劉國(guó)棟，方 偉，宋寶奇，葉 新，王 凱

(1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130039;2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

1 引 言

太陽(yáng)輻射是地球最主要的能量來源，除了核能，火山爆發(fā)等，地球上大部分的能量都直接或間接地來自太陽(yáng)輻射，太陽(yáng)輻射對(duì)地球的生態(tài)和環(huán)境具有深刻的影響[1]。為了自身的長(zhǎng)久可持續(xù)發(fā)展，人類很早就開始了對(duì)太陽(yáng)輻射的監(jiān)測(cè)與研究。太陽(yáng)輻射的測(cè)量主要是指太陽(yáng)總輻照度(Total Solar Irradiance,TSI)測(cè)量和太陽(yáng)光譜輻照度(Solar Spectral Irradiance,SSI)測(cè)量。這些太陽(yáng)輻射的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，可以應(yīng)用到很多科學(xué)領(lǐng)域，如氣候模型的推演、太陽(yáng)物理研究、地球輻射收支平衡的研究等等，隨著研究的深入，這些領(lǐng)域?qū)μ?yáng)輻射數(shù)據(jù)的測(cè)量精度要求越來越高。

太陽(yáng)絕對(duì)輻射計(jì)是一種對(duì)太陽(yáng)總輻照度進(jìn)行監(jiān)測(cè)的儀器[2]，其測(cè)量精度直接影響太陽(yáng)輻射數(shù)據(jù)的可信度。衍射效應(yīng)是太陽(yáng)絕對(duì)輻射計(jì)系統(tǒng)誤差的主要來源之一，要獲得精確的測(cè)量數(shù)據(jù)，必須對(duì)其進(jìn)行修正。但是在輻射計(jì)量領(lǐng)域，衍射效應(yīng)的修正一直是一個(gè)難以解決的問題。一方面是因?yàn)檠苌湫?yīng)廣泛存在于光學(xué)系統(tǒng)中，幾乎所有對(duì)光起限制作用的器件，都會(huì)引起衍射效應(yīng)；另一方面，衍射效應(yīng)難以用實(shí)驗(yàn)測(cè)量，即使能測(cè)量，實(shí)驗(yàn)中的不確定度也超過能容忍的范圍。因此，對(duì)衍射效應(yīng)的研究主要側(cè)重于數(shù)學(xué)計(jì)算上。

輻射計(jì)量中衍射效應(yīng)數(shù)學(xué)計(jì)算在國(guó)外有較多的研究。1962年，C.L.Sanders和O.C.Jones在用鉑點(diǎn)黑體實(shí)現(xiàn)光單位時(shí)，用夫瑯和費(fèi)衍射理論證明了接收像面中心照度比通過幾何光學(xué)計(jì)算結(jié)果低大約0.25%，證明了衍射效應(yīng)對(duì)精密輻射測(cè)量的顯著性影響。W.R.Blevin在實(shí)測(cè)Stefan-Boltzman常數(shù)的工作中發(fā)現(xiàn)這項(xiàng)誤差甚至可達(dá)到0.5%。此后，衍射效應(yīng)成為黑體輻射測(cè)量中不可忽視的因素[3]。近幾十年來，隨著人類活動(dòng)走向太空，發(fā)射了各種太陽(yáng)輻射監(jiān)測(cè)儀器，由于對(duì)其精度的要求逐漸提高，衍射效應(yīng)的數(shù)學(xué)計(jì)算，逐漸開展起來。目前在國(guó)外，衍射效應(yīng)的修正已經(jīng)開始應(yīng)用于輻射計(jì)的測(cè)量結(jié)果，獲得較高的輻射測(cè)量精度，然而國(guó)內(nèi)卻尚未開展該方面的工作，嚴(yán)重制約了我國(guó)在輻射計(jì)量領(lǐng)域的發(fā)展。本文根據(jù)對(duì)衍射效應(yīng)問題的研究，提出一種實(shí)用化的計(jì)算方法，精度高，計(jì)算簡(jiǎn)便，實(shí)現(xiàn)了對(duì)太陽(yáng)輻照絕對(duì)輻射計(jì)(Solar Irradiance Absolute Radiometer,SIAR)的衍射效應(yīng)修正。

2 衍射效應(yīng)計(jì)算方法

2.1 衍射效應(yīng)公式的推導(dǎo)

為了便于論述，本文做如下定義：衍射效應(yīng)是指由于光的衍射，探測(cè)器接收的輻射通量與幾何光學(xué)期望值的比，是一個(gè)與光的衍射有關(guān)的“物理量”，用F表示。

根據(jù)Kirchhoff衍射理論和傍軸光學(xué)近似，點(diǎn)光源通過光闌衍射后的電場(chǎng)強(qiáng)度為：

(1)

其中，C=(d-1+d′-1)/2是與結(jié)構(gòu)有關(guān)的系數(shù)，相關(guān)參數(shù)如圖1所示，它表示了x′與x電場(chǎng)強(qiáng)度的相互關(guān)系?？紤]到能量密度W=C|U(x,t)|2，并做一定的坐標(biāo)變換，可以得到：

(2)

其中，R表示光闌的半徑，r表示x′到光軸的距離，ρ=r″/R，u=。2qCR2，v=|2qCRr|。

圖1 點(diǎn)光源衍射討論中的參量 Fig.1 Parameters in the discussion of point source diffraction

式(2)表示了x′與x之間能量密度的關(guān)系。而在幾何光學(xué)中，x′與x之間能量密度的關(guān)系如下：

(3)

式中，Θ(x)是Heaviside階躍函數(shù)。

因此，|S(r′)/SG(0)|2就表示點(diǎn)x′處的衍射效應(yīng)，其表達(dá)式由Lommel函數(shù)[4]給出：

(4)

(5)

式中，Un(u,v)和Vn(u,v)可以用n階貝塞爾函數(shù)來表示

(6)

(7)

式(4)和式(5)是等價(jià)的，當(dāng)r′>R時(shí)，式(4)更簡(jiǎn)便，而當(dāng)r′>R時(shí)，式(5)更簡(jiǎn)便。

實(shí)際的輻射測(cè)量，是對(duì)整個(gè)探測(cè)平面的能量密度進(jìn)行積分，為此，引入一個(gè)新的量L(u,v0)，表示整個(gè)探測(cè)平面的衍射效應(yīng)[5]，它相當(dāng)于|S(r′)/SG(0)|2在整個(gè)探測(cè)平面的積分，類似于|S(r′)/SG(0)|2的推導(dǎo)，Wolf給出了L(u,v0)的表達(dá)式：

當(dāng)v0>|u|時(shí)，

(8)

當(dāng)v0<|u|時(shí)，

(9)

式中，Q2s(v0)和Yn(u,v0)表示如下：

Jp+1(v0)J2s+1-p(v0)]

設(shè)探測(cè)器平面上所有點(diǎn)的集合為{x′}，探測(cè)器邊緣上的點(diǎn)滿足v=v0，探測(cè)器內(nèi)部的點(diǎn)滿足v

實(shí)物光源常?？梢钥醋鳠o數(shù)個(gè)相互獨(dú)立的點(diǎn)光源的集合，在式(8)和式(9)的基礎(chǔ)上，E.L.Shirley推導(dǎo)出了適用于擴(kuò)展光源的公式[6]:

(10)

若僅僅在幾何光學(xué)范疇考慮，則可以很容易求得探測(cè)器接收的總能量ΦG(λ)，其表達(dá)式跟具體的光學(xué)結(jié)構(gòu)有關(guān)。因此，總的衍射效應(yīng)就可以表示為：

(11)

現(xiàn)在通過圖2對(duì)式(10)的參數(shù)進(jìn)行說明，可以看出，該光構(gòu)中包含了擴(kuò)展型朗伯光源(Source)，光闌(Aperture)和探測(cè)器(Detector)三個(gè)要素，R、rs、rd、ds、dd表示3個(gè)要素構(gòu)成的幾何參數(shù)。事實(shí)上，對(duì)該結(jié)構(gòu)的研究是輻射計(jì)量中研究最多的問題之一，稱為SAD問題。

圖2 SAD結(jié)構(gòu) Fig.2 Structure of SAD

F1:u

F2:y>vm(1+σ)

F3:vm(1-σ)

(12)

對(duì)于F1情況，光闌會(huì)限制光的幾何傳輸路徑，而在F2中則不會(huì)。F3情況會(huì)導(dǎo)致探測(cè)器邊緣位于光束與陰影區(qū)域的交界附近，衍射效應(yīng)分析復(fù)雜，是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中需要避免的情況。式(8)和式(9)是L(u,v)分別在F1和F2情況下的表達(dá)式，只不過取v=vm(1+σx)。在幾何光學(xué)范疇內(nèi)考慮，ΦG(λ)在F1和F2情況下可以表示為

(13)

綜合式(10)、式(11)和式(13)可得總的衍射效應(yīng)為：

(14)

該式表示了SAD結(jié)構(gòu)對(duì)波長(zhǎng)為λ的光的衍射效應(yīng)，然而太陽(yáng)輻射計(jì)中所測(cè)光源是太陽(yáng)，是一個(gè)寬光譜的普朗克光源。實(shí)際操作中，可以將太陽(yáng)輻射的等效波長(zhǎng)λeff≈902.792 042 6 nm應(yīng)用于式(14)[8]。

2.2 簡(jiǎn)化的計(jì)算方法

由于L(u,v)包含復(fù)雜的n階貝塞爾函數(shù)，對(duì)式(14)直接積分是困難的。實(shí)際操作中，常常根據(jù)貝塞爾函數(shù)的漸近性質(zhì)對(duì)L(u,v)進(jìn)行簡(jiǎn)化。

當(dāng)v>|u|時(shí)，F(xiàn)ocke在前人的工作基礎(chǔ)上給出了L(u,v)的漸近形式[9]，

(15)

(16)

(17)

(18)

其中σk是由簡(jiǎn)單函數(shù)Wk(x)決定的變量

(19)

W0(x)=1,W3(x)=x3+4x2+x,

W1(x)=x,W4(x)=x4+11x3+11x2+x,

W2(x)=x2+x,W5(x)=x5+26x4+66x32611x2+x.

(20)

通過上述漸近處理，可以將L(u,v)表示為簡(jiǎn)單函數(shù)，則式(14)就轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)的線性積分，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算量。

為了驗(yàn)證上述簡(jiǎn)化方法的準(zhǔn)確性，本文參考國(guó)外一些已經(jīng)進(jìn)行過衍射修正的輻射計(jì)結(jié)構(gòu)，將使用本文方法計(jì)算的結(jié)果與其報(bào)告的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。表1是國(guó)外幾個(gè)輻射計(jì)的SAD結(jié)構(gòu)參數(shù)以及衍射效應(yīng)的計(jì)算結(jié)果[11]。計(jì)算過程是對(duì)公式(14)的數(shù)值計(jì)算，該過程采用精確的L(u,v)(含有n階貝塞爾函數(shù))，計(jì)算結(jié)果較為精確?？梢钥闯鎏?yáng)總輻照度測(cè)量中衍射效應(yīng)在10-3～10-4之間，已經(jīng)成為精確測(cè)量中不可忽視的重要因素。

表1 幾種太陽(yáng)輻射計(jì)的衍射效應(yīng)Tab.1 Diffraction effects in some radiometers

表2是采用本文簡(jiǎn)化方法計(jì)算得到的衍射效應(yīng)，也就是考慮L(u,v)的漸近性質(zhì)，進(jìn)行較為簡(jiǎn)便的線性積分?？梢钥闯?，計(jì)算結(jié)果與表1的偏差在10-5～10-6之間，遠(yuǎn)小于衍射效應(yīng)值，從而證明本文的方法在簡(jiǎn)化運(yùn)算的同時(shí)兼顧了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

表2 采用簡(jiǎn)化方法的衍射效應(yīng)值Tab.2 Diffraction effects by using simplified method

3 SIAR衍射效應(yīng)的修正

SIAR是一種利用電替代原理對(duì)太陽(yáng)輻射進(jìn)行測(cè)量的儀器，其構(gòu)造如圖3所示，主要結(jié)構(gòu)包括錐腔，光闌結(jié)構(gòu)，熱沉以及相關(guān)的電路模塊[12]。

圖3 SIAR剖面示意圖 Fig.3 Profile of SIAR

SIAR的光闌有6個(gè)：主光闌，視場(chǎng)光闌，4個(gè)消雜光光闌。視場(chǎng)光闌在前，主光闌在后并靠近錐腔，半徑為4 mm。整體結(jié)構(gòu)視場(chǎng)半角為1°，相鄰光闌距離為20 mm光闌分布如圖4所示。

圖4 光闌的幾何分布 Fig.4 Positions of the apertures

應(yīng)用上述SAD結(jié)構(gòu)，對(duì)SIAR的衍射效應(yīng)進(jìn)行分析。首先由于主光闌靠近錐腔，認(rèn)為通過主光闌的光都能到達(dá)錐腔，則主光闌開口相當(dāng)于SAD的探測(cè)器，且rd=4 mm；太陽(yáng)作為SAD結(jié)構(gòu)中的擴(kuò)展型朗伯光源，rs≈6.75×1011mm,距離光闌距離ds≈1.5×1014mm, 由于太陽(yáng)到地球表面的視場(chǎng)半角約為32′,位置在前的光闌不會(huì)遮擋后面光闌的幾何光學(xué)路線[13]，因此視場(chǎng)光闌和4個(gè)消雜光光闌可以作為SAD結(jié)構(gòu)中的非限制光闌，引起F2類型的衍射效應(yīng)。SIAR的衍射效應(yīng)問題可以分解為5個(gè)SAD問題。視場(chǎng)光闌與隨后的4個(gè)消雜光光闌用Apx(x=1,2,3,4,5)表示，具體參數(shù)如表3所示。

根據(jù)L(u,v)在v<|u|時(shí)的漸近性質(zhì)，利用式(14)進(jìn)行數(shù)值積分得到每個(gè)光闌引起的衍射效應(yīng)以及總的衍射效應(yīng)，如表4所示。

表4 SIAR的衍射效應(yīng)Tab.4 Diffraction effects in SIAR

從表4可以看出，SIAR總的衍射效應(yīng)達(dá)到0.274%，而根據(jù)90年代給出的太陽(yáng)總輻照度為(1 365.4±1.3) W/m2，不確定度占0.095%，由此可見，由衍射效應(yīng)引起的誤差是相當(dāng)顯著的[14]，是精確測(cè)量中不可忽視的重要因素。另外由于前一級(jí)光闌不會(huì)遮擋后一級(jí)光闌的幾何傳輸路徑，衍射效應(yīng)會(huì)隨消雜光光闌個(gè)數(shù)的增加而逐級(jí)累加。

輻射計(jì)的衍射修正因子Cdiff定義為[15]：

(21)

太陽(yáng)輻射計(jì)所測(cè)輻射數(shù)據(jù)，需要定標(biāo)到國(guó)際輻射基準(zhǔn)(WRR)。具體做法為：在相同時(shí)間，相同實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，SIAR與WRR同時(shí)對(duì)太陽(yáng)輻射進(jìn)行監(jiān)測(cè)，得到的結(jié)果分別為TSI|SIAR,TSI|WRR，則SIAR的定標(biāo)系數(shù)為

(21)

WRR Factor越接近1，則表明輻射計(jì)的測(cè)量準(zhǔn)確度越高。表5是未經(jīng)過衍射修正的SIAR的定標(biāo)系數(shù)[16]。

表5 衍射效應(yīng)未修正的WRR FactorTab.5 Diffraction effects uncorrected WRR Factor

對(duì)SIAR進(jìn)行衍射效應(yīng)修正，則定標(biāo)系數(shù)為

(22)

表6是經(jīng)過衍射修正后SIAR的定標(biāo)系數(shù)，可以看出經(jīng)過衍射修正后，SIAR-4B和SIAR-4D的定標(biāo)系數(shù)都明顯地趨近于1。而對(duì)于SIAR-2C和SIAR-4A，衍射效應(yīng)造成的系統(tǒng)誤差，使得定標(biāo)系數(shù)從小于1變成大于1，之所以沒能更靠近1，是由其他的系統(tǒng)誤差導(dǎo)致的。因此，衍射修正降低了輻射計(jì)的一部分系統(tǒng)誤差，提高了SIAR測(cè)量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度。

表6 衍射修正過的WRR FactorTab.6 Diffraction effects corrected WRR Factor

4 結(jié) 論

本文從Kirchhoff衍射理論出發(fā)，根據(jù)高斯光學(xué)近似，逐步推導(dǎo)出了衍射效應(yīng)下點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與面、面與面的能量傳輸關(guān)系，最終給出了衍射效應(yīng)計(jì)算的一般公式。為了便于計(jì)算，構(gòu)建了用于衍射分析的SAD模型，重點(diǎn)分析了F1和F2兩種衍射類型，最后根據(jù)漸近性質(zhì)，提出了簡(jiǎn)便的計(jì)算方法。根據(jù)SIAR的光闌結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將其衍射效應(yīng)分解成5個(gè)SAD問題，使用簡(jiǎn)化的方法分別計(jì)算衍射效應(yīng)，最后按照累加原則，得到總的衍射效應(yīng)。由于衍射效應(yīng)與輻射計(jì)的衍射修正因子互為倒數(shù)關(guān)系，從而給出了衍射修正因子，這是國(guó)內(nèi)輻射計(jì)首次實(shí)現(xiàn)對(duì)衍射效應(yīng)的修正。根據(jù)衍射修正結(jié)果，計(jì)算4個(gè)型號(hào)的SIAR相對(duì)WRR的定標(biāo)系數(shù)，結(jié)果表明四個(gè)SIAR中衍射效應(yīng)引起的系統(tǒng)誤差被修正，提高了測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度。