鐘佳岐 梁山 熊慶宇

過(guò)去20年,微波加熱已經(jīng)廣泛應(yīng)用于食品加工[1]、化工合成[2]、物料干燥[3]以及陶瓷燒結(jié)[4]等各個(gè)領(lǐng)域并取得了長(zhǎng)足的發(fā)展.作為一種典型的體積加熱模式,相比于傳統(tǒng)的加熱方法,微波能極大地提升介電媒質(zhì)的全局溫升速率.但是,電磁場(chǎng)的傳播特性以及時(shí)變介電特性必然會(huì)導(dǎo)致在加熱過(guò)程中熱點(diǎn)的產(chǎn)生,若缺乏合理的功率調(diào)節(jié)策略,將有可能導(dǎo)致燃燒爆炸等一系列危險(xiǎn)性事故[5].針對(duì)該問(wèn)題,不少學(xué)者已經(jīng)從不同觀點(diǎn)出發(fā),研究抑制熱失控的方法[6?8],但由于電磁場(chǎng)環(huán)境中的在線溫度檢測(cè)技術(shù)極不成熟,導(dǎo)致難以完全依賴輸入輸出信息,設(shè)計(jì)合理的調(diào)控策略.因此,需要基于微波加熱機(jī)理模型,提出一種全新的溫度跟蹤控制策略,實(shí)現(xiàn)熱失控的抑制,保證微波能應(yīng)用的安全性、高效性以及可靠性.

由于多物理場(chǎng)自身演化與相互耦合的特征,使得微波加熱過(guò)程常用一組具有時(shí)空耦合特性的模型[9]進(jìn)行描述,其主要包含偏微分方程(Partial differential equation,PDE),非齊次Neumann邊界條件以及初始條件.就PDE方程來(lái)說(shuō),它不僅能描述媒質(zhì)內(nèi)部熱傳導(dǎo)特性,還能利用非齊次項(xiàng)耦合“熱–電磁”的瞬態(tài)演化過(guò)程.然而,對(duì)于德拜媒質(zhì)[10],隨溫度變化的介電常數(shù)將會(huì)導(dǎo)致電磁分布也呈現(xiàn)出極強(qiáng)時(shí)變性.雖然Akkari等[8]和Damour等[11]學(xué)者基于微波加熱的PDE模型開展了多變量跟蹤及溫度預(yù)測(cè)等大量的工作,但仍然沒有討論隨溫度變化的介電特性以及輸入功率的約束對(duì)微波加熱整體性能的影響.近年來(lái),盡管Yin等[12]已經(jīng)在數(shù)學(xué)層面上證明了在空間中存在一個(gè)最優(yōu)電場(chǎng),能夠使德拜媒質(zhì)具有期望的溫升速率,但在控制器的實(shí)現(xiàn)上仍然存在一定的不足.其原因是:缺乏適合微波加熱控制器設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)化模型.受此啟發(fā),Zhong等[13?14]改進(jìn)譜迦遼金法,將微波加熱PDE模型轉(zhuǎn)化成有限維常微分方程(Ordinary differential equation,ODE)模型,提高多參量預(yù)測(cè)的速率并減小系統(tǒng)分析的難度,為溫度控制器設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)奠定基礎(chǔ).

過(guò)去幾年,輸入受限的受擾系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題得到了廣泛關(guān)注,諸如模型預(yù)測(cè)[15?16]、抗飽和設(shè)計(jì)[17?18]等控制方法如雨后春筍般涌現(xiàn)而出.對(duì)于受擾線性系統(tǒng)的對(duì)稱輸入飽和問(wèn)題,Chen等[19]已經(jīng)進(jìn)行了充分研究,將H∞增益、耗散不等式以及不變集理論進(jìn)行融合,有效地處理了較高性能需求與飽和約束間的關(guān)系.然而,單一的H∞性能指標(biāo)僅能保證系統(tǒng)穩(wěn)定性與抗干擾性能,并不能完全滿足多目標(biāo)性能優(yōu)化的要求.受此啟發(fā),很多學(xué)者近年來(lái)針對(duì)H∞增益與保性能函數(shù)相融合情形下控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題[20?21]進(jìn)行研究,使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定的同時(shí),達(dá)到抗干擾與保性能的需求.但在德拜媒質(zhì)微波加熱過(guò)程中,非齊次Neumann邊界條件的擾動(dòng)以及介電常數(shù)隨溫度變化的特性使得微波加熱模型呈現(xiàn)出極強(qiáng)的時(shí)變特性.因此,圍繞微波加熱模型所具有的輸入飽和、外部擾動(dòng)以及內(nèi)部不確定性等本質(zhì)屬性,需進(jìn)一步將多目標(biāo)性能函數(shù)(例如H∞范數(shù)[22]、二次型函數(shù)[23]等)融入到溫度調(diào)控過(guò)程中.然而,針對(duì)具有輸入飽和的不確定系統(tǒng)多目標(biāo)控制器的設(shè)計(jì)仍缺乏足夠的研究.倘若將上述控制方法用于德拜媒質(zhì)微波加熱過(guò)程中的熱失控抑制,不僅會(huì)影響閉環(huán)動(dòng)態(tài)性能,更難以保證溫度調(diào)控過(guò)程中的穩(wěn)定性和魯棒性.

德拜媒質(zhì)微波加熱過(guò)程中的熱失控抑制問(wèn)題本質(zhì)上是同時(shí)具有輸入飽和、內(nèi)部不確定性以及外部擾動(dòng)特征系統(tǒng)的輸出跟蹤問(wèn)題.因此,本文充分考慮以上提及的各項(xiàng)影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的因素,將輸出跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化為誤差鎮(zhèn)定問(wèn)題,結(jié)合線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI)技術(shù)與滾動(dòng)優(yōu)化原理,提出滾動(dòng)時(shí)域H∞保性能跟蹤控制策略.本文提出的方法能夠在線權(quán)衡系統(tǒng)性能需求與輸入約束間的矛盾,在德拜媒質(zhì)微波加熱控制過(guò)程中可跟蹤最高溫度監(jiān)測(cè)區(qū)域并抑制熱失控的發(fā)生.

1 預(yù)備知識(shí)

眾所周知,在微波加熱過(guò)程中,全局瞬態(tài)溫度分布受電磁場(chǎng)與熱動(dòng)力學(xué)場(chǎng)間的相互耦合作用而產(chǎn)生顯著的變化.為了簡(jiǎn)化上述復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模過(guò)程,本文針對(duì)非磁性德拜媒質(zhì)中的主要特征,并給出如下三項(xiàng)假設(shè):

假設(shè)1.被加熱媒質(zhì)的材質(zhì)均勻且各向同性;

假設(shè)2.媒質(zhì)的體積變化和質(zhì)傳可被忽略;

假設(shè)3.媒質(zhì)的熱力學(xué)特性不隨溫度變化但介電特性隨溫度變化.

基于熱力學(xué)第一定律,在一維方向上的德拜媒質(zhì)微波加熱過(guò)程的數(shù)學(xué)模型可由下述偏微分方程模型進(jìn)行描述.

邊界條件

初始條件

其中,T=T(z,t)表示在t時(shí)刻及z位置的溫度;ρ,Cp和κ分別表示媒質(zhì)的密度、比熱容及熱導(dǎo)率;hL和hR表示在媒質(zhì)邊界的傳熱系數(shù);T∞為環(huán)境溫度,Qabs是內(nèi)熱源項(xiàng).在微波加熱領(lǐng)域,內(nèi)熱源項(xiàng)Qabs也被稱為耗散功率.通常情況下,耗散功率同時(shí)受微波頻率f、相對(duì)介電損耗∈′′(T)以及局部電場(chǎng)E的影響,可表示為

其中,∈0=8.854×10?14rad/cm 是真空中的電導(dǎo)率;E?是局部電場(chǎng)的共軛復(fù)數(shù);根據(jù)德拜方程,隨溫度變化的復(fù)介電常數(shù)∈(T)可由下述一階方程進(jìn)行描述[24].

其中,∈′(T)是相對(duì)介電常數(shù);∈∞為無(wú)限頻率相對(duì)介電常數(shù);∈s是靜態(tài)相對(duì)介電常數(shù);τ表示當(dāng)電場(chǎng)消失后,原子回返原來(lái)狀態(tài)的時(shí)間,通常將其稱為弛豫時(shí)間;j為虛部符號(hào).

從模型(1)～(4)可以看出:由于非齊次Neumann邊界條件和無(wú)限維特性的約束,很難基于原始的PDE模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì).針對(duì)此問(wèn)題,Zhong等[13]應(yīng)用改進(jìn)型譜迦遼金法,將原始的PDE模型進(jìn)行時(shí)空分離與迦遼金截?cái)?為了更明確地表達(dá)所提出的模型,可將入射電場(chǎng)強(qiáng)度E0從耗散功率(5)中剝離,并定義下述符號(hào):u=|E0|2,a=hL(T(0,t)?T∞),b=?hR(T(L,t)?T∞),h(z)=(b?a)/(2L)×z2+az,k1=κ/(ρCp),k2=1/(ρCp),λi=?(iπ/L)2和φi(z)=cos(iπz/L),i=0,1,···,n,可得到時(shí)空分離的有限維ODE模型

其中,

2 滾動(dòng)時(shí)域H∞溫度跟蹤控制

為了將跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化為鎮(zhèn)定問(wèn)題,首先考慮有限維微波加熱ODE模型(7)和模型(8)的離散時(shí)間模型

很明顯,本文的控制目標(biāo)是在式(11)約束下,設(shè)計(jì)H∞保性能控制器,使得監(jiān)測(cè)點(diǎn)的最高溫度能跟蹤上期望溫升曲線Tref(k),并且其誤差可表示為

顯然,可結(jié)合不同時(shí)刻離散型的狀態(tài)方程、輸出方程以及跟蹤目標(biāo)構(gòu)造輸出增廣系統(tǒng).但由于隨溫度變化的介電特性,必然導(dǎo)致耗散功率在相鄰時(shí)刻內(nèi)產(chǎn)生細(xì)微的變化.但從控制的角度來(lái)看,時(shí)變的介電特性必然會(huì)導(dǎo)致模型的不確定性.若k?1時(shí)刻的狀態(tài)方程為

其中,?Bsd表示相鄰時(shí)刻輸入矩陣的細(xì)微差別.利用式(9),(10),(12)和(14),可構(gòu)造相應(yīng)的增廣系統(tǒng)

其中,

注1.上述推導(dǎo)過(guò)程將溫度輸出跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)樵鰪V系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題.但需注意的是,增廣系統(tǒng)的輸出ytorr(k)主要體現(xiàn)跟蹤性能的優(yōu)劣程度.當(dāng)然,它不僅與相鄰時(shí)刻溫度譜誤差相關(guān),而且取決于溫度跟蹤誤差.在增廣系統(tǒng)的輸出方程中,C1為待定系數(shù)矩陣,其解析化地體現(xiàn)出所設(shè)計(jì)控制器對(duì)輸出溫度“完美”跟蹤的期望程度.一般來(lái)說(shuō),C1越大,說(shuō)明模型所能容忍的跟蹤誤差就越小,所需控制器輸入幅值的震蕩程度也可能會(huì)進(jìn)一步增大.因此,選擇合理的待定系數(shù)矩陣對(duì)閉環(huán)跟蹤系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能顯得尤為重要.

注2.由于原始的有限維微波加熱模型受非對(duì)稱的飽和特性所約束,也就是u∈[0,umax].同樣的,所推導(dǎo)出的誤差增廣模型也受非對(duì)稱飽和特性的約束,根據(jù)前后時(shí)刻輸入約束的線性關(guān)系,不難得出誤差輸入的非對(duì)稱飽和約束范圍

接下來(lái),將針對(duì)具有非對(duì)稱約束(17)的增廣模型(15)和模型(16)設(shè)計(jì)滾動(dòng)時(shí)域H∞保性能控制器.換句話說(shuō),所構(gòu)造的閉環(huán)增廣系統(tǒng)不僅需要滿足H∞增益,而且需要滿足多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù).因此,需要基于當(dāng)前時(shí)刻的誤差溫度譜和誤差增益提出相應(yīng)的保性能評(píng)價(jià)函數(shù)

其中,Q和R均是已知的對(duì)稱正定矩陣.

定義1.考慮不確定增廣系統(tǒng)(15)和系統(tǒng)(16),若存在一個(gè)正常數(shù)γ和一個(gè)正定矩陣P,使得[25]

定義2.考慮不確定增廣系統(tǒng)(15)和系統(tǒng)(16),如果存在一個(gè)誤差增益?u?(k)和一個(gè)正實(shí)數(shù)J?,使得對(duì)于所有允許的不確定性,閉環(huán)增廣系統(tǒng)是穩(wěn)定的且閉環(huán)的二次評(píng)價(jià)函數(shù)(18)滿足J≤J?.那么,對(duì)于不確定增廣系統(tǒng)(15)和系統(tǒng)(16)來(lái)說(shuō),J?被稱為保性能指標(biāo)而?u?(k)則被稱為保性能誤差控制律[26].

其中,Dd和Ed是具有相應(yīng)維數(shù)的已知實(shí)常數(shù)矩陣;F(k)是一個(gè)具有Lebesgue可測(cè)元素的未知矩陣函數(shù),其滿足下述關(guān)系:

秉持由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的思路,利用LMI多目標(biāo)優(yōu)化的框架,需要圍繞增廣系統(tǒng)(15)和系統(tǒng)(16)構(gòu)建不受輸入飽和約束的H∞保性能控制器,并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出處理飽和特性所需的橢球體.但在給出定理之前,需要引入以下引理.

引理1.假設(shè)具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣Ψ1和Ψ2,對(duì)于任意非零向量x∈Rn以及所有的F(k)滿足式(21),使得下式成立[27]:

引理2.假設(shè)具有適當(dāng)維數(shù)的對(duì)稱矩陣Ψ3≥0,Ψ4≥0以及Ψ5＜0,對(duì)于任意非零向量x∈Rn,滿足下述關(guān)系[28]:

則存在相應(yīng)的正實(shí)數(shù)ε,使得下述不等式成立:

引理3(Schur補(bǔ)引理)[29].假設(shè)一個(gè)對(duì)稱矩陣S能劃分為以下四個(gè)部分:

其中,S11=ST11,S22=ST22以及ST21=S12.那么,下述性質(zhì)成立:

定理1.考慮不確定型增廣系統(tǒng)(15)和系統(tǒng)(16)以及二次評(píng)價(jià)函數(shù)(18),如果存在對(duì)稱的正定矩陣P,兩個(gè)正常數(shù)γ和ε以及滿足約束(21)的不確定性矩陣F(k),使得下述矩陣不等式成立:

證明.首先構(gòu)建一個(gè)既滿足H∞增益,又滿足保性能約束的矩陣不等式條件

很明顯,根據(jù)定義1,矩陣不等式(27)能夠使不確定增廣系統(tǒng)滿足H∞性能指標(biāo).若將其分別左乘和右乘非零向量,可推導(dǎo)出下述耗散不等式:

若將式(28)從k?1時(shí)刻累加到k時(shí)刻,能獲得當(dāng)前時(shí)刻評(píng)價(jià)函數(shù)的極大值

結(jié)合定義2,可明顯地看出,矩陣不等式(27)同樣也能滿足相應(yīng)的保性能評(píng)價(jià)函數(shù)(18).接下來(lái),為了保證計(jì)算的可行性,未知矩陣函數(shù)F(k)將會(huì)被進(jìn)一步消除.依次利用引理1、引理2和引理3,可將式(27)轉(zhuǎn)化為

再次使用引理3,可獲矩陣不等式(26). □

為了處理輸入飽和約束的限制,需要構(gòu)造同時(shí)滿足H∞增益和保性能函數(shù)(18)下的橢球集.根據(jù)耗散不等式(28),可以得出

定理2.若在矩陣不等式(26)的約束下,同時(shí)存在一個(gè)正常數(shù)ρ?,使得下述矩陣不等式成立:

那么,H∞保性能控制器滿足對(duì)稱飽和約束,即?u∈[?uopduopd].

證明.橢球體可圍繞過(guò)去某時(shí)刻k?1與當(dāng)前時(shí)刻k的關(guān)系進(jìn)行構(gòu)造,利用引理3,很容易得出等價(jià)于矩陣不等式(33).利用Cauchy-Schwarz不等式,對(duì)稱輸入飽和與橢球體的關(guān)系可獲得

再次利用引理3,可將式(35)轉(zhuǎn)化為矩陣不等式(34). □

然而,上述討論推導(dǎo)出的是一組雙線性矩陣不等式(Bilinear matrix inequalities,BMIs).眾所周知,BMI是非凸的,并不適用于求取全局最優(yōu)解.因此,需要采取一種等價(jià)變換的方法將BMI轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式(LMI),以進(jìn)一步分析相應(yīng)的控制器設(shè)計(jì)的最優(yōu)問(wèn)題.

定理3.如果下述優(yōu)化問(wèn)題

滿足約束條件

存在最優(yōu)解(X,Y,γ,ε).那么,對(duì)于具有滾動(dòng)時(shí)域H∞保性能誤差控制器的不確定閉環(huán)增廣系統(tǒng)(15)和系統(tǒng)(16)存在下述性質(zhì):

性質(zhì)1.對(duì)所有容許的不確定性,其內(nèi)部是漸近穩(wěn)定的;

性質(zhì)2.其誤差控制器?u滿足對(duì)稱約束[?uopd,uopd];

性質(zhì)3.有界外部擾動(dòng)w(k)到不確定增廣系統(tǒng)的輸出ytorr(k)的H∞范數(shù)最小,其值為γ2;

性質(zhì)4.保性能函數(shù)具有上界J?,且在每一時(shí)刻,二次評(píng)價(jià)函數(shù)(18)均滿足J≤J?.

證明.為了將BMI轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI,首先將矩陣不等式(26)的左側(cè)分別左乘和右乘對(duì)稱矩陣diag{P?1,I,P?1,I,εI,I,I,I},再令X=P?1和Y=KP?1,其等價(jià)的LMI形式(37)可獲得.若令α=γ2wmax+ρ?,式(33)可等價(jià)變換成

利用Schur補(bǔ)引理,式(38)能夠獲得.采用相同的方法,式(34)亦可轉(zhuǎn)化成

利用引理3并將矩陣不等式(41)的左邊分別左乘和右乘對(duì)稱矩陣diag{I,P?1},從而能獲得式(39).根據(jù)定理1和定理2的相關(guān)內(nèi)容,可得出閉環(huán)增廣系統(tǒng)(15)和系統(tǒng)(16)滿足性質(zhì)1～4. □

注3.定理1和定理2是在LMI多目標(biāo)優(yōu)化的框架下,討論同時(shí)存在輸入飽和、外部擾動(dòng)以及內(nèi)部不確定性約束的H∞保性能控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題,其目的是保證閉環(huán)增廣系統(tǒng)(15)和系統(tǒng)(16)在任意時(shí)刻的穩(wěn)定性以及魯棒性能.但由于在德拜媒質(zhì)微波加熱過(guò)程中,離線的增益難以保證輸出跟蹤的精準(zhǔn)性.為解決該問(wèn)題,融合滾動(dòng)優(yōu)化的原理,利用每一采樣時(shí)刻的模型和狀態(tài)更新LMI優(yōu)化問(wèn)題并在線求解.因此,定理3摒棄傳統(tǒng)方法的保守性,充分利用受飽和輸入約束的控制性能,實(shí)現(xiàn)H∞性能指標(biāo)γ的在線最小化,使得閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能在滾動(dòng)時(shí)間域中達(dá)到最優(yōu).

從注3可以看出,將滾動(dòng)時(shí)域的思想融入到H∞保性能控制器實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵則是合理選取采樣周期并在線更新模型參量以及增廣狀態(tài).值得指出的是,LMI條件(39)中的常實(shí)數(shù)uopd并不能充分利用有限的控制量,難以主動(dòng)提高系統(tǒng)性能指標(biāo)并實(shí)現(xiàn)非對(duì)稱飽和約束.因此,下面給出滾動(dòng)時(shí)域H∞保性能跟蹤算法的具體步驟:

步驟1.選擇合適的評(píng)價(jià)函數(shù)矩陣Q和R,并初始化LMIs條件(37)～(39),其中給定輸入約束邊界uopd=umax,初始跟蹤位置^z并獲取初始增廣誤差狀態(tài)變量sd(0).

步驟2.在初始時(shí)刻k=0,選擇合適的輸入增益u=u0,并將其代入到離散形式的有限維微波加熱ODE模型(9)和模型(10)中,然后k=k+1.

步驟3.在每一時(shí)刻k＞0,更新輸入矩陣Bsd、不確定輸入矩陣?Bsd、跟蹤位置、狀態(tài)變量?1),并定義輸入約束,接著再求解LMIs優(yōu)化問(wèn)題(36),獲取可行集(X1,Y1,γ1,ε1).

步驟4.判定是否滿足非對(duì)稱約束[0,umax];若滿足,將其代入到模型(9)和模型(10)中,并使k=k+1,轉(zhuǎn)到步驟3;若不滿足,更新約束邊界uopd=|u(k?1)|2.

步驟5.重新求解LMIs優(yōu)化問(wèn)題(36),獲取可行集,將控制器輸入代入到模型(9)和模型(10)中,并使k=k+1,轉(zhuǎn)到步驟3.

3 仿真實(shí)例

在本節(jié)中,上述提出的滾動(dòng)時(shí)域H∞保性能跟蹤控制策略將會(huì)應(yīng)用于一維微波加熱波導(dǎo)仿真模型以驗(yàn)證其有效性,其原理如圖1所示.

圖1 微波加熱德拜媒質(zhì)的詳細(xì)原理圖Fig.1 Detailed schematic diagram for microwave heating Debye medium

正如前面所述,本次仿真將會(huì)耦合無(wú)網(wǎng)格化熱動(dòng)力學(xué)場(chǎng)與網(wǎng)格化電磁場(chǎng).就熱動(dòng)力學(xué)場(chǎng)來(lái)說(shuō),媒質(zhì)內(nèi)部的溫度升高不僅會(huì)加劇媒質(zhì)內(nèi)部的熱傳導(dǎo),而且在邊界處與外部環(huán)境產(chǎn)生向外的熱對(duì)流.該類型的熱對(duì)流在上述推導(dǎo)過(guò)程中也被稱為非齊次的Neumann邊界條件.相應(yīng)的熱動(dòng)力學(xué)參數(shù)與邊界條件如表1所示.

表1 熱力學(xué)參數(shù)和非齊次Neumann邊界條件Table 1 Thermodynamic parameters and nonhomogeneous Neumann boundary condition

對(duì)于電磁場(chǎng)來(lái)說(shuō),首先假設(shè)均勻的TEM 波從媒質(zhì)左側(cè)垂直入射,并且在右側(cè)邊界處發(fā)生透射及反射.由于介電特性隨溫度變化的特性,很難獲得一個(gè)明確的耗散功率表達(dá)式.為了解決該問(wèn)題,可將空間坐標(biāo)均勻分成m等份,再利用時(shí)域有限差分(Finite difference time domain,FDTD) 法求解下述已簡(jiǎn)化的Helmholtz方程

圖2 相對(duì)介電常數(shù)∈′(T)和相對(duì)介電損耗∈′′(T)Fig.2 Relative dielectric constant∈′(T)and relative dielectric loss∈′′(T)

接下來(lái),結(jié)合局部電場(chǎng)和介電常數(shù),局部耗散功率Qabs(zi,t),i=1,2,···,m也能獲得.并利用線性擬合的思路,任意時(shí)刻的全局耗散功率Qabs(z,t)也能獲得.此外,通過(guò)前面的分析與計(jì)算,能容易地獲得在線輸入矩陣Bs.相反,所提出的有限維ODE模型能夠獲得全局的溫度分布以此來(lái)更新局部耗散功率.因此,所提出的電磁場(chǎng)和熱力學(xué)場(chǎng)耦合模型能夠用于描述圖1所述的微波加熱德拜媒質(zhì)模型.

對(duì)于微波加熱長(zhǎng)波導(dǎo)模型,其熱點(diǎn)必定會(huì)出現(xiàn)在離微波饋入口較近的區(qū)域.因此,可以假設(shè)6個(gè)傳感器分別置于0cm,0.25cm,0.5cm,1.0cm,2.0cm和3.0cm處,旨在為在線跟蹤選取合理的位置.進(jìn)一步,假設(shè)模型的初始溫度為20?C,臨界溫度為100?C以及期望溫升曲線為

系統(tǒng)的輸入變量u(k)(即入射電場(chǎng)強(qiáng)度E20)需滿足如下飽和約束

為達(dá)到理想的跟蹤效果,取C1=1,α=250,u0=100V2/cm2,Q=5×10?4I,R=1×10?4I.并將本文提出的滾動(dòng)時(shí)域H∞保性能溫度跟蹤算法作用于運(yùn)用五階迦遼金截?cái)嗟奈⒉訜犭x散ODE模型,實(shí)現(xiàn)對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的最高溫度進(jìn)行跟蹤,其結(jié)果如圖3所示.從圖3可以看出,所提出的跟蹤控制算法能夠有效地抑制有界的外部擾動(dòng)和輸入的不確定性.但由于該類模型自身的特點(diǎn),備選跟蹤位置的溫度能夠快速上升,并且能跟蹤上期望溫度.但是在恒溫階段,邊界的熱對(duì)流與內(nèi)部的熱傳導(dǎo)效應(yīng)必然會(huì)引起整體溫度的下降,因此,入射電場(chǎng)將會(huì)始終為正,并保持跟蹤位置的期望溫度,如圖4所示.結(jié)合圖3和圖4可以看出,在控制器時(shí)域硬約束的情況下,所提出的控制算法只能以犧牲動(dòng)態(tài)性能為代價(jià),以保證入射電場(chǎng)幅度不超過(guò)非對(duì)稱飽和的臨界值.進(jìn)一步,同樣探究了加熱過(guò)程中媒質(zhì)內(nèi)部的全局溫度分布以及保性能函數(shù),其結(jié)果如圖5和圖6所示.

圖3 監(jiān)測(cè)點(diǎn)最高溫度與期望溫升曲線Fig.3 Maximum temperature rise curve in monitoring positions and reference temperature rise curve

圖4 入射電場(chǎng)強(qiáng)度Fig.4 Incident electric field intensity

圖5 全局溫度分布Fig.5 Global temperature distribution

圖6 保性能函數(shù)J的實(shí)際軌跡Fig.6 Actual trajectory for guaranteed cost functionJ

從圖5中可以看出,在1000s以內(nèi)的加熱過(guò)程中,離微波饋入口越近的位置,電場(chǎng)強(qiáng)度較高,溫升速率必然更快,而離微波饋入口越遠(yuǎn)的位置,溫升速率則更慢.因此,通過(guò)利用最高在線溫度跟蹤的方法能夠有效地抑制失控.此外,如圖6所示,在前20s的加熱過(guò)程中,需要快速地跟蹤上期望溫度,其入射電場(chǎng)增量及狀態(tài)變量的波動(dòng)幅度較大,從而導(dǎo)致保性能函數(shù)也有較大幅度的波動(dòng).而在溫升過(guò)程中,雖然入射電場(chǎng)增量變動(dòng)不大,但溫度譜及溫度誤差仍然有所增大,也會(huì)導(dǎo)致保性能函數(shù)逐步增加.但到恒溫階段,由于各類誤差逐步縮小,其保性能函數(shù)同樣也逐步趨于0.綜上所述,仿真的結(jié)果能進(jìn)一步表明:所提出的H∞保性能跟蹤控制器能夠有效地解決微波加熱德拜媒質(zhì)時(shí)最高溫度的跟蹤問(wèn)題.

4 結(jié)論

本文主要針對(duì)德拜媒質(zhì)微波加熱過(guò)程中熱失控抑制問(wèn)題,研究了基于時(shí)空耦合機(jī)理模型的輸入受限魯棒跟蹤控制器的設(shè)計(jì)方法.以H∞增益和保性能函數(shù)為性能指標(biāo),在LMI多目標(biāo)優(yōu)化框架下,推導(dǎo)出滿足輸入受限H∞保性能跟蹤控制器存在的充分條件,并給出了滾動(dòng)時(shí)域跟蹤控制的實(shí)現(xiàn)算法.通過(guò)德拜媒質(zhì)微波加熱短波導(dǎo)仿真模型驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性與可行性.