程素平， 劉祚時(shí)， 胡智元

(江西理工大學(xué),a.電氣學(xué)院; b.機(jī)電工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

0 引言

由于無人機(jī)可用于救援行動(dòng)、交通監(jiān)控和森林管理等，在過去幾年引起了相關(guān)研究人員的極大關(guān)注，無論是民用還是軍用無人機(jī)都成為了航空航天領(lǐng)域發(fā)展最快的項(xiàng)目。其中，垂直起降無人機(jī)由于卓越的運(yùn)動(dòng)敏捷性、相對較小的尺寸以及在混亂環(huán)境中懸停和操作的能力，一直是研究的主要對象。飛行控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)是研究中的基本問題，對于4個(gè)電機(jī)6個(gè)自由度欠驅(qū)動(dòng)的四旋翼飛行器來說，目前國內(nèi)外使用最廣泛的方法有PID控制、動(dòng)態(tài)反饋線性化控制、線性二次型最優(yōu)控制和模糊預(yù)測控制[1]。文獻(xiàn)[2]采用雙閉環(huán)PID控制算法，在高度控制和姿態(tài)控制中分別增加加速度環(huán)和內(nèi)環(huán)角速度環(huán)，增強(qiáng)了飛控系統(tǒng)的魯棒性；文獻(xiàn)[3]采用傳統(tǒng)的Backstepping法,簡化了控制器結(jié)構(gòu),且參數(shù)更容易調(diào)整,但軌跡跟蹤精度下降了2%。本文在傳統(tǒng)Backstepping法的基礎(chǔ)上，增加了一個(gè)彌補(bǔ)穩(wěn)態(tài)誤差的積分項(xiàng)，利用基于積分型反步法(Integral Backstepping)的控制器來控制飛行器的軌跡以及提高其抗干擾能力。

1 四旋翼飛行器的建模

為了便于對飛行器建立數(shù)學(xué)模型，可以先做如下理想化的假設(shè)：把地球表面視為平面，且飛行器是剛體；飛行器的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變；飛行器的中心和重心一致；飛行器只受螺旋槳的升力和重力的影響；忽略風(fēng)的阻力。

大地坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 大地坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系

機(jī)體坐標(biāo)系oxyz首先要繞z軸轉(zhuǎn)過偏航角ψ，然后繞y軸轉(zhuǎn)過俯仰角θ，再繞x軸轉(zhuǎn)過滾轉(zhuǎn)角φ，最后與慣性坐標(biāo)系OXYZ重合。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可以建立四旋翼飛行器沿E(X，Y，Z)的三軸力平衡方程和沿機(jī)體坐標(biāo)系三軸的力矩平衡方程式[4]

(1)

(2)

通過式(2)計(jì)算運(yùn)動(dòng)方程，可得到機(jī)體角速度與歐拉角速度的關(guān)系方程，從而得到沿X，Y和Z方向的

角運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

定義4個(gè)控制量為

(4)

式中：Kq為旋翼反扭矩系數(shù)；U1為高度通道控制量；U2為x-θ通道控制量；U3為y-φ通道控制量；U4為偏航通道控制量。對飛行器的控制可分解為對4個(gè)控制通道的控制量的調(diào)節(jié)[5]。簡化后得到四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)方程為

(5)

2 系統(tǒng)總體控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

將飛行器控制系統(tǒng)分為姿態(tài)控制和位置控制兩個(gè)子系統(tǒng)。姿態(tài)控制回路作為內(nèi)回路，位置控制回路為外回路[6]。

在位置控制回路中，U1用來控制x，y和z三軸方向的位移。位置控制回路計(jì)算出飛行狀態(tài)所需的姿態(tài)角[φdθd]，而ψd通過單獨(dú)輸入得到，然后將3個(gè)姿態(tài)角提供給姿態(tài)控制回路，實(shí)現(xiàn)對姿態(tài)的跟蹤控制，如圖2所示。

程素平等： Integral Backstepping法在四旋翼飛行器抗干擾研究中的應(yīng)用

圖2 系統(tǒng)總體控制結(jié)構(gòu)圖

2.1 經(jīng)典PID控制設(shè)計(jì)

PID控制主要是靠給定值(目標(biāo)值)和輸出(控制結(jié)果)的偏差來實(shí)現(xiàn)反饋控制[2]。

PID控制的表達(dá)式為

(6)

式中：e(t)為控制偏差；kp為比例系數(shù)；Ti為積分時(shí)間常數(shù)；Td為微分時(shí)間常數(shù)。

首先構(gòu)造控制量為

(7)

式中：[φdθdψd]為期望的姿態(tài)角信號(hào)；[φθψ]為傳感器測量得到的姿態(tài)角信號(hào)；[pqr]為機(jī)體角速度。Kpφ，Kpθ，Kpψ和Kdφ，Kdθ，Kdψ分別為3個(gè)通道的比例調(diào)節(jié)系數(shù)和微分調(diào)節(jié)系數(shù)[7]。

則位置控制回路的輸出為

(8)

定義Tx，Ty和Tz為U1在慣性坐標(biāo)系下三軸中的分量，則

(9)

由式(7)可知，位置回路的控制量可近似等效于飛行器加速度在慣性坐標(biāo)系下的3個(gè)分量，即

(10)

偏航角ψd為給定，則可以推出

(11)

由該式計(jì)算得到的姿態(tài)角指令信號(hào)φd,θd可作為姿態(tài)控制回路的輸入信號(hào)。

2.2 Integral Backstepping理論控制器設(shè)計(jì)

Backstepping控制理論是指把復(fù)雜非線性系統(tǒng)分解成多個(gè)低階的簡單子系統(tǒng)，然后定義若干個(gè)中間虛擬量來匹配Lyapunov函數(shù)對應(yīng)的子系統(tǒng)，保持系統(tǒng)穩(wěn)定從最低階次開始一直后退，最終將所有子系統(tǒng)集合起來完成系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)。引入積分作用可以有效消除系統(tǒng)控制過程中的誤差[3]。

(12)

位置控制回路中，U1用來控制無人機(jī)的飛行高度，而虛擬控制量[Ux,Uy]用來控制無人機(jī)在x,y軸向上的坐標(biāo)位置。姿態(tài)控制回路中[U2,U3,U4]分別控制無人機(jī)的滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航飛行運(yùn)動(dòng)[8]。

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：Ci(i=1,2，…，12)>0為控制增益；為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，耦合項(xiàng)e1e2會(huì)在后面消去。整理得

(17)

選取Lyapunov函數(shù)為

(18)

(19)

(20)

(21)

按照上述方法，可依次求解俯仰角通道、偏航角通道控制量U3,U4的表達(dá)式[9]分別為

(22)

位置控制通道主要包括x,y,z三個(gè)軸向上的無人機(jī)坐標(biāo)調(diào)整，最終求得控制量為

(23)

(24)

(25)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

首先在Matlab/Simulink環(huán)境下構(gòu)建兩種算法完整的控制系統(tǒng)仿真模型[10]，然后設(shè)定兩個(gè)飛行器模型的飛行軌跡均為X=cos(t/2),Y=sin(t/2),Z=0.2t;初始狀態(tài)靜止于坐標(biāo)點(diǎn)(1，0，0)，初始姿態(tài)角為0°，期望偏航角度為1°，仿真結(jié)果如圖3～圖7所示。

圖3 經(jīng)典PID算法的軌跡跟蹤曲線

圖4 基于Integral Backstepping算法的軌跡跟蹤曲線

當(dāng)飛行器懸停時(shí)，為測試系統(tǒng)抗外界干擾能力，在t處于8～12 s的時(shí)間范圍內(nèi)，對3個(gè)通道的力矩輸入端分別加入幅值為0.2 N·m的干擾力矩。

圖5 經(jīng)典PID算法控制下系統(tǒng)姿態(tài)角抗干擾曲線

圖6 Integral Backstepping算法控制下系統(tǒng)

圖7 兩種算法的三維軌跡跟蹤曲線

1) 從圖3和圖4可以看出，與經(jīng)典PID控制器設(shè)計(jì)方案相比，基于Integral Backstepping算法模型的系統(tǒng)穩(wěn)定性明顯增強(qiáng)，在x，y，z三個(gè)軸向上的位置坐標(biāo)偏差值大大降低。

2) 從圖5和圖6可以看出，在第12 s干擾消除后，PID控制的飛行器可在3 s內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，而基于Integral Backstepping算法的控制器可在1 s內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，調(diào)節(jié)時(shí)間大大縮短。

3) 從圖7可以看出，通過plot3函數(shù)可以得到飛行器的三維軌跡跟蹤曲線，基于Integral Backstepping算法的控制器比經(jīng)典PID控制器的跟蹤精度更高。

4 結(jié)束語

本文首先以合理假設(shè)為基礎(chǔ)，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立了較為精確的四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型，然后根據(jù)四旋翼飛行器的模型特點(diǎn)，將其分為姿態(tài)子系統(tǒng)和位移子系統(tǒng)。由于姿態(tài)控制系統(tǒng)在位置控制系統(tǒng)之前，所以先研究了姿態(tài)控制系統(tǒng)，后研究了位置控制系統(tǒng)。最后分別使用經(jīng)典PID控制算法、基于Integral Backetepping的控制算法在Matlab/Simulink環(huán)境中進(jìn)行系統(tǒng)模型的設(shè)計(jì)，并分別對兩種模型進(jìn)行了仿真和分析。仿真結(jié)果驗(yàn)證了兩種控制方案的可行性，但從控制性能方面的對比來看，基于Integral Backstepping算法的控制模型比經(jīng)典PID控制模型的控制精度更高、調(diào)節(jié)時(shí)間更短、抗干擾能力更強(qiáng)。