李文姿

(山西大學商務學院,山西 太原 030031)

引言

濾波是控制理論界的研究熱點之一。在系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計特性無法獲知時,將噪聲當作能量有限的隨機信號,使系統(tǒng)從擾動到估計誤差的閉環(huán)傳遞函數的H∞范數小于某個給定的值,從而設計所需的H∞濾波器。H∞濾波有效克服了維納濾波的缺點,受到了諸多學者的關注[1-3]。另外,在實際應用中,有時僅需關注系統(tǒng)狀態(tài)在一個有限時間段內的行為,因此有限時間濾波問題的研究成為了控制理論研究的一個重要組成部分,也取得了很多成果[4-7]。

另一方面,不確定性是影響系統(tǒng)性能的一個關鍵因素。實際應用中,難以避免的不確定因素常與指定的性能指標是矛盾的,也會引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。因此,許多學者在研究中,將系統(tǒng)的不確定性考慮進去,使其在一定變化范圍內能滿足系統(tǒng)所需要的各項指標。目前,雖然該理論的發(fā)展已有豐碩的成果[8-9],但并不是所有的問題都已解決,隨著社會的發(fā)展,各類新系統(tǒng)的出現,這些系統(tǒng)中含不確定性的控制理論研究給許多學者提出了新的挑戰(zhàn)。據此,本文研究了在有限的連續(xù)時間段內脈沖奇異系統(tǒng)含不確定性時的濾波問題。

1 預備知識

研究如下的連續(xù)時間脈沖奇異系統(tǒng):

(1)

其中x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài),y(t)∈Rl為可控輸出,z(t)∈Rp是待測信號,ν(t)∈L2([0,∞),Rr)與ω(t)∈L2([0,∞),Rq)分別為測量噪音和過程噪音,時間列τj為脈沖點，A(t)=A+ΔA(t),ΔA(t)是不確定性時變矩陣,滿足

ΔA(t)=GF(t)H

(2)

A,B,M,C,D,G,H是有恰當維數的實常數已知矩陣,F(t)是時變不確定性矩陣,滿足FT(t)F(t)≤I,I為恰當維數的單位陣。

為方便研究系統(tǒng)(1),假設滿足下列條件:

1)(E,A(t))正則且系統(tǒng)(1)脈沖自由。

3)對任意給定的d∈R+,ω(t)和ν(t)滿足

(3)

4)系統(tǒng)的狀態(tài)在脈沖點τj都左連續(xù)。

設計一個如下形式的n維線性濾波器:

(4)

(5)

其中

(6)

研究問題描述如下:

對系統(tǒng)(1) 和給定的噪音抑制水平γ>0,在有限的時間段內考慮設計濾波器(4),使得濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)(5) 是穩(wěn)定的,且在零初始條件下,對任意非零的η(t)∈L2([0,T],Rq+r),濾波誤差滿足

(7)

引理1[10]給定合適階數的矩陣Y,D和E,其中YT=Y,則Y+DFE+ETFTDT<0對所有滿足FTF≤I的F成立,當且僅當?ε∈R+使得Y+εDDT+ε-1ETE<0。

2 主要結論

定理1 假定(a1)-(a4)成立,如果能找到對稱陣P和正常數h滿足

(8b)

(8c)

h(λc1+γd)≤c2,

(8d)

其中λ=λmax(R-1P),那么在有限時間段內濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)(5)是穩(wěn)定的且滿足式(7)。

?t∈(τj,τj+1),j∈Z+,由(8a)可得

≤γηT(t)η(t),

再由(8b)知,

所以?t∈(τj,τj+1,j∈Z+有

≤h(λc1+γd)≤c2。

由定義1知在有限時間段內濾波誤差系統(tǒng)(5)是穩(wěn)定的。

結合條件(8b),則

因此

≤V(0)-V(T),

下面研究濾波器的可解問題。

定理2 假設(a1)-(a4)成立,考慮系統(tǒng)(1)和濾波器(4), 給定正常數γ,若存在對稱陣P=diag{P11,P22},矩陣N1,N2,N3和正常數λ,ε,h,滿足(8c)和下列條件

(9a)

(9b)

P<λR,

(9c)

(9d)

則濾波問題可解。進一步得到所求濾波器的未

證明 應用Schur補,(8a)等價于

(10)

(11)

根據引理1(11)式可等價于?ε∈R+使得

再應用Schur補該不等式等價于

(12)

其中Δ1=ATP11E+ETP11A+εHTH。

同理,把(6)代入(8b),并對其應用Schur補,則(8b)等價于

(13)

3 結束語

文章討論了含不確定性的一類連續(xù)脈沖奇異系統(tǒng)的有限時間濾波問題。先給出了該濾波器存在所應滿足的充分條件,再將該條件轉化成線性矩陣不等式的形式,從而解決了該濾波器的求解問題, 推廣了有限時間濾波理論。