張歡慶， 劉宜成

(四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，成都 610065)

0 引言

隨著人類在太空領(lǐng)域的探索不斷深入，空間機(jī)器人的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，例如，航空器維修、空間站建設(shè)、衛(wèi)星捕獲等太空任務(wù)[1-4]，空間機(jī)器人將在未來(lái)的空間工程中扮演重要角色。針對(duì)不斷提出的新任務(wù)要求，設(shè)計(jì)出合適的空間機(jī)器人系統(tǒng)控制器顯得尤為重要[5]。對(duì)空間機(jī)器人的研究不同于地面機(jī)器人：一方面，空間機(jī)器人的機(jī)械臂與基座之間存在動(dòng)力學(xué)耦合作用，整個(gè)系統(tǒng)服從動(dòng)量守恒定律，其動(dòng)力學(xué)方程不具有線性參數(shù)化的性質(zhì)，復(fù)雜度更高;另一方面，空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型非常復(fù)雜且存在許多不確定性，如基座與機(jī)械臂的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等參數(shù)無(wú)法獲得精確值，并且太空中工作環(huán)境復(fù)雜，外部信號(hào)和測(cè)量噪聲都會(huì)對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)造成干擾。如果設(shè)計(jì)的控制器不能對(duì)外部干擾起到抑制作用，不僅會(huì)降低控制器的性能，還會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

針對(duì)上述的復(fù)雜空間機(jī)器人系統(tǒng)，很多控制方法被提出。文獻(xiàn)[6]提出分解運(yùn)動(dòng)速度控制方法，基于廣義雅可比矩陣的概念，將機(jī)械臂末端執(zhí)行器的期望運(yùn)動(dòng)速度分解為關(guān)節(jié)的期望速度，然后對(duì)各個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行伺服控制；文獻(xiàn)[7]基于擴(kuò)展的雅可比矩陣，設(shè)計(jì)了一種空間機(jī)器人的零反作用控制器，實(shí)現(xiàn)了末端執(zhí)行器的軌跡跟蹤與基座姿態(tài)調(diào)整。然而此類算法無(wú)法考慮避動(dòng)力學(xué)奇異問題，也無(wú)法得到優(yōu)化的控制輸入。文獻(xiàn)[8]研究了空間機(jī)器人自適應(yīng)控制方案，解決未建模動(dòng)力學(xué)問題；文獻(xiàn)[9]研究了空間機(jī)器人基座姿態(tài)與機(jī)械臂末端執(zhí)行器軌跡協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)的自適應(yīng)控制方法。自適應(yīng)控制方案的主要思想是利用參數(shù)調(diào)節(jié)律對(duì)未知的系統(tǒng)慣性參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，但如果存在不能由定常參數(shù)表示的外部干擾，參數(shù)估計(jì)誤差就很難收斂。文獻(xiàn)[10]提出了魯棒模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方案的設(shè)計(jì)比較繁瑣，且需要預(yù)先對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行初步訓(xùn)練。

本文結(jié)合文獻(xiàn)[11]的思想，采用低復(fù)雜度全局逼近收斂控制方法，控制器設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，且不需要對(duì)系統(tǒng)模型參數(shù)線性化，避免了類似反演控制神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法帶來(lái)的復(fù)雜度高的問題，使得整個(gè)控制系統(tǒng)運(yùn)算更為簡(jiǎn)便高效。本文針對(duì)空間六自由度單臂機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行抗干擾仿真，仿真結(jié)果表明，全局逼近控制方案較魯棒補(bǔ)償控制方案具有更強(qiáng)的魯棒控制效果。

1 空間機(jī)器人系統(tǒng)模型描述

本文介紹的機(jī)器人系統(tǒng)是由基座和一個(gè)n自由度的機(jī)械臂組成，如圖1所示，其中，Bi，Ji分別對(duì)應(yīng)第i個(gè)連桿和關(guān)節(jié)軸，OI，O0分別表示慣性系和基座本體坐標(biāo)系。

空間機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型可表示為

(1)

圖1 空間單臂機(jī)器人系統(tǒng)模型Fig.1 The space single-arm robot system model

2 控制器設(shè)計(jì)

(2)

由于n自由度的空間機(jī)器人系統(tǒng)可看作是由n個(gè)類似的分散子系統(tǒng)構(gòu)成，因此進(jìn)行以下控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析時(shí)，只對(duì)其任一一維子系統(tǒng)進(jìn)行論述。

假設(shè)1 系統(tǒng)規(guī)劃的期望關(guān)節(jié)角為θd，它連續(xù)可導(dǎo)且有界。

針對(duì)式(2)的二階系統(tǒng)，對(duì)其第i個(gè)一維子系統(tǒng)設(shè)置控制器步驟如下。

1) 選擇一個(gè)輸出逼近函數(shù)

p1(t)=(p10-p1∞)e-l1t+p1∞

(3)

使其滿足p1(0)>|xi,1(0)-θid(0)|，p1∞和l1分別為函數(shù)最大收斂誤差與最小收斂速度。定義一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)誤差為

(4)

設(shè)置一個(gè)虛擬控制器為

(5)

式中，k1為一個(gè)正的控制增益。

2) 選擇第二個(gè)輸出逼近函數(shù)

p2(t)=(p20-p2∞)e-l2t+p2∞

(6)

滿足p2(0)>|xi,2(0)-ai,1(0)|。標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)誤差定義為

(7)

設(shè)置控制輸入為

(8)

式中，k2為控制增益。

3 穩(wěn)定性分析

證明 考慮式(2)系統(tǒng)，對(duì)給定任意初始狀態(tài)條件且滿足假設(shè)1的期望軌跡，本文設(shè)計(jì)的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)全局逼近收斂控制。

式(2)系統(tǒng)的第i個(gè)一維系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(9)

由式(5)、式(7)可得

xi,1=ξi,1p1+θid

(10)

xi,2=ξi,2p2+ai,1

(11)

根據(jù)文獻(xiàn)[8]所提定理的特性， 可得對(duì)于?t∈[0,tmax)，有ξi,j∈(-1,1),j=1,2。

令

(12)

(13)

根據(jù)中值定理可得

(14)

式中，z*=λ(ξi,2p2+ai,1)+(1-λ)ξi,2p2。

將式(14)代入式(13)得

(15)

(16)

根據(jù)狀態(tài)方程式(2)可得

(17)

(18)

(19)

所以

(20)

同理可得

(21)

即控制輸入τi與虛擬控制信號(hào)ai,1有界，進(jìn)而易得系統(tǒng)的狀態(tài)變量xi,1，xi,2均有界。結(jié)合式(10)得

(22)

從而有

(23)

即對(duì)?t∈[0,tmax)，式(9)子系統(tǒng)輸出可以跟蹤上期望軌跡。

綜上可得：對(duì)式(2)系統(tǒng)，給定任意初始狀態(tài)條件和滿足假設(shè)1的期望軌跡，本文設(shè)計(jì)的控制方案能夠?qū)崿F(xiàn)全局收斂控制。

4 仿真

通過仿真進(jìn)一步驗(yàn)證該控制方案的實(shí)效性。本文的仿真對(duì)象為一個(gè)六自由度的單臂空間機(jī)器人系統(tǒng)，它由一個(gè)六自由度機(jī)械臂和基座組成,該系統(tǒng)機(jī)械臂的D-H參數(shù)及質(zhì)量參數(shù)如表1、表2所示。

表1 機(jī)械臂的D-H參數(shù)

表2 空間機(jī)器人系統(tǒng)的質(zhì)量參數(shù)

下面將給出仿真過程中，機(jī)器人系統(tǒng)的一些初始參數(shù)?；某跏嘉恢煤妥藨B(tài)為：r0(t0)=[-0.28 0.310.32]T(單位，m)；ψ0(t0)=[0 0 0]Τ(單位，°)。系統(tǒng)的線動(dòng)量和角動(dòng)量分別為：P=[0 0 0]Τ；L=[0 0 0]Τ。

假設(shè)機(jī)械臂期望的初始關(guān)節(jié)角為：Θd(t0)=[0- 47

圖2 機(jī)械臂的期望關(guān)節(jié)角與關(guān)節(jié)角速度Fig.2 The desired joint angle and joint angular velocity

為了證明該控制方案的誤差收斂特性及強(qiáng)魯棒性,設(shè)置機(jī)械臂實(shí)際的初始關(guān)節(jié)角為：Θ(t0)=[0-40800-200]Τ(單位，°)，并在控制輸入中添加適當(dāng)?shù)脑肼暩蓴_：d(t)=0.1randn(6)，其中，randn(6)為六維列向量。

同等條件下，將本文設(shè)計(jì)的控制器與傳統(tǒng)魯棒補(bǔ)償控制器做仿真對(duì)比。

圖3表示兩種控制算法對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角跟蹤誤差，從圖中可以看出：全局逼近收斂控制器對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角跟蹤誤差可以收斂到±3.5×10-4(單位，°)以內(nèi)，而魯棒補(bǔ)償控制器對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角跟蹤誤差范圍只能收斂到±3×10-3(單位，°)以內(nèi)，顯然全局逼近控制更有優(yōu)越性。

圖3 機(jī)械臂關(guān)節(jié)角跟蹤誤差Fig.3 The tracking errors of joint angle

圖4、圖5分別描繪了基于兩種控制方法的機(jī)械臂末端位置和姿態(tài)誤差曲線，其中，“A”曲線對(duì)應(yīng)全局逼近收斂控制，“B”曲線對(duì)應(yīng)魯棒補(bǔ)償控制。由圖4、圖5可知，兩種控制算法對(duì)單臂機(jī)器人系統(tǒng)的控制效果有明顯的差異。整體來(lái)看，本文提出的控制算法在誤差動(dòng)態(tài)收斂性能及穩(wěn)態(tài)性能上均優(yōu)于魯棒補(bǔ)償控制方法。綜上可以得出：全局逼近收斂控制可以使受控系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。

圖4 兩種控制方法對(duì)應(yīng)的機(jī)械臂末端位置誤差Fig.4 The position tracking errors of two controllers

圖5 兩種控制方法對(duì)應(yīng)的機(jī)械臂末端姿態(tài)誤差Fig.5 The attitude angle tracking errors of two controllers

5 結(jié)論

本文以空間機(jī)器人系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于全局逼近收斂控制方法設(shè)計(jì)了一個(gè)魯棒控制器，實(shí)現(xiàn)在系統(tǒng)存在初始狀態(tài)誤差及隨機(jī)噪聲干擾條件下，對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)的魯棒控制。本文利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明該控制器可以實(shí)現(xiàn)空間機(jī)器人系統(tǒng)的全局穩(wěn)定，即該控制器可以實(shí)現(xiàn)高精度的路徑跟蹤。仿真結(jié)果也表明了該控制器較傳統(tǒng)的魯棒控制方案有復(fù)雜度低、魯棒性能好等優(yōu)點(diǎn)。