張建揚，于春梅,2，葉劍曉

(1.西南科技大學(xué) 信息工程學(xué)院，四川 綿陽 621000； 2.特殊環(huán)境機器人技術(shù)四川省重點實驗室(西南科技大學(xué))，四川 綿陽 621000)

0 引言

近年來，由于四旋翼無人機(quadrotor Unmanned Aerial Vehicle, quadrotor UAV)具有結(jié)構(gòu)相對簡單、生產(chǎn)成本較低等優(yōu)點，在軍事和民用領(lǐng)域備受青睞[1]。軌跡跟蹤控制是無人機完成特定任務(wù)的基礎(chǔ)，因此，提高無人機的軌跡跟蹤精度和性能具有重要意義。

四旋翼無人機是一個4輸入、6輸出的欠驅(qū)動系統(tǒng)[2]，系統(tǒng)變量間存在半耦合關(guān)系且模型中存在非完整性約束,這增加了控制器設(shè)計的復(fù)雜度。在實際飛行中，由于無法對空氣動力建立精確的數(shù)學(xué)模型且模型中的無人機質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、空氣動力學(xué)系數(shù)等參量的測量值與實際值之間存在偏差,同時槳葉轉(zhuǎn)動、急風(fēng)、地磁影響等外界未知干擾也會對其產(chǎn)生較大的影響[3-4]，從而進一步增加了四旋翼無人機的控制難度。因此，設(shè)計出能夠克服系統(tǒng)內(nèi)部擾動和外部噪聲的無人機控制系統(tǒng)是軌跡跟蹤的重中之重，即整個系統(tǒng)必須具有魯棒性。

為了克服上述困難，國內(nèi)外專家學(xué)者進行了大量的研究，已經(jīng)有較多的解決方案被提出。如文獻[5-7]研究了四旋翼無人機的反步法控制，由于反步法對精確的數(shù)學(xué)模型有較高要求，因此建模誤差的大小會對系統(tǒng)的跟蹤效果產(chǎn)生影響；文獻[8]基于四元數(shù)法建立了無人機的數(shù)學(xué)模型，內(nèi)、外環(huán)分別采用H∞控制和積分型反步法控制，較好地補償了系統(tǒng)的內(nèi)外干擾；文獻[9-10]研究了滑?？刂?，雖然滑模變結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)參數(shù)變化不敏感，抗干擾能力較強，但當(dāng)系統(tǒng)存在較強復(fù)合干擾時，無人機的控制精度并不理想；文獻[11]將反步法和滑模控制相結(jié)合，能夠較好地完成跟蹤任務(wù)；文獻[12]采用不需要模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法來估計系統(tǒng)的內(nèi)擾和外擾，取得了良好的跟蹤效果，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制要求有足夠多的基函數(shù)來保證逼近精度，這嚴(yán)重增加了計算負(fù)擔(dān)；文獻[13]采用擴張狀態(tài)觀測器(Extended State Observer, ESO)方法在線估計系統(tǒng)的不確定性因素，取得了良好的控制效果，但姿態(tài)角幅值變化較大。

考慮各種方法的優(yōu)缺點，本文在文獻[11]的基礎(chǔ)上設(shè)計了一種基于ESO和積分反步滑模算法的魯棒控制器，將抗干擾能力較強的滑?？刂迫谌氲椒床椒刂破髦?，使系統(tǒng)的魯棒性得到增強；接著引入積分環(huán)節(jié)以減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；最后，為了抑制內(nèi)、外干擾，利用ESO來估算系統(tǒng)的總擾動量并在控制量中進行補償。通過Lyapunov穩(wěn)定性分析驗證了控制器的有效性，并結(jié)合仿真分析驗證了該算法的跟蹤性能。

1 四旋翼數(shù)學(xué)模型

四旋翼無人機的空間運動分為質(zhì)心運動和繞質(zhì)心運動兩個部分，因此首先要建立如圖1所示的兩個坐標(biāo)系：機體坐標(biāo)系Oxyz和地面坐標(biāo)系Oexeyeze。

圖1 四旋翼無人機坐標(biāo)系

假設(shè)四旋翼無人機為結(jié)構(gòu)對稱、質(zhì)量分布均勻、質(zhì)心與機體坐標(biāo)系原點一致的剛體，并忽略空氣阻力和低雷諾數(shù)的影響，再考慮外界干擾n(t)和系統(tǒng)未建模Δf(t)，兩者的總和記作σ，基于文獻[14]的數(shù)學(xué)模型，并且為了便于反步法的研究，可得嚴(yán)反饋形式下的四旋翼無人機模型:

(1)

式中，狀態(tài)變量

即：

a1=(Jy-Jz)/Jx，a2=(Jz-Jx)/Jy，

a3=(Jx-Jy)/Jz，b1=l/Jx，

b2=l/Jy，b3=1/Jz

U2=F4-F2=b(ω42-ω22)

U3=F3-F1=b(ω32-ω12)

U4=k(ω22+ω42-ω12-ω32)

Ux=cosφsinθcosψ+sinφsinψ

Uy=cosφsinθsinψ-sinφcosψ

其中：m為四旋翼無人機的質(zhì)量；x、y、z為地面坐標(biāo)系下的位置信息，φ、θ、ψ為地面坐標(biāo)系下滾轉(zhuǎn)角、俯仰角、偏航角；l為旋翼中心到機體坐標(biāo)原點的距離；Ji(i=x,y,z)為轉(zhuǎn)動慣量；U1～U4和Ux、Uy為控制輸入；ωi(i=1,2,3,4)為四個電機轉(zhuǎn)速；b為升力系數(shù)；k為阻力系數(shù)。

2 基于ESO的復(fù)合干擾估計

ESO的作用是在僅知道系統(tǒng)輸入和輸出的情況下實現(xiàn)對各個狀態(tài)變量和系統(tǒng)總擾動量的估計，然后在控制律中實時補償，從而達到克服系統(tǒng)內(nèi)部擾動和外部噪聲的目的。鑒于觀測器所估算的擾動是內(nèi)擾與外擾的和[15],不僅系統(tǒng)的抗干擾能力得到提高，同時也讓建模誤差對跟蹤效果的影響降到最低。

為了方便ESO的設(shè)計，將數(shù)學(xué)模型式(1)改寫為：

(2)

其中：

ξ1=[x1x3x5x7x9x11]T；

ξ2=[x2x4x6x8x10x12]T；

g(t)=[a1x4x6+σφa2x2x6+σθa3x2x4+σψ-g+σzσxσy]T，它為6通道各種擾動的和(包括未建模、建模動態(tài)和外部擾動)，且其導(dǎo)數(shù)有界；U=[U2U3U4U1UxUy]T。

設(shè)計如式(3)所示的擴張狀態(tài)觀測器：

(3)

通過以上擴張狀態(tài)觀測器，可估算出6通道的總干擾g(t)，然后在控制律中實時補償，增強系統(tǒng)的魯棒性。

3 積分型反步滑?？刂破髟O(shè)計

3.1 控制結(jié)構(gòu)設(shè)計

由數(shù)學(xué)模型可知，四旋翼無人機控制量U2、U3、U4的大小影響姿態(tài)角的變化，而姿態(tài)角與控制量U1又共同決定位置信息的變化，即當(dāng)已知U2、U3、U4這3個控制量時，3個姿態(tài)角及角速度信息就能被解算出來，如果當(dāng)U1已知，無人機的位置和速度信息也能推算出來。很顯然它們之間存在半耦合關(guān)系，因此，采用雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)，即姿態(tài)內(nèi)環(huán)、位置外環(huán)。期望姿態(tài)和期望位置：ξ1d=[x1d,x3d,x5d,x7d,x9d,x11d]T=[φd,θd,ψd,zd,xd,yd]T，其控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 基于ESO的四旋翼無人機控制結(jié)構(gòu)

3.2 控制器設(shè)計

仍以數(shù)學(xué)模型式(2)為對象設(shè)計控制器，步驟如下。

定義誤差變量z1=ξ1d-ξ1，并對誤差變量求導(dǎo)：

(4)

引入一階跟蹤誤差的積分：

(5)

引入虛擬控制量α，定義誤差變量:

z2=ξ2-α

(6)

取Lyapunov函數(shù)：

其中n為正常數(shù)對角矩陣。

對V1求導(dǎo)得：

(7)

(8)

由式(7)、(8)推出：

(9)

(10)

取Lyapunov函數(shù)：

求導(dǎo)得：

(11)

取滑模面S=z2，代入得：

(12)

即

(13)

規(guī)定指數(shù)趨近律：

(14)

其中，ε1、ks為正常數(shù)對角矩陣。

(15)

至此，就完成了6通道控制量U的設(shè)計。

穩(wěn)定性證明如下：

將式(8)、(14)代入式(11)得:

(16)

當(dāng)S→0時，STS<0，能夠滿足滑模面存在及可達的必要條件，即z2→0時：

(-cz1)Tz1< 0

(17)

由Lyapunov穩(wěn)定定理可知，系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。

3.3 非線性約束條件

由上述數(shù)學(xué)模型可知，四旋翼無人機的實際輸入是四個電機的升力F1、F2、F3、F4，而輸出則為φ、θ、ψ、x、y、z六個狀態(tài)，因此，四旋翼無人機具有欠驅(qū)動性特性，其必須通過姿態(tài)角來間接控制無人機的水平運動。因此，在雙閉環(huán)控制器設(shè)計中，通過反解水平控制量Ux、Uy來獲得滾轉(zhuǎn)角和俯仰角的期望值x1d、x3d，即所謂的非線性約束條件。

(18)

通過反解式(18)可以得出要實現(xiàn)控制量Ux、Uy所需的期望姿態(tài)角指令：

(19)

4 系統(tǒng)仿真分析

為驗證所提控制算法的有效性，采用螺旋上升法對其仿真驗證。設(shè)置期望軌跡為：

期望偏航角ψd=0。

四旋翼無人機各參數(shù)如下：m=1.4 kg，g=9.81 m/s2，Jx=0.03 kg·m2，Jy=0.03 kg·m2，Jz=0.04 kg·m2，l=0.2 m，k=4.003×10-7N·m·s-2，b=1.923 21×10-5N·s2。

仿真實驗中，各參數(shù)選擇如下：k1=diag(120,120,120)，k2=diag(4 400,4 400,4 400)，k3=diag(48 000,48 000,48 000)，ε1=diag(25,25,25,2.5,2.5,2.5)，ks=diag(50,50,50,6,6,6)，n=diag(3,3,3,3,3,3)，c=diag(50,50,50,30,30,30)。

無人機初始位置[xyz]T=[0 0 0]T，初始姿態(tài)角[φθψ]T=[0 0 0]T，初始角速率[pqr]T=[0 0 0]T。位置環(huán)施加的復(fù)合干擾均為2 sint，姿態(tài)環(huán)施加的復(fù)合干擾為[sin 2t0 sin 2t]T。仿真結(jié)果如圖3～7所示。

結(jié)果分析：1)從仿真圖3、4可以看出，在施加復(fù)合干擾的情況下，采用ESO和積分型反步滑模算法設(shè)計的控制器，跟蹤誤差最大僅有0.06 m，跟蹤效果顯著，有較強的抗干擾能力，基本滿足無人機的跟蹤要求；而采用反步滑?？刂茣r，跟蹤誤差最大為0.25 m，抗干擾能力較差。2)從仿真圖5、6可以看出，兩種算法在姿態(tài)角上都有良好的跟蹤效果，但采用ESO對復(fù)合干擾進行估計并補償時，得到的姿態(tài)角振幅僅有0.05 rad，并且振蕩頻率較低，僅為0.1 Hz，飛行較為穩(wěn)定；而采用反步滑?？刂扑惴〞r，振幅最大為0.5 rad，并且姿態(tài)角變化劇烈，頻率為0.4 Hz，飛行不穩(wěn)定。3)從仿真圖7可以看出，ESO能夠精確地對復(fù)合干擾進行估計，減小了復(fù)合干擾對系統(tǒng)跟蹤精度的影響，從而增強了系統(tǒng)的抗干擾能力。

圖3 軌跡跟蹤三維效果對比

圖4 軌跡跟蹤誤差對比

圖5 反步滑?？刂频淖藨B(tài)跟蹤效果

圖6 本文算法的姿態(tài)跟蹤效果

圖7 ESO復(fù)合干擾估計

5 結(jié)語

本文針對欠驅(qū)動四旋翼無人機，從實際應(yīng)用角度出發(fā)，考慮存在外界干擾和系統(tǒng)參數(shù)攝動的情況，設(shè)計了一種基于ESO和積分型反步滑模算法的魯棒控制器。通過該方案，只需要得知系統(tǒng)的輸入和輸出，就能夠精確估算出系統(tǒng)所受內(nèi)、外總擾動的值，然后在控制律中實時補償。通過對比仿真實驗可以看出，在系統(tǒng)受到干擾時，該算法能夠使系統(tǒng)的抗干擾能力增強、跟蹤精度更高，并且姿態(tài)角變化頻率低，波動幅值較小，飛行更加穩(wěn)定。