王本強,趙前進

(安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,安徽 淮南 232001)

引言

近年來,對于多變量散亂數(shù)據(jù)插值的研究,逐漸成為研究的熱門領(lǐng)域[1]。由于很多傳統(tǒng)的單變量理論不能直接推廣到多變量理論,因此新的方法仍在不斷探索。例如Buhmann提出的徑向基函數(shù)理論[2],王仁宏給出的基于平滑輔因子方法的多變量樣條[3],用于構(gòu)造樣條準(zhǔn)插值[4-7]以及有理逼近[8-10]等。

Cuyt和Verdonk在1988年構(gòu)建了Thiele型連分式有理插值的分支[11-12]。2016年,錢江提出了散亂數(shù)據(jù)的連分式插值[13]。通過構(gòu)造二元連分式插值,結(jié)果是可行有效的,但其難以避免極點的出現(xiàn)和控制極點的位置。本文研究散亂數(shù)據(jù)的重心有理插值,通過選取特殊的權(quán)函數(shù),構(gòu)造出了無極點的重心有理插值。

對于給定的一元函數(shù)f:[a,b]→R,a=x0

同時,Berrut選取函數(shù)[15]

wi=(-1)i,i=0,…,n,

構(gòu)造出了無實極點的重心有理插值。

1 散亂數(shù)據(jù)的重心有理插值新方法

對于任意n+1個點(xi,yi),i=0,…,n,其對應(yīng)的值為f(xi,yi),重心形式的有理插值公式可表示為：

選取

則

定理1 r(x,y)滿足插值條件并且無極點。

對任意的插值節(jié)點(xk,yk),

=fk.

證畢。

2 數(shù)值例子

圖1 插值節(jié)點圖

對其做散亂數(shù)據(jù)重心有理插值,得到函數(shù)圖像如圖2和圖3所示。

圖2 f1(x,y)在[0,1]∪[0,1]內(nèi)的插值圖像

圖3 f1(x,y)在[0,1]∪[0,1]內(nèi)的插值誤差圖

圖4 插值節(jié)點圖

對其做散亂數(shù)據(jù)重心有理插值,得到函數(shù)圖像如圖5和圖6所示。

圖5 f2(x,y)在[0,1]∪[0,1]內(nèi)的插值圖像

圖6 f2(x,y)在[0,1]∪[0,1]內(nèi)的插值誤差圖

根據(jù)以上兩個例子可以看出插值函數(shù)在插值節(jié)點較多的區(qū)域誤差較小,而在插值節(jié)點較少的區(qū)域誤差相比較為增大,同時插值函數(shù)保證無極點。

3 結(jié)論

本文研究二元散亂數(shù)據(jù)重心有理插值,通過選取特殊的權(quán)函數(shù),構(gòu)造出二元散亂數(shù)據(jù)重心有理插值。對比散亂數(shù)據(jù)連分式插值,其優(yōu)點在于避免了極點的出現(xiàn)。給出的數(shù)值例子驗證了新方法的可行性和有效性。