解，求解激光器泵浦階段及Q開關(guān)運(yùn)轉(zhuǎn)時的速率方程組，并由此來完成對Q開關(guān)Nd：YAG激光器性能的初步掌握，有助于設(shè)計者的后續(xù)調(diào)整。

3.1優(yōu)化Q開關(guān)激光器的解析解

優(yōu)化Q開關(guān)激光器的解析解由（1）-（6）表示，分別反應(yīng)激光器最佳反射率、脈寬、輸出能量以及提取效率與z之間的關(guān)系。取z作為自變量，利用MATLAB軟件分別繪制出各參量與z之間關(guān)系的圖像。

通過MATLAB軟件所繪制出的以上圖像，我們可清晰得出隨著增益的增加，激光器各參量變化的規(guī)律。其中由圖1及圖4可知，隨著增益的增加，激光器的提取效率以及輸出能量也在不斷提升，其次由圖2及圖3可知，激光器輸出鏡的最佳反射率及激光脈寬隨著增益的不斷增加，而呈現(xiàn)出下降趨勢。

借助以上圖像，可以完成激光器的初步設(shè)計。例如設(shè)計產(chǎn)生0.1J能量輸出的Q開關(guān)Nd：YAG激光器，選定激光晶體的直徑為8mm，長度為100mm，且激光器諧振腔的長度為30cm，腔內(nèi)往返損耗為1%。通過式3可求得ESC為1.68×10-2J。為使輸出能量能達(dá)到1J，則Eout/ESC=60，由圖4可得z=65。通過所求得的z值，以及圖1所示提取效率與z的關(guān)系，可以得到此Q開關(guān)激光器的提取效率約為92%。并且通過圖2所示最佳反射率與z的關(guān)系，得到激光器輸出鏡的反射率為0.86。光束在腔內(nèi)往返行走的時間為tR=2.5485×10-9s，激光器的脈沖寬度可由圖3得到，其值tp=3.8652×10-8S。根據(jù)激光器輸出能量以及計算得出的脈沖寬度，進(jìn)而求得激光器脈沖的峰值為P=Eout/tp=2MW。由上所述，最終完成對激光器輸出鏡反射率的選擇，激光器脈沖寬度及峰值功率的計算。

3.2泵浦階段

為進(jìn)一步了解調(diào)Q Nd：YAG激光器工作過程，此節(jié)主要對激光器泵浦階段速率方程進(jìn)行求解，以掌握泵浦階段腔內(nèi)各粒子數(shù)變化情況。由上述計算得出的激光脈沖峰值功率為2MW，經(jīng)調(diào)整選擇二極管側(cè)面泵浦，泵浦功率Pin=10KW。另外已知腔內(nèi)往返損耗為0.01，激光晶體ND：YAG受激發(fā)射截面為2.8×10-23m2，激光能級間輻射壽命τ21=200μs，下能級弛豫時間τ10=30ns，上能級熒光壽命τf為230μs，光子能量hv=1.87×10-19J，光束交疊效率ηB為0.6，輻射傳輸效率ηT為0.8，ηA吸收效率為0.8，ηP泵浦源效率為0.7，ηS斯托克斯因子為0.7，量子效率ηQ為0.95。

利用MATLAB軟件求解微分方程5、6[3]，核心代碼如下：

wpn0=nq*ns*nb*nt*np*na*P/（v*h*vl）；%wpn0為向亞穩(wěn)態(tài)能級輸送粒子的速率

tf=230*（10^-6）；%上能級熒光壽命

t21=200*（10^-6）；%激光能級間輻射壽命

t10=30*（10^-9）；%下能級弛豫時間

dy=zeros（2，1）；

dy（2）=wpn0-y（2）/tf；

dy（1）=y（2）/t21-y（1）/t10；

并將數(shù)值解繪制出，可得激光上能級和基態(tài)粒子數(shù)隨時間變換的規(guī)律

由圖4可知在泵浦階段上下能級粒子數(shù)密度的變化情況，粒子數(shù)密度隨時間增加呈上升趨勢，并穩(wěn)定到某一固定值，且上能級粒子數(shù)密度增長速度大于下能級粒子數(shù)密度。經(jīng)過約80ms粒子數(shù)密度穩(wěn)定，上能級粒子數(shù)密度穩(wěn)定值為1.5×1023m-3，而下能級粒子數(shù)密度穩(wěn)定值為2×1019m-3。

3.3 Q開關(guān)工作階段

Q開關(guān)工作可用微分方程7、8表示，利用泵浦階段上能級粒子數(shù)密度穩(wěn)定值作為其初始條件，并用MATLAB軟件進(jìn)行求解[3]。核心代碼如下：

dy=zeros（2，1）；

dy（1）=-y（1）.*c.*ec.*y（2）；%c為真空中光速，ec為增益介質(zhì)受激發(fā)射截面

dy（2）=（2.*y（1）.*y（2）.*ec.*l./tr）-y（2）./tc；%tr光在腔中往返一周的時間

3.4性能參數(shù)

激光器其輸出功率可用以下公式表示[4]

（16）

其中v為激光發(fā)射頻率，A為腔內(nèi)光束截面，R代表激光器輸出鏡的透射率。

將此方程與Q開關(guān)工作階段微分方程聯(lián)立，通過求解Q開關(guān)工作階段的光子數(shù)密度變化規(guī)律得到激光器的輸出功率。核心代碼如下：

dy（3）=1.1892*10^（-16）*dy（2）；%輸出功率

由圖7可知上能級粒子數(shù)密度、光子數(shù)密度以及激光輸出功率之間的關(guān)系，隨著時間增長，上能級粒子數(shù)密度快速減小，而光子數(shù)密度及激光輸出功率變化規(guī)律相同，在某一時刻出現(xiàn)峰值，隨即趨于平穩(wěn)。此外在圖7中可以初步了解激光器輸出功率出現(xiàn)峰值的時間以及峰值功率的大小，有利于設(shè)計者掌握激光器整體性能，對于以后激光器的調(diào)整起到促進(jìn)作用。

結(jié)論

通過利用MATLAB可以解出激光速率方程組的數(shù)值解，有利于了解激光器在泵浦及Q開關(guān)運(yùn)作期間激光內(nèi)各級原子和光子數(shù)的變化規(guī)律，進(jìn)而得到激光器各種性能參數(shù)，仿真結(jié)果對于優(yōu)化脈沖激光器起到指導(dǎo)作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]（美）W.克希耐爾（WalterKoechner），固體激光工程[M].科學(xué)出版，2002

[2]田兆碩，陳衛(wèi)標(biāo)，胡企銓.考慮激光下能級弛豫過程的調(diào)Q Nd∶YAG速率方程理論分析[J].光子學(xué)報，2005（03）：325-328.

[3]歐攀，高等光學(xué)仿真（MATLA版）——光波導(dǎo)，激光[M].北京航空航天大學(xué)出版社，2014.

[4]李榮，伊厚會.Nd：YAG被動調(diào)Q激光器的研究及其設(shè)計[J].河北師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）[J]，2011，35（06）：589-593.