王 征，袁清珂 ，蕭 顯，肖 聰

（廣東工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，廣東 廣州 510006）

0 引言

近年來，隨著高速切削、精密加工等先進(jìn)技術(shù)的發(fā)展，精密制造加工行業(yè)開始推行高精度、快速響應(yīng)的定位裝置[1]。直線電機(jī)作為一種典型的單軸傳動定位機(jī)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)簡單，無接觸運(yùn)行，噪聲低，速度和精確度高等優(yōu)點(diǎn)[2，3]。直線電機(jī)通常是在PMAC條件下，采用帶物理反饋的閉環(huán)控制方式進(jìn)行加工定位，雖然目前的控制技術(shù)已經(jīng)較為成熟，但是在實(shí)際的應(yīng)用中，并不能完全消除非控制層面的影響。文獻(xiàn)[4]在低速運(yùn)動條件下，研究了滑臺摩擦力對直線電機(jī)定位精度的影響，改進(jìn)了補(bǔ)償控制器，降低了跟蹤誤差；文獻(xiàn)[5]提出了帶前饋的PID混合控制方法，并進(jìn)行了振動誤差的補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，為后續(xù)的研究提供了一定的技術(shù)支持；文獻(xiàn)[6，7]從直線電機(jī)驅(qū)動工作臺出發(fā)，分別對電機(jī)發(fā)熱和摩擦熱進(jìn)行了特性分析，為熱量對機(jī)臺精度影響的研究提供一定的指導(dǎo)意義，但并未涉及如何消除該特性誤差方面；文獻(xiàn)[8]提出了采用誤差補(bǔ)償表進(jìn)行補(bǔ)償，但本質(zhì)是采用離散的補(bǔ)償模型，不能保證工作行程內(nèi)的點(diǎn)位都具有可靠的定位精度。

本文從影響直線電機(jī)定位精度的因素出發(fā)，對電機(jī)控制方法進(jìn)行分析和改進(jìn)，并提出加權(quán)拉格朗日二次插值的補(bǔ)償方法，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析證明了該方法的可行性，能夠補(bǔ)償外界物理因素造成的定位誤差。

1 直線電機(jī)定位精度影響因素分析

直線電機(jī)通常采用帶反饋的閉環(huán)控制方式，可以通過反饋裝置對動子的位置進(jìn)行精確調(diào)整，但是在實(shí)際使用中可能存在光柵尺的裝配誤差、設(shè)備老化、機(jī)臺振動和高溫形變等影響因素，在諸多因素的綜合作用下會累積較大的隨機(jī)誤差。

激光干涉儀是能夠測量線性定位精度的設(shè)備，可精確到0.1μm，并且可以通過外部傳感器近似補(bǔ)償環(huán)境溫度、材料表面溫度、濕度和振動造成的誤差。圖1為激光干涉儀測量電機(jī)定位精度的對比曲線，其中直線電機(jī)有效測量行程為0mm～500mm，測量間隔為10mm，單點(diǎn)停頓時間為 5s，環(huán)境溫度為 24°C。

圖1 補(bǔ)償前后定位精度對比圖Fig.1 Comparison of positioning accuracy before and after compensation

由圖1可以看出，未開啟激光干涉儀補(bǔ)償功能時，所檢測的定位精度在±22μm以內(nèi)，開啟補(bǔ)償后，定位精度在±13μm以內(nèi)。該數(shù)據(jù)表明在直線導(dǎo)軌摩擦生熱、電機(jī)自身產(chǎn)熱、機(jī)臺振動等因素的綜合影響下，產(chǎn)生了較大的定位誤差，精密加工設(shè)備通常要求定位精度在±6μm之內(nèi)，因此目前的情況不能滿足實(shí)際需求。

2 前饋-PID混合控制方法

針對多因素綜合影響問題，選擇采用前饋和PID混合控制的方法，根據(jù)干擾的作用量進(jìn)行補(bǔ)償。被控變量所產(chǎn)生誤差是由干擾引起的，而干擾是諸多影響因素的綜合作用結(jié)果，若每個主要因素都設(shè)置一個前饋通道，將會大大增加使用和維護(hù)的成本，因此本文提出將干擾進(jìn)行綜合和參數(shù)化處理，設(shè)置單個通道進(jìn)行控制。

圖2為前饋-PID混合控制的系統(tǒng)框圖，該系統(tǒng)主要由基于插值法的前饋控制器、PID控制器、D/A和A/D轉(zhuǎn)換器、驅(qū)動器、直線電機(jī)以及光柵尺等組成。

圖2 前饋-PID混合控制的系統(tǒng)框圖Fig.2 Feed-forward PID hybrid control system block diagram

當(dāng)工控機(jī)輸出移動指令時，將計(jì)算所得的理論位置坐標(biāo)輸出給前饋控制器，前饋控制器通過內(nèi)部運(yùn)算輸出該點(diǎn)的補(bǔ)償控制信號，進(jìn)行定位精度的“粗調(diào)”，用以補(bǔ)償外界物理干擾；另一方面，信號通過PID控制器處理，伺服驅(qū)動器發(fā)出脈沖信號控制直線電機(jī)的動作，同時通過光柵尺的反饋?zhàn)饔醚a(bǔ)償機(jī)械誤差。

3 加權(quán)拉格朗日二次插值數(shù)學(xué)模型

拉格朗日二次插值方法即在被插函數(shù)曲線上任取相鄰三個點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)，以這三個點(diǎn)作一條二次曲線來近似地表示原曲線。

加權(quán)拉格朗日插值多項(xiàng)式可以表示為[9]：

其中 lk（x）為拉格朗日插值基函數(shù)，WL（x），WR（x）為加權(quán)因子：

在任意相鄰兩節(jié)點(diǎn)間作插值，考慮到插值點(diǎn)左右兩側(cè)的插值節(jié)點(diǎn)不同，曲線的趨勢也不同，所以分別以左右兩側(cè)的插值節(jié)點(diǎn)作兩條不同的曲線，然后通過加權(quán)的方法將兩條曲線融合成一條插值曲線，從而獲取更加精準(zhǔn)的定位信息。

例如在 x1，x2之間插入一點(diǎn) xi， 則選取 x0，x1，x2和 x1，x2，x3分別構(gòu)造一條插值曲線：

4 誤差補(bǔ)償余項(xiàng)分析

設(shè)函數(shù) y=f（x）在區(qū)間[a，b]上有定義，并且存在 n+1個插值節(jié)點(diǎn) xi（i=0，1，2…，n）。假設(shè) f（x）在[a，b]上存在 n+1階導(dǎo)數(shù)，使用n階插值多項(xiàng)式pn對函數(shù)f（x）進(jìn)行插值，則對于任一個 x∈[a，b]有：

其中：

選取均勻分布的插值節(jié)點(diǎn)，對任意的M>0均有maxx∈（a，b）｜f（n+1）（x）｜≤M，進(jìn)而可得：

選取 n=2，即在 xi-1，xi，xi+1三點(diǎn)之間進(jìn)行二次插值，插值點(diǎn)為 x∈（xi，xi+1），則插值函數(shù)為：

此處設(shè)定直線電機(jī)的行程為540mm，為了降低系統(tǒng)的復(fù)雜程度，提高方法的通用性，以10mm為采樣間距，在全量程采集55個定位點(diǎn)坐標(biāo)作為補(bǔ)償樣本，設(shè)xi+1/2為xi，xi+1的中點(diǎn)，可以得出：

其中Ri+1/2為誤差補(bǔ)償余項(xiàng)，

在插值過程中，考慮到轉(zhuǎn)折點(diǎn)的情況，因此需要對余項(xiàng)進(jìn)行分析，定義在xi+1/2左右兩側(cè)的余項(xiàng)：

插值點(diǎn)xi的插值多項(xiàng)式為：

式中：

考慮到直線電機(jī)運(yùn)動測試中，采樣點(diǎn)個數(shù)足夠多，且任意相鄰兩點(diǎn)之間的變化不大，因此通過對比（14）（18）式可以得到：

綜上所述，在直線電機(jī)工作行程內(nèi)的加權(quán)拉格朗日二次插值補(bǔ)償公式為：

在數(shù)據(jù)點(diǎn)出現(xiàn)轉(zhuǎn)折和波動的情況時，g（RL，RR）可以確定誤差補(bǔ)償?shù)姆较騕10]，若RL，RR異號，證明在插值子區(qū)間內(nèi)存在轉(zhuǎn)折點(diǎn)的情況，若RL，RR同號，選取較小的值作為誤差補(bǔ)償參數(shù)，從而更加可靠地對直線電機(jī)的定位誤差進(jìn)行補(bǔ)償，并且該方法具有自適應(yīng)性。

5 實(shí)驗(yàn)分析

誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)平臺如圖3所示。實(shí)驗(yàn)平臺主要包括減振大理石基座，直線電機(jī)模組，傳送平臺，運(yùn)動控制卡及控制電路，工控機(jī)，激光干涉儀及其補(bǔ)償傳感器等。

設(shè)置直線電機(jī)的實(shí)驗(yàn)行程為540mm，動子運(yùn)動速度為100mm/s，環(huán)境溫度為24℃，在此條件下設(shè)計(jì)三組實(shí)驗(yàn)記錄位置坐標(biāo)和定位精度等數(shù)據(jù)，獲取補(bǔ)償效果評價圖像。

圖3 誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)平臺Fig.3 Error compensation experiment platform

在直線電機(jī)未開啟補(bǔ)償功能時，需要先獲取若干參考點(diǎn)處的定位精度。本次實(shí)驗(yàn)選擇了55個點(diǎn)位作為補(bǔ)償?shù)臉颖拘畔?。將該樣本信息接入補(bǔ)償模塊后開啟使能，使用激光干涉儀測量該55個節(jié)點(diǎn)位置的定位精度，由圖4（a）可以看出補(bǔ)償后所有插值節(jié)點(diǎn)的定位誤差均在±1μm以內(nèi)，具有很好的精確度。

圖4 補(bǔ)償后定位精度圖Fig.4 Positioning accuracy after compensation

為了檢驗(yàn)全程補(bǔ)償效果，將檢測點(diǎn)細(xì)化，圖4（b）是間距為5mm時檢測109個定位點(diǎn)的定位精度曲線，由圖像可以看出通過該方法所補(bǔ)償?shù)娜奎c(diǎn)位基本穩(wěn)定在±2μm范圍內(nèi)，圖4（c）是間距為3mm時檢測181個點(diǎn)位的定位精度曲線，在此條件下規(guī)避了所有的對點(diǎn)補(bǔ)償和插值補(bǔ)償點(diǎn)位，由圖像可以看出整體定位精度穩(wěn)定在±2μm范圍內(nèi)，由于系統(tǒng)的隨機(jī)誤差產(chǎn)生了個別異常波動的情況，但是波動的峰值仍然在±2.5μm范圍內(nèi)。因此通過該補(bǔ)償方法能夠消除絕大多數(shù)的定位誤差，對于隨機(jī)誤差的影響效果也可以控制在理想范圍之內(nèi)。

6 結(jié)論

在目前的研究水平基礎(chǔ)上，本文基于插值法對直線電機(jī)定位誤差的補(bǔ)償方法進(jìn)行研究，提出了采用加權(quán)拉格朗日二次插值的方法提高誤差補(bǔ)償?shù)木_度和可靠性，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證明了該方法的可行性。在此前提下，從影響直線電機(jī)定位精度的主要因素出發(fā)進(jìn)行分析，改進(jìn)了前饋控制器的控制方式，使控制器輸出的信息能夠有效補(bǔ)償電機(jī)因外部環(huán)境導(dǎo)致的定位誤差，配合反饋實(shí)現(xiàn)更精確的定位。