王 營(yíng)，吳進(jìn)軍，錢 蒙，張利強(qiáng)

（機(jī)械科學(xué)研究總院集團(tuán)有限公司 中機(jī)生產(chǎn)力促進(jìn)中心，北京 100044）

0 引言

目前，傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化方法（即假定變量的優(yōu)化值可以被無偏差的實(shí)現(xiàn)）已經(jīng)廣泛應(yīng)用于伺服電機(jī)和動(dòng)力總成懸置的剛度、位置等參數(shù)的優(yōu)化[1，2]。但是，在懸置的制造、安裝和使用過程中，剛度及位置的實(shí)際值與其優(yōu)化值必然存在一定程度的偏差（稱之為不確定性），從而造成懸置系統(tǒng)的固有頻率和解耦率等性能指標(biāo)也與預(yù)期的優(yōu)化值不同。因此，在懸置參數(shù)優(yōu)化階段準(zhǔn)確預(yù)測(cè)懸置系統(tǒng)固有頻率和解耦率的變化特征有重要的理論和工程實(shí)際意義。

研究不確定性問題主要有三種方法：概率方法、模糊方法和區(qū)間方法[3]。概率方法需要獲取不確定參數(shù)的概率密度函數(shù)等統(tǒng)計(jì)信息，模糊方法也需要知道模糊參數(shù)的隸屬度函數(shù)，它們的獲取，一般需要通過大量試驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)，成本較高，精度卻不高。區(qū)間方法是最近幾十年才出現(xiàn)的數(shù)學(xué)上的一個(gè)新興分支，其優(yōu)勢(shì)是只需要不確定參數(shù)的上、下界限，因此更容易被應(yīng)用。

Sirafi和Chang[4]研究了懸置剛度的波動(dòng)對(duì)某懸置系統(tǒng)解耦率的影響。Qatu[5]分析了懸置剛度的變化對(duì)懸置系統(tǒng)固有頻率的影響。Jiang等[6]把結(jié)構(gòu)載荷、彈性模量或泊松比當(dāng)作區(qū)間參數(shù)，提出了一種區(qū)間規(guī)劃方法。吳杰等[7]把懸置剛度看作隨機(jī)參數(shù)和區(qū)間參數(shù)，對(duì)懸置系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化研究，結(jié)果表明二者一致性較好。

文中采用區(qū)間數(shù)表征設(shè)計(jì)變量的不確定性，給出區(qū)間型穩(wěn)健優(yōu)化方法對(duì)某機(jī)床伺服電機(jī)懸置剛度進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化，其中考慮了剛度設(shè)計(jì)值的偏差對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響，并對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行穩(wěn)健性分析，驗(yàn)證穩(wěn)健優(yōu)化方法的有效性。

1 穩(wěn)健性優(yōu)化和分析原理

圖1是確定性優(yōu)化和穩(wěn)健優(yōu)化的原理圖[7]。確定性優(yōu)化的解通常位于約束條件的邊界，當(dāng)由于誤差而發(fā)生波動(dòng)時(shí)，優(yōu)化方案的實(shí)際值可能進(jìn)入不可行域而使優(yōu)化失效。因此，確定性優(yōu)化方法雖然獲得了優(yōu)化方案，卻不能確保方案的穩(wěn)健性。

穩(wěn)健優(yōu)化方法不僅要優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，還要降低目標(biāo)函數(shù)和約束條件對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度。優(yōu)化方案的穩(wěn)健性可以用約束條件的滿足程度和目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度大小來衡量。

圖1 確定性優(yōu)化和穩(wěn)健優(yōu)化的原理Fig.1 Principle of deterministic optimization and robust optimization

若設(shè)計(jì)變量為正態(tài)分布隨機(jī)變量，則優(yōu)化方案的穩(wěn)健性可以用目標(biāo)函數(shù)及約束條件的σ水平（σ為標(biāo)準(zhǔn)差）來衡量。每個(gè)σ水平對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布曲線下的面積，正是目標(biāo)函數(shù)值或約束條件值落在其中的概率 （或稱為可靠度）[8]。表1中給出了不同σ水平對(duì)應(yīng)的概率（或可靠度）及每百萬產(chǎn)品的次品個(gè)數(shù)（DPM）。

表1 不同水平對(duì)應(yīng)的概率和每百萬產(chǎn)品的次品個(gè)數(shù)Tab.1 Relation between level and probability or DPM

2 懸置系統(tǒng)的區(qū)間型穩(wěn)健優(yōu)化模型

受到伺服電機(jī)布置空間的限制，不對(duì)懸置的安裝位置和安裝角度進(jìn)行優(yōu)化，故只優(yōu)化懸置剛度。因此，確定性優(yōu)化模型可表示為：

其中，fi—第i個(gè)自由度方向的固有頻率；di—對(duì)應(yīng)于頻率fi的解耦率；wi—權(quán)重；fiL和fiU分別為fi的下、上界限，diL為 di的下界；kj—第 j個(gè)剛度設(shè)計(jì)變量，kjL和 kjU分別為kj的下、上界；l為設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)。

考慮到懸置剛度的實(shí)際值與優(yōu)化值之間的偏差，為使懸置系統(tǒng)頻率和解耦率的優(yōu)化值更加穩(wěn)健，在優(yōu)化時(shí)，應(yīng)考慮到剛度名義值的波動(dòng)對(duì)優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生的影響。因此，區(qū)間型穩(wěn)健優(yōu)化模型不但要提高懸置系統(tǒng)的解耦率，當(dāng)懸置剛度在其名義值附近波動(dòng)時(shí)，還要保證解耦率和固有頻率等系統(tǒng)性能的變化區(qū)間半徑最小，即穩(wěn)健性最好。

因此，懸置系統(tǒng)區(qū)間型穩(wěn)健優(yōu)化模型為：

其中，kj—懸置剛度名義值；kjL和kjU分別為下界和上界；kjI=[kj-δ，kj+δ]—懸置剛度值在其名義值附近的波動(dòng)區(qū)間；δ—波動(dòng)幅度；fiI=fi（k1I，k2I，…klI）和 diI=di（k1I，k2I，…klI）分別是懸置剛度值在其名義值附件波動(dòng)時(shí)，懸置系統(tǒng)各階固有頻率和解耦率的變化區(qū)間；mid（diI）和 rad（diI）分別為各解耦率變化區(qū)間的中點(diǎn)值和半徑[9]，α、β為比例系數(shù)，wi、vi為權(quán)重。

式（2）的約束條件中含有區(qū)間數(shù)之間的序關(guān)系（即大小關(guān)系）問題，文獻(xiàn)[6]給出了區(qū)間數(shù)序關(guān)系的一種量化方法，即區(qū)間可靠度，其表達(dá)式為：

由式（3）中的區(qū)間可靠度定義，可以將穩(wěn)健性優(yōu)化的區(qū)間型約束條件轉(zhuǎn)換為可靠度約束條件。例如，區(qū)間型約束條件為fiL≤fiI≤fiU，寫成可靠度約束條件為且和分別為滿足約束條件i的左、右區(qū)間可靠度。因此，式（2）可以轉(zhuǎn)化為式（4）所示的穩(wěn)健性優(yōu)化模型：

3 解耦率及頻率的變化區(qū)間

穩(wěn)健優(yōu)化模型中需要計(jì)算解耦率及頻率的變化區(qū)間，當(dāng)懸置剛度在其名義值附近波動(dòng)時(shí)，通過靈敏度分析可知，懸置系統(tǒng)的固有頻率和各方向解耦率均為各懸置剛度值的單調(diào)函數(shù)。因此，可以采用組合方法求得固有頻率和解耦率的精確區(qū)間值[9]。

當(dāng)區(qū)間變量取端點(diǎn)值時(shí)，f（k1I，k2I，…knI）的所有可能取值為：

其中，ej=L，U，j=1，2，…，l，m=1，2，…2l。

4 算例

圖2為某機(jī)床伺服電機(jī)懸置系統(tǒng)（SMMS），電機(jī)坐標(biāo)系G0－XYZ的原點(diǎn)G0位于電機(jī)質(zhì)心，X軸與電機(jī)軸同向，Z軸垂直曲軸向上，Y軸由右手法則確定。將懸置簡(jiǎn)化成沿其三個(gè)彈性主軸方向具有剛度和阻尼的元件[1]，橡膠懸置阻尼很小，可忽略阻尼。以懸置的3個(gè)彈性主軸方向建立懸置局部坐標(biāo)系（LCS）oi-uiviwi，懸置的三個(gè)彈性主軸分別用 ui，vi和 wi表示（i=1，2，…，n，n 為懸置個(gè)數(shù)）。

6個(gè)固有頻率的約束范圍分別為5～30Hz，要求Z軸和Roll方向的解耦率高于90%，其它方向的解耦率高于80%。假設(shè)kj可以在其初值kj附近變化±30%。

4個(gè)懸置的初始剛度值及優(yōu)化剛度值見表2。

圖2 電機(jī)懸置系統(tǒng)示意圖Fig.2 Simplified model of the SMMS

表2 懸置初始及優(yōu)化靜剛度（N/mm）Tab.2 Original and optimized static stiffness of the mounts（N/mm）

表3給出了懸置系統(tǒng)初始方案在各方向的頻率和解耦率，解耦率的計(jì)算方法詳見文獻(xiàn)[1]。由表3可知，除Y方向以外，該懸置系統(tǒng)的解耦率普遍較低，意味著各方向的耦合振動(dòng)較嚴(yán)重。

表3 懸置系統(tǒng)固有頻率和解耦率的初始值Tab.3 Origin frequency and decoupling ratio of the SMMS

假設(shè)式（4）中所有頻率約束條件的左、右區(qū)間可靠度均要求為1.0。優(yōu)化結(jié)束后，表4給出了當(dāng)確定性優(yōu)化和區(qū)間優(yōu)化所得到剛度優(yōu)化值波動(dòng)時(shí)，解耦率的變化區(qū)間。一般地，懸置剛度值的波動(dòng)δ幅度約為10%～15%，文中對(duì)波動(dòng)幅度為10%和15%兩種情況進(jìn)行討論。

從表4可知，區(qū)間優(yōu)化和確定性優(yōu)化均可提高懸置系統(tǒng)的解耦率。由于在穩(wěn)健優(yōu)化模型中考慮了解耦率的穩(wěn)健性要求以及設(shè)定頻率約束條件的區(qū)間可靠度為1.0，所以導(dǎo)致解耦率稍有降低。由表4可以看出，波動(dòng)幅度δ增大時(shí)，解耦率的區(qū)間半徑增大，即不確定性增大。

表4 優(yōu)化后懸置系統(tǒng)解耦率的變化范圍（%）Tab.4 Intervals of the optimized decoupling ratios（%）

表5給出了當(dāng)確定性優(yōu)化和區(qū)間優(yōu)化所得到剛度優(yōu)化值波動(dòng)時(shí)，頻率的變化范圍，以及在確定性優(yōu)化和穩(wěn)健優(yōu)化的剛度名義值處各約束條件的左、右區(qū)間可靠度?？梢钥闯觯▌?dòng)幅度δ增大時(shí)，頻率的區(qū)間半徑增大，即不確定性增大。將懸置剛度值看作正態(tài)分布的隨機(jī)變量，對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行σ水平分析，可以看出，頻率約束的左右區(qū)間可靠度越大，σ水平越高，穩(wěn)健性越好，反之越低。

表5 優(yōu)化后懸置系統(tǒng)頻率變化范圍及頻率約束的左右區(qū)間可靠度和水平Tab.5 Intervals of the optimized decoupling ratios and the interval reliability degrees and levels of the optimized SMMS

當(dāng)穩(wěn)健優(yōu)化得到的剛度優(yōu)化值有所波動(dòng)時(shí)，各約束條件左、右區(qū)間可靠度較確定性優(yōu)化有較明顯增大，表明頻率約束的穩(wěn)健性有較大幅度的提高，在Z和Roll方向尤為明顯，相應(yīng)地，σ水平也有明顯提高。這表明，文中給出的表征頻率穩(wěn)健性的度量指標(biāo)是合理的，穩(wěn)健優(yōu)化結(jié)果是有效的。

5 結(jié)束語

提出的區(qū)間型穩(wěn)健優(yōu)化方法不僅能有效提高懸置系統(tǒng)各方向的解耦率，與確定性優(yōu)化方法相比，穩(wěn)健優(yōu)化方法還可以較大幅度地提高頻率和解耦率的穩(wěn)健性。

穩(wěn)健優(yōu)化方法在優(yōu)化過程中考慮到設(shè)計(jì)變量的波動(dòng)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，在不易獲得或很難精確獲得不確定參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性或模糊信息的情況下，采用該方法可以有效提升懸置系統(tǒng)性能的穩(wěn)健性。