左仁偉， 董新民， 劉棕成

(空軍工程大學(xué)，西安 710038)

0 引言

近年來，非線性系統(tǒng)的控制設(shè)計問題引起了各國學(xué)者的廣泛關(guān)注，在嚴格反饋系統(tǒng)控制領(lǐng)域取得了很多成果[1-6]。但實際中存在很多非仿射純反饋結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)，如生化處理系統(tǒng)、飛行控制系統(tǒng)、Duffing振蕩器以及機械系統(tǒng)等，因此研究非仿射純反饋系統(tǒng)的控制理論具有一定的實際意義。

由于非仿射純反饋系統(tǒng)的控制問題更復(fù)雜且更具挑戰(zhàn)性，取得的成果還比較少見[7-19]。已有研究成果中對非仿射純反饋非線性系統(tǒng)控制設(shè)計方法主要依靠均值定理與隱函數(shù)定理[10-15]。文獻[10-14]針對具有下三角結(jié)構(gòu)的純反饋非線性系統(tǒng)討論了自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)backstepping控制方案；文獻[15]針對具有非仿射函數(shù)和未知死區(qū)的純反饋系統(tǒng)，結(jié)合均值定理和backstepping技術(shù)，提出了一種直接自適應(yīng)控制方法。上述文獻都假定非仿射函數(shù)對于輸入變量是可導(dǎo)的，甚至導(dǎo)數(shù)必須是嚴格為正或負。針對非仿射函數(shù)不可導(dǎo)的純反饋非線性系統(tǒng)的控制問題，文獻[16]提出了能保證非仿射純反饋非線性系統(tǒng)可控性的連續(xù)性函數(shù)條件，取消了非仿射非線性函數(shù)必須可導(dǎo)的假設(shè)；文獻[17]在文獻[16]的基礎(chǔ)上進一步放寬了非仿射函數(shù)連續(xù)性條件。然而，上述方案未考慮非仿射函數(shù)不連續(xù)時的控制問題。

基于以上分析，本文就一類非仿射函數(shù)不連續(xù)的純反饋非線性系統(tǒng)的控制問題，提出了一種魯棒自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法。本文所提方案具有以下優(yōu)點：1)取消了非仿射函數(shù)必須滿足連續(xù)性條件；2)考慮了控制輸入存在死區(qū)非線性的情況；3)引入了自適應(yīng)補償項消除建模誤差、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差和外界干擾造成的影響；4)從理論上證明了閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號半全局一致終結(jié)有界。

1 問題描述和準備

考慮如下一類純反饋非線性系統(tǒng)

(1)

(2)

(3)

(4)

。

(5)

(6)

引理1[18]雙曲正切函數(shù)是連續(xù)可導(dǎo)的，并且對于任意q∈R和?υ>0有以下不等式成立

(7)

輸入u，輸出v(u)的死區(qū)模型描述為

(8)

假設(shè)死區(qū)模型具有如下基本性質(zhì):1)死區(qū)輸出v(u)是不可測量的；2)死區(qū)的傾斜度kr=kl=k；3)死區(qū)參數(shù)br，bl和k是未知的有界常數(shù)，但它們的符號已知，br>0，bl<0，k>0。

根據(jù)上述死區(qū)的基本性質(zhì)，重新定義死區(qū)模型為

v(u)=ku+εu

(9)

式中，

(10)

εu≤ε*，ε*是未知正常數(shù)。

引理2[20] 已知V(·)和(·)是[0,tf)上的光滑函數(shù)且V(t)≥0,tf∈[0,∞],N() 是Nussbaum函數(shù),

如果下列不等式成立

V(t)≤c1+e-c2t∫t0[gN((τ))+1]ec2τdτ(11)

式中:c1為適當?shù)某?shù);c2為正數(shù);g為非零常數(shù),那么

V(·),(·)和∫t0N((τ))dτ在區(qū)間[0,tf)上有界。

本文將采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行逼近。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個線性參數(shù)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其能以任意精度逼近任何連續(xù)非線性函數(shù)φ(Z),即

φ(Z)=Θ*Tξ(Z)+μ

(12)

式中:輸入向量Z∈ΩZ?Rn，n是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入維數(shù)；μ為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差且滿足|μ(Z)|≤μ*，μ*是未知正數(shù)；ξ(Z)∈Rl為徑向基函數(shù)向量，l>1為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)；Θ*∈Rl為最優(yōu)權(quán)值向量，即

(13)

式中，Θ為任意的權(quán)重向量。

左仁偉等： 純反饋非線性系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)跟蹤控制

2 控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

定義式(1)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤誤差為e1=x1-yd，ei=xi-αi f(i=2,3,…,n)。設(shè)計過程共包含n步。在前n-1步中設(shè)計期望虛擬控制信號αi-1，再以αi-1為輸入通過一階濾波器得到αi f，在第n步設(shè)計自適應(yīng)控制器u。

第1步 沿e1=x1-yd對e1求導(dǎo)可得

(14)

將式(5)和式(12)代入式(14)可得

(15)

構(gòu)造虛擬控制律α1以及自適應(yīng)律為

(16)

(17)

將信號α1通過一個一階濾波器，濾波器的輸出為α2f，時間常數(shù)為τ2，即

(18)

定義濾波器的輸出誤差為y2=α2f-α1，于是有

(19)

根據(jù)x1=e1+yd，存在未知連續(xù)函數(shù)

(20)

(21)

由式(4)可知

(22)

進一步可得

(23)

(24)

第i步(2≤i≤n-1) 沿ei=xi-αif對ei求導(dǎo)可得

(25)

將式(5)和式(12)代入式(25)可得

(26)

構(gòu)造虛擬控制律αi以及自適應(yīng)律為

(27)

(28)

將信號αi通過一個一階濾波器，濾波器的輸出為αi+1f，時間常數(shù)為τi+1，即

(29)

定義濾波器的輸出誤差為yi+1=αi+1f-αi，因此

(30)

由xi+1=ei+1+αi+1f和yi+1=αi+1f-αi，可得xi+1=ei+1+αi+yi+1。存在未知連續(xù)函數(shù)如下

(31)

定義如下緊集

(32)

(33)

注意由式(4)可得

(34)

(35)

第n步 沿en=xn-αn對en求導(dǎo)可得

(36)

將式(5)、式(12)代入式(36)可得

(37)

構(gòu)造實際控制器u以及自適應(yīng)律為

u=N()[Gn,mknen+α·nftanh(enα·nf/υn)+

ntanh(en/υn)] (38)

(39)

(40)

(41)

注意由式(4)可得

(42)

(43)

定理1考慮式(1)一類純反饋非線性系統(tǒng)，設(shè)計虛擬控制律αi為式(16)、式(27)；實際控制器u為式(38)，以及自適應(yīng)律為式(17)、式(28)和式(40)，使得閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局一致終結(jié)有界，并且通過選擇適當?shù)脑O(shè)計參數(shù)，系統(tǒng)輸出趨于給定參考軌跡的一個小鄰域。

證明定義Lyapunov函數(shù)為

(44)

對V求導(dǎo)可得

(45)

(46)

代入控制律和自適應(yīng)律，在式(46)的右邊同時加

減并根據(jù)引理2可得V·≤-ni=1kiGi,me2i+Gn,MkN()++ni=1Gi,mσi(θ～iθ^i+Φ～nΦ^n)+

(47)

V·≤-ni=1kiGi,me2i+ni=2-y2iτi+yiMi +Gn,MkN() + +

(48)

由Young不等式可得

(49)

將式(49)代入式(48)可得

n-1i=2-kiGi,m-Gi,M-12c2 e2i +C1+Gn,MkN() + (50)

n-1i=1ω1y2i+1+Gn,MkN() + + C1(51)

利用式(44)，可將式(51)改寫為

V·≤-C2V+C1+Gn,MkN()+ (52)

對式(52)兩邊積分，然后化簡得

V(t)≤(V(0)-C1/C2)e-C2t+C1/C2+

在區(qū)間[0,tf)上有界，由此，令

∫t0Gn,MkN()+1 e-C2(t-τ)dτ≤M(54)

則由式(53)和式(54)可得

V(t)≤V(0)+C3+M

(55)

θ^,e和均為半全局一致終結(jié)有界。

由式(44)和式(55)可得

(56)

因此，可以通過調(diào)節(jié)設(shè)計參數(shù)使得系統(tǒng)輸出趨近于期望軌跡的一個小鄰域內(nèi)。

3 仿真分析

考慮如下純反饋非線性系統(tǒng)

(57)

(58)

由式(58)可以看出，f2(x,v(u))關(guān)于u是不連續(xù)的。非線性死區(qū)模型為

(59)

選取Nussbaum函數(shù)為N( )=e cos(π/2)。 仿真結(jié)

果如圖1～圖5所示。閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局一致終結(jié)有界，并且跟蹤誤差可收斂到原點附近的一個小鄰域內(nèi)。

圖1 跟蹤誤差e1Fig.1 Tracking error e1

圖2 期望軌跡yd和系統(tǒng)輸出yFig.2 Reference trajectory yd and system output y

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)變量x2Fig.3 System state variable x2

圖4 控制輸入uFig.4 Control input u

圖5 自適應(yīng)參數(shù)1和2Fig.5 Adaptive parameters 1and2

4 結(jié)束語

本文研究了一類非仿射函數(shù)不連續(xù)的純反饋非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題。與以往文獻相比，取消了非仿射函數(shù)的連續(xù)條件，可以被應(yīng)用于更廣泛的一類純反饋系統(tǒng)。本文進一步研究的方向是在狀態(tài)不可測條件下設(shè)計非線性系統(tǒng)的觀測器。