■河南省安陽市第三中學 張玉寶

通過研究近幾年的高考試題發(fā)現(xiàn),函數(shù)圖像的考查已成為高考命題的重點內(nèi)容。有直接給出函數(shù)圖像供選的,也有間接利用函數(shù)圖像求解的。前者大多以選擇題的形式出現(xiàn),后者通常是選擇或填空題的最后一題。這種形式,不僅考查了函數(shù)的概念和性質(zhì),以及其中所蘊含的轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結合等數(shù)學思想,而且體現(xiàn)了數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)。本文從函數(shù)圖像的識與用兩方面進行論證分析,以詮釋函數(shù)圖像在解題中的魅力,旨在拋磚引玉,引起大家對函數(shù)圖像作用的認識和重視。

一、函數(shù)圖像的識

題型1——已知函數(shù)解析式,識別對應函數(shù)的圖像

圖1

點撥:本題通過奇函數(shù)的定義研究函數(shù)的奇偶性并利用奇偶函數(shù)的圖像特征排除選項A,緊接著利用圖中的已知信息,從(1,1)點入手,通過估算f(1)的大小排除C,D,從而確定選項B。

小結：這類題型的解法思路為:

(1)簡單基本初等函數(shù),直接對口選圖。

(2)兩域看x,y。定義域看x,即圖像的左與右,值域看y,即圖像的上與下。

(3)奇偶性看對稱。奇函數(shù)的圖像關于原點對稱,偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱。

(4)單調(diào)性看升降。增函數(shù)圖像上升,減函數(shù)圖像下降。

(5)周期性看反復。周期是幾,圖像就會隔幾重復出現(xiàn)。

(6)圖中看數(shù)據(jù)。一般來說,圖中都會出現(xiàn)一些已知的數(shù)據(jù),如x,y軸上標出的數(shù)字,這些都是關鍵信息。通常需要注意的是圖像與坐標軸的交點、拐點、最高(低)點等特殊點,利用特殊點排除選項。這些點如果用得好,往往會成為解題的突破口,讓解題勢如破竹,柳暗花明。

題型2——已知函數(shù)圖像,求函數(shù)解析式或性質(zhì)

例2 函數(shù)y=As i n(ω x+φ)的部分圖像如圖2所示,則( )。

圖2

小結：這類題型的解法思路為:

(2)根據(jù)最值點或函數(shù)的零點之間的距離確定周期T的值,如函數(shù)的兩個相鄰的零鄰的最高點與最低點間鄰的兩個最高(或最低)點間的距離為T。

(4)求出函數(shù)的解析式后,可能會接著考查函數(shù)的一些性質(zhì),如單調(diào)區(qū)間、周期、最大(小)值等。

題型3——已知一個函數(shù)的圖像,找出另一個函數(shù)的圖像

例3 函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f'(x)的圖像如圖3所示,則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是圖4中的( )。

圖3

圖4

解析：觀察導函數(shù)y=f'(x)的圖像可知,f'(x)的圖像在x軸上有三個零點,從左到右分別設為a,b,c,且a＜0＜b＜c,當x＜a時,f'(x)＜0,原函數(shù)圖像下降;當x∈(a,b)時,f'(x)＞0,原函數(shù)圖像上升;當x∈(b,c)時,f'(x)＜0,原函數(shù)圖像下降;當x∈(c,+∞)時,f'(x)＞0,原函數(shù)圖像上升。因此,y=f(x)的大致圖像是降→升→降→升,排除A,C。又y=f(x)的極大值點b為正可知,B不符合。故選D。

點撥:本題從已知導函數(shù)的零點出發(fā)找極值點,看x軸上方的圖像f'(x)＞0,原函數(shù)圖像上升,看x軸下方的圖像f'(x)＜0,原函數(shù)圖像下降,然后據(jù)此畫出原函數(shù)的大致圖像,再結合極值點的正負確定選項D。

小結：這類題型的解法思路為:

(1)已知導函數(shù)圖像找原函數(shù)圖像。對于導函數(shù)圖像,主要看導函數(shù)的零點,即其與x軸的交點x0,且圖像在x0兩側附近連續(xù)分布于x軸上下方,則x0為原函數(shù)圖像的極值點。這里,以導數(shù)為工具來討論函數(shù)的單調(diào)性時,由導函數(shù)f'(x)的正負,得出原函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。故f'(x)＞0時,原函數(shù)單調(diào)增,圖像上升,f'(x)＜0時,原函數(shù)單調(diào)減,圖像下降。

(2)已知原函數(shù)圖像找導函數(shù)圖像。原函數(shù)圖像主要看其升降的“拐點”,圖像上升,原函數(shù)的導函數(shù)值為正,其導函數(shù)的圖像在x軸的上方;圖像下降,原函數(shù)的導函數(shù)值為負,其導函數(shù)的圖像在x軸的下方。

二、函數(shù)圖像的用

題型4——利用函數(shù)的圖像解不等式

例4 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)。當x＞0時,f(x)=x2-4x,則不等式f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為 。

解析：作出f(x)=x2-4x(x＞0)的圖像,如圖5所示。由于f(x)是定義在R上的奇函數(shù),利用奇函數(shù)圖像關于原點對稱作出x＜0的圖像。再作出直線y=x的圖像。不等式f(x)＞x,表示函數(shù)y=f(x)的圖像在直線y=x的上方,觀察圖像易得解集為(-5,0)∪(5,+∞)。

點撥:不等式f(x)＞x的解集就是函數(shù)y=f(x)的圖像落在函數(shù)y=x的圖像上方的部分所對應的自變量x的取值集合。

圖5

小結：利用函數(shù)的圖像解不等式的思路為:當不等式問題用代數(shù)法求解困難或不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關時,常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的上下關系問題,數(shù)形結合求解。

題型5——利用函數(shù)的圖像求函數(shù)的交點問題

例5 已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當x∈[-1,1]時,f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=|l gx|的圖像的交點共有( )。

A.1 0個 B.9個 C.8個 D.1個

解析：在同一坐標系中作出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=|l gx|的圖像,如圖6所示,

圖6

分析圖像可知,共有1 0個交點。故選A。

點撥:在同一坐標系中正確作出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=|l gx|的圖像是求解本題的關鍵。

小結：這類題型的解法思路為:

(1)已知兩函數(shù),利用周期性、奇偶性直接作出兩個函數(shù)的圖像,看圖查交點即可。

(2)遇到函數(shù)的零點問題,轉(zhuǎn)化為兩個新函數(shù)的圖像交點問題,再同(1)作出圖像求解即可。

函數(shù)的圖像形象地揭示了函數(shù)的概念和本質(zhì),彰顯了函數(shù)的個性和品質(zhì),為我們研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性。我們既可以在有圖時看圖識圖,也可以在無圖時畫圖用圖。這為我們探求解題途徑,尋找解題的思路和方法,感悟轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結合的數(shù)學思想,提供了一個很好的載體。