宋勁松， 李 凌， 張明哲

(沈陽化工大學(xué) 信息工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110142)

起重機(jī)利用繩索一類的柔性體代替剛體工作，以使得起重機(jī)的結(jié)構(gòu)輕便、工作效率高.但是采用柔性體吊運(yùn)也帶來了一些負(fù)面影響，例如起重機(jī)負(fù)載的擺動一直是困擾提高起重機(jī)裝運(yùn)效率的一個(gè)難題.在碼頭、倉庫等貨物集散地，龍門起重機(jī)系統(tǒng)必須快速平穩(wěn)地吊運(yùn)貨物，吊運(yùn)過程中，重物擺角幅度不能太大，在平穩(wěn)停車后，重物擺角要盡快歸零，到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，以便進(jìn)行下一步運(yùn)輸.研究龍門起重機(jī)更加快速地消除擺動、提高運(yùn)行效率具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

對于龍門起重機(jī)的防擺問題，人們進(jìn)行了數(shù)十年的規(guī)范研究.早在上世紀(jì)末，受限于當(dāng)時(shí)技術(shù)和材料，龍門起重機(jī)的設(shè)計(jì)偏于保守以保證安全性，設(shè)備通常非常笨重，以較慢的運(yùn)行速度降低貨物擺動，工作效率低下.新世紀(jì)初，隨著工業(yè)的快速發(fā)展，遠(yuǎn)洋物流運(yùn)輸速度不斷加快，這對龍門起重機(jī)的性能有了新的要求，在保證安全和穩(wěn)定的前提下，需要有更高的轉(zhuǎn)運(yùn)速度，龍門起重機(jī)迎來了新的發(fā)展，新技術(shù)新方法被普遍運(yùn)用.其中，創(chuàng)新的控制技術(shù)在起重機(jī)防擺研究中起著至關(guān)重要的作用，PID參數(shù)優(yōu)化、內(nèi)?？刂啤⒛：刂频瓤刂萍夹g(shù)的應(yīng)用使龍門起重機(jī)消擺問題得到一定程度的優(yōu)化[1].

控制系統(tǒng)的目標(biāo)是以最小的過沖和最大的速度將貨物移動到龍門起重機(jī)上一個(gè)新的位置.大多數(shù)龍門起重機(jī)控制系統(tǒng)，以提高系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性為主要目標(biāo)，而更快的轉(zhuǎn)運(yùn)速度則是行業(yè)領(lǐng)先的標(biāo)桿.相較于傳統(tǒng)的控制方法，應(yīng)用時(shí)間最優(yōu)控制能夠在系統(tǒng)穩(wěn)定基礎(chǔ)上最大程度地提高運(yùn)行效率.本文對龍門起重機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行建模，結(jié)合時(shí)間最優(yōu)控制原理，在擺動允許范圍內(nèi)，實(shí)現(xiàn)最快速的運(yùn)行，并通過Matlab仿真驗(yàn)證方法可行性.

1 時(shí)間最優(yōu)控制問題

最優(yōu)控制問題是從事研究工作人員經(jīng)常碰到的問題，應(yīng)用什么樣的技術(shù)手段使人們能夠用最小的花費(fèi)得到最好的效果是研究的重點(diǎn)[2].

1.1 時(shí)間最優(yōu)控制問題的數(shù)學(xué)描述

受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以表示為:

(1)

給定的終端狀態(tài)為x(tf)=xf，對控制變量的約束為u(t)∈U∈Rr.

若選擇允許的最優(yōu)控制函數(shù)u*(t)，其將使得系統(tǒng)的狀態(tài)方程從初始狀態(tài)x0出發(fā)，轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)xf的過程所需要的時(shí)間最短(即(tf-t0)=tmin)，稱這一問題為時(shí)間最優(yōu)控制問題[1].

時(shí)間最優(yōu)控制問題的性能指標(biāo)函數(shù)可表示為：

(2)

1.2 時(shí)間最優(yōu)控制的必要條件

根據(jù)極大值原理可知，線性系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制有解的必要條件是：控制域U必須是“有界閉集”，且最優(yōu)控制函數(shù)必定取這個(gè)閉集U的邊界值。由此可得出時(shí)間最優(yōu)的控制為：

(3)

由此可見，允許控制的時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)是Bang-Bang型(也稱砰砰型)控制系統(tǒng)，只有繼電型非線性系統(tǒng)才能實(shí)現(xiàn)時(shí)間最優(yōu)控制[1-2].

2 系統(tǒng)建模

2.1 模型建立

龍門起重機(jī)問題為多剛體、多自由度、多約束的質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)問題.在生產(chǎn)生活中龍門起重機(jī)模型實(shí)際上是一個(gè)三維模型，但是龍門起重機(jī)在運(yùn)動過程中，主要受力情況分布在二維空間內(nèi)，在另一個(gè)維度方向上受力主要是一些擾動(比如風(fēng)力).為了研究方便，將實(shí)際的三維模型抽象成二維模型，且在龍門起重機(jī)運(yùn)行過程中認(rèn)為繩長不變，纜繩的質(zhì)量相對于重物的質(zhì)量可以忽略不計(jì).模型如圖1所示[3].

圖1 起重機(jī)系統(tǒng)的物理模型

重物通過繩索與小車相連，小車在電動機(jī)的水平拉力F1的作用下在平直軌道上運(yùn)動.小車的質(zhì)量為m0，重物的質(zhì)量為m，繩索的長度為l，可在提升電動機(jī)的提升力F2作用下進(jìn)行升降運(yùn)動，重力加速度為g；繩索的彈性、質(zhì)量、運(yùn)動的阻尼系數(shù)可忽略；小車與水平軌道的摩擦阻尼系數(shù)為D；重物擺動時(shí)的阻尼系數(shù)為η，其他擾動可忽略[4].取小車位置為x1，繩長為x2，擺角為x3，將它們作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)系，在此基礎(chǔ)上對龍門起重機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)分析建模.其中，所涉及的參數(shù)、變量、單位及取值參見表1.

表1 參數(shù)變量表

由圖1所示的坐標(biāo)系可知，小車和重物的位置坐標(biāo)為:

(4)

所以小車和重物的速度分量為:

(5)

系統(tǒng)的動能為：

(6)

此系統(tǒng)的拉格朗日方程組為：

(7)

(8)

2.2 模型簡化

為了應(yīng)用經(jīng)典控制理論分析所建立的系統(tǒng)，就需要把式(8)所示的非線性方程組進(jìn)行線性化處理[5].

(9)

對式(9)進(jìn)行拉普拉斯變化可得:

(10)

式(10)即為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型形式，據(jù)此可以得到圖2所示的定擺長起重機(jī)運(yùn)動系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，圖3是其另一種表達(dá)形式.

圖2 定擺長起重機(jī)運(yùn)動系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)

圖3 變換后的定擺長起重機(jī)運(yùn)動系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)

同理，也可將上述模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間形式.對式(10)進(jìn)行變換，每個(gè)式子只保留一個(gè)二次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可得：

(11)

(12)

(13)

在擺長一定的情況下，起重機(jī)模型的狀態(tài)空間表達(dá)式即如式(13)所示.

3 應(yīng)用時(shí)間最優(yōu)控制策略

由于起重機(jī)防擺控制問題的核心是在有效消除重物擺動的條件下，使小車能夠快速可靠定位，可以通過對重物擺動規(guī)律分析，選定有效的控制策略[6-7].

3.1 負(fù)載重物擺動問題的數(shù)學(xué)描述

在建立了龍門起重機(jī)的整體運(yùn)動模型后，為了應(yīng)用時(shí)間最優(yōu)控制方法，還需要對負(fù)載擺動模型獨(dú)立進(jìn)行分析.

(14)

這樣負(fù)載的擺動方程可以寫成：

(15)

(16)

3.2 擺動規(guī)律相平面分析

為實(shí)現(xiàn)有效控制需要研究重物的擺動規(guī)律，通過相軌跡對擺動進(jìn)行分析比較容易，這里應(yīng)用相平面分析法.

重物擺動的狀態(tài)方程對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

(17)

其解為：

(18)

為了使時(shí)間最優(yōu)，取控制規(guī)律u(t)=Δ(Δ=±1,0)，并設(shè)ωx1(t)、ωx2(t)為新的狀態(tài)，式(18)可整理為：

[ωx1(t)-Δ]2+[ωx2(t)]2=

[ωx1(0)-Δ]2+[ωx2(0)]2

(19)

龍門起重機(jī)系統(tǒng)負(fù)載擺動的相平面圖如圖4所示，其中，Dx=ωx2(t)為縱坐標(biāo)，x=ωx1(t)為橫坐標(biāo).

圖4 系統(tǒng)相平面

3.3 消擺控制策略

通過前面的分析，可以得到龍門起重機(jī)的運(yùn)動規(guī)律：啟動時(shí)u(t)=1，加速度處于最大，重物的擺動狀態(tài)對應(yīng)圖5中的右半平面的實(shí)線；當(dāng)狀態(tài)運(yùn)動一周回到原點(diǎn)，此時(shí)擺角及擺速均為零，加速為零，小車處于勻速運(yùn)動狀態(tài)，擺動消除；同理，當(dāng)制動停車過程中，始終以最大減速度減速，即u(t)=-1，重物的擺動狀態(tài)對應(yīng)圖5中的左半平面虛線；當(dāng)狀態(tài)運(yùn)動回到原點(diǎn)時(shí)，減速停止，擺動消除[6].

圖5 當(dāng)u(t)等于-1和1時(shí)的相平面圖

該消擺控制策略加減速的時(shí)間ts相同，均為走完一個(gè)完整圓周使用的時(shí)間，即有：

由此可知，負(fù)載擺動具有周期性，且只需控制小車的加速度就能控制擺動幅度.控制器可以通過改變輸出PWM占空比將加速度信號轉(zhuǎn)換為伺服驅(qū)動器可以接收到的速度信號.所以，控制器只需要設(shè)計(jì)為開環(huán)就能滿足需要.其控制結(jié)構(gòu)框圖如圖6.操作人員發(fā)送控制信號給控制器，控制器接收到控制信號給出的位置坐標(biāo)，根據(jù)已知的繩長及其他限制條件計(jì)算出加速度的時(shí)間序列，最后發(fā)送給小車伺服驅(qū)動器驅(qū)動小車進(jìn)行工作.

圖6 起重機(jī)控制結(jié)構(gòu)框圖

假設(shè)起重機(jī)的啟動制動最大加速度為am，最大速度為vm，繩長為l，要行走的距離為s.下面給出消擺的切換時(shí)間序列.

圖7 起制動切換時(shí)刻

4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)論

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

綜合以上分析，建立如圖8所示仿真結(jié)構(gòu)，其中控制器輸出為圖7計(jì)算的加速度時(shí)間序列，并通過增益輸出力作用于所建立的起重機(jī)動力學(xué)模型，繼而輸出仿真結(jié)果，如圖9所示.

圖8 Simulink仿真框圖

圖9 系統(tǒng)仿真結(jié)果

由圖9得知：重物擺動幅度在控制在很小的范圍內(nèi)(|θ|<10 rad)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間最優(yōu)控制的龍門起重機(jī)模型在最大速度運(yùn)行的情況下有良好的消擺效果，這也驗(yàn)證了之前的理論推測.

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

(1) 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)基于時(shí)間最優(yōu)理論.根據(jù)上節(jié)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，擺角絕對值小于10 rad，在滿足理論最大運(yùn)行速度的前提下，符合預(yù)期消擺要求.所以，實(shí)驗(yàn)證明了所設(shè)計(jì)的基于時(shí)間最優(yōu)控制的起重機(jī)防擺控制方案是可行的.

(2) 相較于其他控制方法，時(shí)間最優(yōu)控制在實(shí)際的龍門吊防擺應(yīng)用中具有諸多優(yōu)點(diǎn)，如不需要檢測擺角、運(yùn)行速度快、控制較為簡單等.

(3) 時(shí)間最優(yōu)控制在防擺應(yīng)用中也有其不足，比如要求擺角初始為零.此外，實(shí)驗(yàn)實(shí)質(zhì)為開環(huán)控制，實(shí)現(xiàn)更加精確的控制還需要在控制器中加入角度位置等反饋控制.