張 琪， 張英堂， 李志寧， 李青竹， 鄭建擁

(1. 94019部隊(duì)， 新疆 和田 848000； 2. 陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)車輛與電氣工程系， 河北 石家莊 050003)

磁性體(如未爆彈[1]和水下車輛等[2])產(chǎn)生的磁異常信號(hào)可由磁傳感器測(cè)得。磁標(biāo)量傳感器具有相對(duì)于坐標(biāo)軸方向不敏感的優(yōu)勢(shì)[3]，但僅能測(cè)得總場(chǎng)強(qiáng)度信號(hào)，獲得的信息量較少。磁矢量傳感器不僅能測(cè)得磁性目標(biāo)在3個(gè)正交方向的磁場(chǎng)矢量，由多個(gè)磁矢量傳感器構(gòu)成的張量探頭還能獲得磁梯度張量信息。磁梯度張量不僅具有信息量大、分辨率高的優(yōu)勢(shì)，而且能有效屏蔽地磁背景場(chǎng)的干擾。

WYNN[4]首次提出了磁偶極子的單點(diǎn)定位理論；ZHANG等[5]指出磁偶極子的定位算法是歐拉反褶積的一種特例；NARA等[6]通過計(jì)算磁梯度張量矩陣的逆與3個(gè)正交方向上的磁場(chǎng)矢量的乘積來估算磁偶極子的位置；張朝陽等[7]研究了磁偶極子模型的適用條件；NARA等[8]通過將歐拉方程轉(zhuǎn)化為積分形式，提出了一種具有更高精度的新型定位方法，得到了具有磁通面積分的解析解。磁性目標(biāo)的位置雖然可以通過解析法直接反演得到，但在實(shí)際應(yīng)用中，由磁傳感器測(cè)得的磁異常信號(hào)通常是磁性目標(biāo)產(chǎn)生的異常場(chǎng)和地磁背景場(chǎng)的疊加，很難將二者進(jìn)行有效分離。

為消除地磁場(chǎng)的影響，李光等[9]和于振濤等[10]分別設(shè)計(jì)了正六面體和正三角形的磁梯度張量探測(cè)系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了磁偶極子的單點(diǎn)定位，但并未經(jīng)試驗(yàn)驗(yàn)證；GANG等[11]利用5個(gè)三軸磁通門磁傳感器構(gòu)建了十字形探測(cè)陣列，并提出了一種基于高階磁梯度張量的磁性目標(biāo)定位算法，可實(shí)時(shí)定位靜止磁性目標(biāo)。上述方法雖然從理論上實(shí)現(xiàn)了磁偶極子的定位，但在實(shí)際應(yīng)用中，不僅需要搭建復(fù)雜的磁傳感器陣列探測(cè)系統(tǒng)，而且需要對(duì)單個(gè)三軸磁傳感器的自身誤差和三軸磁傳感器軸系之間的對(duì)正誤差等進(jìn)行嚴(yán)格校正。鑒于此，筆者首先在歐拉反褶積公式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了基于磁梯度張量的改進(jìn)定位算法，給出了附加約束方程，然后設(shè)計(jì)了一字形磁傳感器陣列探測(cè)系統(tǒng)，并通過仿真對(duì)比分析了改進(jìn)算法和直接反演法在受到地磁背景場(chǎng)、地磁場(chǎng)梯度和系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響時(shí)的定位誤差，最后通過相關(guān)定位試驗(yàn)得到了精度更高的定位解。

1 定位理論

1.1 磁梯度張量

二階磁梯度張量表示磁場(chǎng)三分量在3個(gè)互相正交方向上的空間變化率，其矩陣形式為

(1)

式中：G為二階磁梯度張量矩陣；Bi(i=x,y,z)為磁場(chǎng)矢量；Bij(i,j=x,y,z)為二階磁梯度張量分量。

1.2 直接反演法

當(dāng)探測(cè)距離大于2.5倍的磁性目標(biāo)長(zhǎng)度時(shí)，可將該磁性目標(biāo)簡(jiǎn)化成磁偶極子模型[7]。在該條件下，磁矩矢量為m=(mx,my,mz)的磁偶極子在距離其r=(rx,ry,rz)T處產(chǎn)生的磁場(chǎng)矢量和二階磁梯度張量分量可分別由下式計(jì)算得到：

(2)

(3)

根據(jù)歐拉反褶積公式[5]，磁性目標(biāo)的位置r、磁場(chǎng)矢量B和二階磁梯度張量矩陣之間的線性關(guān)系為

Gr=-3B,

(4)

則磁性目標(biāo)的位置矢量可表示為

r=-3G-1B,

(5)

即

(6)

式(6)即磁偶極子的單點(diǎn)定位算法，亦稱直接反演法。若已知任一觀測(cè)點(diǎn)的磁場(chǎng)三分量和二階磁梯度張量分量，即可反演出磁性目標(biāo)的位置。其中：磁場(chǎng)三分量可由三軸磁傳感器直接測(cè)得；二階磁梯度張量分量可通過磁梯度張量探頭計(jì)算得到。

1.3 改進(jìn)的定位算法

由于地磁場(chǎng)梯度較小，一般不超過0.02 nT/m，因此磁梯度張量基本不受地磁場(chǎng)的影響。然而，實(shí)測(cè)磁場(chǎng)矢量卻不可避免地包含地磁場(chǎng)分量，且二者難以分離。另外，磁異常數(shù)據(jù)的導(dǎo)數(shù)階次越高，其定位精度越高，但高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，尤其是高階垂向?qū)?shù)的計(jì)算受高頻干擾的影響較大。因此，為了有效降低地磁場(chǎng)對(duì)定位精度的影響，對(duì)式(4)等號(hào)兩邊分別求水平方向的偏導(dǎo)數(shù)，即

(7)

三階磁梯度張量矩陣僅包含7個(gè)獨(dú)立的張量分量，因此式(7)又可表示為

(8)

由于式(8)是欠定方程組，因此還需引入額外的方程。二階磁梯度張量矩陣是對(duì)稱陣，對(duì)于磁偶極子，其絕對(duì)值最小的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量b3=(b3x,b3y,b3z)垂直于m和r所在的平面[12]，故滿足

b3xrx+b3yry+b3zrz=0。

(9)

聯(lián)立式(8)、(9)，得到方程組

(10)

式中：Bijk(i,j,k=x,y,z)為三階磁梯度張量分量。

因此，磁偶極子的位置矢量可表示為

(11)

式(11)即改進(jìn)的定位算法，若已知任一觀測(cè)點(diǎn)的二階和三階磁梯度張量分量，即可反演出磁性目標(biāo)的位置，且該解具有唯一性。

1.4 磁探測(cè)系統(tǒng)

由于一字形傳感器陣列的探測(cè)效率較高，單次掃描就可以獲得大量的磁異常數(shù)據(jù)，因此將m(m≥3)個(gè)三軸磁傳感器依次等間距排布，構(gòu)成一字形探測(cè)陣列，如圖1所示。在某一探測(cè)高度，以某一恒定速度v移動(dòng)傳感器陣列系統(tǒng)，并以相同的采樣周期同步采樣n次，便可得到m×n個(gè)采樣點(diǎn)處的磁場(chǎng)三分量數(shù)據(jù)。

相比三角形、正方形、直角四面體和正四面體結(jié)構(gòu)，十字形結(jié)構(gòu)張量探頭的測(cè)量誤差最小[13]。為了獲得磁性目標(biāo)的磁梯度張量數(shù)據(jù)，首先，以單個(gè)磁傳感器為研究對(duì)象，提取其在各采樣點(diǎn)處的磁場(chǎng)三分量數(shù)據(jù)；然后，以磁傳感器陣列為研究對(duì)象，提取其在各軸線上的采樣結(jié)果；最后，以連續(xù)3條軸線上的采樣結(jié)果為分析對(duì)象，選擇5個(gè)最鄰近且能夠構(gòu)成十字形的采樣點(diǎn)，以獲得磁梯度張量數(shù)據(jù)。為便于描述，本文將這樣的5個(gè)采樣點(diǎn)稱之為類十字形張量探頭，如圖2所示。

結(jié)合測(cè)得的磁場(chǎng)三分量數(shù)據(jù)，利用有限差分法即可得到類十字形張量探頭中央的二階磁梯度張量。由于磁感應(yīng)強(qiáng)度在無源空間中的散度和旋度均為0，因此二階磁梯度張量矩陣僅包含5個(gè)獨(dú)立分量，具體公式為

(12)

式中：Bij(i=1,2,3,4;j=x,y,z)為各采樣點(diǎn)處的磁場(chǎng)分量；dx和dy分別為相鄰采樣點(diǎn)在X和Y方向上的距離。

進(jìn)一步地，利用有限差分法可近似得到張量探頭中央的三階磁梯度張量分量，其公式為

(13)

1.5 誤差分析

為了研究所述方法的定位效果，引入目標(biāo)位置的絕對(duì)誤差(Absolute Error，AE)和均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)作為定位結(jié)果的評(píng)價(jià)指標(biāo)，其公式為

(14)

2 仿真分析

定義一個(gè)磁偶極子，并將其放置于坐標(biāo)原點(diǎn)，磁化傾角和磁化偏角分別為30°和45°，總磁矩為1 000 A·m2。其中：x軸的正方向朝北，y軸的正方向朝東，z軸的正方向垂直向下。假設(shè)測(cè)區(qū)的平均地磁場(chǎng)強(qiáng)度為53 000 nT，地磁傾角和地磁偏角分別為56°和-16°。利用6個(gè)三軸磁傳感器組成一字形陣列探測(cè)系統(tǒng)，并放置在Z=-10 m和X=-20 m兩平面的交線上，其中，1號(hào)磁傳感器位于點(diǎn)(-20 m，-20 m，-10 m)處。相鄰磁傳感器之間的間距為0.2 m，采樣間隔為0.1 m，磁傳感器的測(cè)量精度為0.1 nT。測(cè)區(qū)大小為20 m×20 m，且磁探測(cè)系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)整個(gè)測(cè)區(qū)的數(shù)據(jù)采集。

需要說明的是，仿真中的磁傾角、磁偏角和磁矩等參數(shù)均為任意選取，也可以選擇其他值以驗(yàn)證所述方法的有效性。

2.1 地磁背景場(chǎng)對(duì)定位誤差的影響

若考慮地磁背景場(chǎng)的影響，即當(dāng)磁傳感器的測(cè)量值包含地磁場(chǎng)分量時(shí)，直接反演法、改進(jìn)算法的定位誤差分別如圖3、4所示?？芍褐苯臃囱莘ㄔ?個(gè)方向上的定位誤差較大；相比之下，改進(jìn)算法在3個(gè)方向上的定位誤差明顯小得多。通過進(jìn)一步計(jì)算可知：直接反演法和改進(jìn)算法估算結(jié)果的RMSE分別為1382 579.82m和24.83m。由此可知：直接反演法受地磁背景場(chǎng)的影響較大，定位精度較低；而改進(jìn)算法基本不受地磁背景場(chǎng)的影響，定位精度較高。

2.2 地磁場(chǎng)梯度對(duì)定位誤差的影響

為了消除地磁背景場(chǎng)的影響，將地磁基站的觀測(cè)值與磁傳感器的測(cè)量值的差值作為磁偶極子的磁異常矢量值。假設(shè)基站與磁探測(cè)系統(tǒng)之間的距離為800 m，平均地磁場(chǎng)梯度為0.02 nT/m，直接反演法、改進(jìn)算法的定位誤差分別如圖5、6所示?？芍褐苯臃囱莘ㄔ?個(gè)方向上的定位誤差變小，但整體誤差水平仍然較高；而改進(jìn)算法無明顯變化，其在3個(gè)方向上的定位誤差遠(yuǎn)小于直接反演法。通過進(jìn)一步計(jì)算可知：直接反演法和改進(jìn)算法估算結(jié)果的RMSE分別為104.33 m和24.83 m。由此可知：消除地磁背景場(chǎng)后，直接反演法的定位精度略有提高，但是受地磁場(chǎng)梯度的影響，其定位誤差仍然較大，整體誤差水平較高；而改進(jìn)算法基本不受地磁場(chǎng)梯度的影響，整體誤差水平較低。

2.3 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)對(duì)定位誤差的影響

同時(shí)忽略地磁背景場(chǎng)和地磁場(chǎng)梯度的影響，僅改變磁探測(cè)系統(tǒng)的姿態(tài)。假設(shè)系統(tǒng)俯仰角和橫傾角分別為0.1°和0.05°，直接反演發(fā)、改進(jìn)算法的定位誤差分別如圖7、8所示?？芍褐苯臃囱莘ㄔ?個(gè)方向上的定位誤差較大，而改進(jìn)算法在3個(gè)方向上的定位誤差明顯小于直接反演法。通過進(jìn)一步計(jì)算可知：直接反演法和改進(jìn)算法估算結(jié)果的RMSE分別為1 254.54 m和20.44 m。由此可知：直接反演法受系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響較大，定位精度較低；而改進(jìn)算法基本不受系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響，定位精度較高。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所述方法的實(shí)際應(yīng)用效果，建立由傳感器模塊、數(shù)據(jù)采集模塊和PC操作模塊等組成的磁探測(cè)系統(tǒng)，如圖9所示。將5個(gè)三軸磁通門傳感器依次等間隔地安裝在鋁制支架上，構(gòu)成一字形陣列結(jié)構(gòu)。相鄰磁傳感器之間的間隔為0.25 m，陣列結(jié)構(gòu)的單次步進(jìn)距離為0.1 m。

為了消除地磁背景場(chǎng)的影響，首先利用磁探測(cè)系統(tǒng)測(cè)得測(cè)區(qū)的平均地磁場(chǎng)強(qiáng)度，然后在測(cè)區(qū)內(nèi)放置一個(gè)小磁鐵，并將其視作磁偶極子模型，最后通過等間距地移動(dòng)一字形磁傳感器陣列實(shí)現(xiàn)磁異常數(shù)據(jù)的采集。改變小磁鐵的位置，進(jìn)行4組定位試驗(yàn)，2種方法的定位結(jié)果如表1所示。由表1可知：在實(shí)際探測(cè)過程中，改進(jìn)算法的RMSE始終小于直接反演法，說明改進(jìn)算法的實(shí)際定位精度較高。由于受到磁傳感器的零點(diǎn)漂移誤差、靈敏度不一致誤差、三軸非正交誤差、傳感器周圍的軟磁和硬磁干擾誤差等影響，實(shí)際定位結(jié)果相比磁性目標(biāo)的真實(shí)位置仍存在一定的誤差，但改進(jìn)算法已基本滿足工程實(shí)踐需要，實(shí)用性更強(qiáng)。

表1 2種方法的定位結(jié)果 m

4 結(jié)論

仿真及試驗(yàn)結(jié)果表明：相比直接反演法，本文所提改進(jìn)算法受地磁背景場(chǎng)、地磁場(chǎng)梯度和系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響更小，定位精度更高，實(shí)用性更強(qiáng)。但改進(jìn)算法仍存在一些不足，利用有限差分法估算得到的高階磁梯度張量不僅與傳感器的測(cè)量精度、基線長(zhǎng)度有關(guān)，而且容易受到噪聲干擾的影響，因此，在下一步的工作中需要研究系統(tǒng)誤差對(duì)定位結(jié)果的影響，并可通過對(duì)磁探測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行校正和補(bǔ)償來提高定位精度。