李 博，趙 鵬，宋文波

(北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044)

高速鐵路票額分配是根據(jù)預(yù)測(cè)的客流需求將列車固定的席位能力分配到列車沿途各乘降站的運(yùn)輸計(jì)劃，合理的票額分配計(jì)劃能夠滿足旅客的出行需求，提高列車的能力利用率[1]。然而，客流需求具有一定的隨機(jī)性和時(shí)變性，很難準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，可能導(dǎo)致制定的票額分配方案對(duì)實(shí)際需求的適應(yīng)性降低，而且鐵路部門在進(jìn)行票額分配決策時(shí)，面對(duì)不確定的客流需求通常具有一定的風(fēng)險(xiǎn)決策偏好，因此研究不確定需求下的考慮鐵路部門風(fēng)險(xiǎn)決策的票額分配方案對(duì)于提高票額分配方案的可靠性具有重要意義，并且更能滿足實(shí)際需求。

針對(duì)票額分配問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了深入的研究。文獻(xiàn)[1]定性研究了收益管理在票額分配中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[2]在客流需求已知的情況下，通過(guò)設(shè)計(jì)基于客車開行方案的換乘網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)平衡態(tài)研究了以人公里數(shù)為最大化的票額分配方法。文獻(xiàn)[3]假設(shè)各OD客流需求服從獨(dú)立正態(tài)分布，以期望收益最大化為目標(biāo)研究了單列車、多區(qū)段、單一票價(jià)下的列車席位控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[4]在各OD客流需求服從獨(dú)立正態(tài)分布的基礎(chǔ)上，以期望收益最大化為目標(biāo)研究了多等級(jí)票價(jià)、多區(qū)段、單列車的票額分配問(wèn)題。文獻(xiàn)[5]假設(shè)各OD需求服從非齊次泊松過(guò)程，以期望收益最大化為目標(biāo)研究了旅客選擇行為下的票額分配方法。文獻(xiàn)[6]在短時(shí)需求預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上，以期望收益最大化為目標(biāo)研究了高速鐵路票額分配問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]假設(shè)各OD客流需求服從正態(tài)分布，以期望收益最大化為目標(biāo)研究了考慮通售席位的單列旅客列車票額分配方法。文獻(xiàn)[8]將客流需求預(yù)測(cè)模型嵌入票額分配模型中，以期望收益最大化為目標(biāo)研究了隨機(jī)需求下的單列車票額分配方法。文獻(xiàn)[9]在客流需求預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上，以期望收益最大化為目標(biāo)研究了單列車的票額智能分配方法。文獻(xiàn)[10—11]在假設(shè)各OD客流需求服從獨(dú)立正態(tài)分布的基礎(chǔ)上，以期望收益最大化為目標(biāo)分別研究了多停站和考慮旅客旅行時(shí)間的多列車票額分配方法。文獻(xiàn)[12]在需求模擬的情況下，以期望收益最大化為目標(biāo)研究了列車發(fā)車間隔與票額分配綜合優(yōu)化模型。但是既有文獻(xiàn)主要集中在對(duì)單列車的票額分配研究中，通常以鐵路部門期望收益最大化為目標(biāo)，且為隨機(jī)期望值模型，由于期望值模型可能無(wú)法滿足實(shí)際的決策需要[13]，因此既有模型難以反映鐵路部門在票額分配決策時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。在實(shí)際決策過(guò)程中，鐵路部門面對(duì)不確定的需求環(huán)境，通常會(huì)有一定的風(fēng)險(xiǎn)偏好，以防止所確定的票額分配方案與實(shí)際需求相差過(guò)大，導(dǎo)致大量的票額調(diào)整工作。

根據(jù)對(duì)既有研究情況的分析，本文在考慮客流需求的不確定性和鐵路部門風(fēng)險(xiǎn)決策態(tài)度的基礎(chǔ)上，以鐵路部門收益最大化為目標(biāo)，構(gòu)建高速鐵路多列車票額分配的機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型，利用不確定性理論和方法將模型轉(zhuǎn)化為確定的等價(jià)類模型進(jìn)行求解，最后通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證模型的有效性。

1 問(wèn)題的提出

1.1 鐵路部門風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度

在進(jìn)行票額分配時(shí)需要對(duì)各OD客流需求進(jìn)行預(yù)測(cè)，由于客流需求具有隨機(jī)性，當(dāng)預(yù)測(cè)的客流需求不準(zhǔn)確時(shí)，所得到的票額分配方案可能不滿足實(shí)際需求，從而導(dǎo)致大量的票額調(diào)整工作及列車席位能力的浪費(fèi)，因此在實(shí)際決策中需要考慮票額分配方案的可靠性。既有模型中通常假設(shè)各OD需求服從獨(dú)立正態(tài)分布，并且在對(duì)隨機(jī)需求進(jìn)行處理時(shí)，通常使用其期望值進(jìn)行計(jì)算，難以反映鐵路部門的風(fēng)險(xiǎn)決策態(tài)度。鐵路部門根據(jù)預(yù)測(cè)的客流需求進(jìn)行決策時(shí)，由于決策者的性格和對(duì)需求認(rèn)知的不同，通常具有不同的風(fēng)險(xiǎn)取向。風(fēng)險(xiǎn)取向通常分為3類：風(fēng)險(xiǎn)趨向型、風(fēng)險(xiǎn)中立型和風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型[14]。當(dāng)決策者為風(fēng)險(xiǎn)趨向型時(shí)，通常會(huì)做最好的打算，認(rèn)為需求情況更好，要大于期望需求，將會(huì)使鐵路席位能力盡可能地滿足需求，然而實(shí)際需求情況并非如此，所以得到的方案對(duì)實(shí)際需求的適應(yīng)性較低；當(dāng)決策者為風(fēng)險(xiǎn)中立型時(shí)，認(rèn)為客流需求為隨機(jī)需求的均值，而不考慮需求的不確定性，所得到的方案對(duì)實(shí)際需求的適應(yīng)性也不高；當(dāng)決策者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型時(shí)，則會(huì)利用部分席位能力來(lái)滿足預(yù)測(cè)的需求，剩余能力用于應(yīng)對(duì)需求的波動(dòng)，此時(shí)得到的方案對(duì)實(shí)際需求的適應(yīng)性會(huì)更高。在不確定理論中，隨機(jī)變量除了使用期望值和方差外，還可以使用樂(lè)觀值和悲觀值來(lái)度量，其中α樂(lè)觀值和α悲觀值的定義如式(1)和式(2)所示。

定義1：設(shè)ξ為一隨機(jī)變量，且α∈(0,1]，則有

ξsup(α)=sup{r|Pr{ξ≥r}≥α}

(1)

式中：ξsup(α)為ξ的α樂(lè)觀值；Pr為概率測(cè)度。

從定義1中可以看出，隨機(jī)變量ξ至少以概率α大于或等于α樂(lè)觀值ξsup(α)。

定義2：設(shè)ξ為一隨機(jī)變量，且α∈(0,1]，則有

ξinf(α)=inf{r|Pr{ξ≤r}≥α}

(2)

式中：ξinf(α)為ξ的α悲觀值。

從定義2中可以看出，隨機(jī)變量ξ至少以概率α小于或等于α悲觀值ξinf(α)。

α樂(lè)觀值和α悲觀值所對(duì)應(yīng)的置信水平α可以代表鐵路決策者的風(fēng)險(xiǎn)決策偏好程度[13]，因此可以采用不確定理論中的機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型來(lái)研究鐵路部門在一定置信水平下的票額分配方案，以更好地適應(yīng)實(shí)際情況。

1.2 票額分配

在客票預(yù)售期前，列車有限的席位能力可以分配給不同OD的客流需求，不同的票額分配方案將會(huì)產(chǎn)生不同的收益。圖1為1個(gè)高鐵列車的停站方案，列車停靠A，B，C 3個(gè)車站，票額分配方案就是將列車的席位能力分配到AB，AC，BC 3個(gè)OD上以達(dá)到收益最大化的目的。假設(shè)列車的定員為600人，不考慮列車超員的情況，各OD的客流需求和票價(jià)如表1所示。

圖1 列車停站方案

OD客流需求/人票價(jià)/元AB300100AC600230BC300150

根據(jù)表1中各OD客流需求及列車席位能力，可以得到不同的票額分配可行方案，表2中給出了幾種可行方案。方案1，方案2和方案3收益分別為13.8萬(wàn)元、14.4萬(wàn)元和14.2萬(wàn)元?？梢?jiàn)，不同的票額分配方案將會(huì)產(chǎn)生不同的收益，因此在現(xiàn)有列車席位能力下，票額分配方案對(duì)提高鐵路部門收益具有重要意義。然而，列車的席位能力不僅可以分配至不同的OD，還可以設(shè)置為通售票來(lái)應(yīng)對(duì)客流需求的波動(dòng)[7]。當(dāng)實(shí)際的客流需求與制定票額分配方案時(shí)的需求相差較大時(shí)，需要現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行票額調(diào)整，而目前票額調(diào)整工作主要依據(jù)人工經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行，效果不明顯[8]，因此制定可靠性更高的票額分配方案具有重要的實(shí)際意義。

表2 票額分配方案

2 模型構(gòu)建

假設(shè)某高鐵線路上有m個(gè)車站，區(qū)段h=1,2,…,m-1；(i,j)表示從i站到j(luò)站的OD對(duì)，i=1,2,…,m-1，j=i+1,2,…,m；pij表示OD對(duì)(i,j)的票價(jià)；k表示線路上運(yùn)行的列車，列車集合用K表示；Ckh表示列車k在區(qū)段h上的席位能力，在不考慮列車超員的情況下，列車在各區(qū)段上的席位能力相同，為列車的定員Ck；τkij表示列車k是否在i站和j站都停站，如果是則取值為1，否則為0，其值由列車的停站方案決定；xkij表示列車k在OD對(duì)(i,j)上分配的票額數(shù)量，其為決策變量。另外，未被分配出去的票額由實(shí)際工作經(jīng)驗(yàn)決定，本文不考慮未被分配的票額產(chǎn)生的收益。

根據(jù)文獻(xiàn)[3]，本文假設(shè)OD對(duì)(i,j)的客流需求dij服從獨(dú)立正態(tài)分布，相應(yīng)的概率密度函數(shù)fij如式(3)所示，其為隨機(jī)變量，相比既有文獻(xiàn)中采用隨機(jī)需求的期望值進(jìn)行計(jì)算。本文采用不確定性理論中隨機(jī)變量α的樂(lè)觀值來(lái)處理隨機(jī)需求，以得到更加可靠的滿足實(shí)際需求的票額分配方案。

(3)

式中：μij和σij分別為正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

由于客流需求的隨機(jī)波動(dòng)性，在考慮鐵路部門風(fēng)險(xiǎn)決策態(tài)度時(shí)，多列車的票額分配模型如下。

目標(biāo)函數(shù)：通過(guò)確定各列車在各OD上分配的票額數(shù)，使得鐵路部門的收益達(dá)到最大，即

(4)

對(duì)高鐵線路上列車進(jìn)行票額分配時(shí)，需滿足以下約束。

(1)能力約束：列車在各OD分配的票額不能超過(guò)列車在各區(qū)段的席位能力Ckh。

(5)

(2)決策變量的上下限約束：所有列車分配給各OD的票額數(shù)量不能超過(guò)各OD的客流需求且不能為負(fù)數(shù)?？紤]到客流需求的不確定性，采用機(jī)會(huì)約束規(guī)劃思想，將滿足客流需求的約束表示為客流需求得到滿足的機(jī)會(huì)達(dá)到一定的置信水平，以獲得對(duì)實(shí)際需求適應(yīng)性更高的票額分配方案，即

(6)

(3)列車服務(wù)約束：列車只服務(wù)停站之間的OD，即只在停站間的OD上分配票額為

(7)

(4)決策變量約束：列車分配的票額必須為整數(shù)，即

xkij∈Z

(8)

式(4)—式(8)構(gòu)成了不確定需求下的高速鐵路多列車票額分配隨機(jī)機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型，求解上述模型可得到各列車的票額分配方案，即xkij的值。

3 模型求解

(9)

當(dāng)且僅當(dāng)

(10)

將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布形式：

(11)

即

(12)

式中：Φ-1(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)的反函數(shù)，通過(guò)查閱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布獲得Φ-1(1-αij)的值，由此約束條件(6)轉(zhuǎn)化為：

(13)

除了約束條件(6)轉(zhuǎn)化為約束(13)外，其他約束條件和目標(biāo)函數(shù)保持不變，本文所構(gòu)建的機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為確定性的線性整數(shù)規(guī)劃模型M1，利用Lingo 12.0求解軟件對(duì)模型M1進(jìn)行求解，可得到各列車的票額分配方案。

4 案例分析

4.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

圖2 京滬高鐵線路及列車停站方案

上車站下車站票價(jià)/元需求/人標(biāo)準(zhǔn)差上車站下車站票價(jià)/元需求/人標(biāo)準(zhǔn)差北京南廊坊 29.57134.3濟(jì)南西泰安 24.54913.3北京南滄州西 94.59541.4濟(jì)南西曲阜東 59.5246.3北京南德州東 144.53010.5濟(jì)南西棗莊 99.5188.6北京南濟(jì)南西 184.536437.5濟(jì)南西徐州東 129.54721.2北京南泰安 214.06626.4濟(jì)南西宿州東 164.530.7北京南曲阜東 244.04031.5濟(jì)南西南京南 279.0228.7北京南棗莊 284.01811.1濟(jì)南西鎮(zhèn)江南 304.074.7北京南徐州東 309.015348.7濟(jì)南西常州北 334.042.8北京南宿州東 339.0115.7濟(jì)南西蘇州北 364.0158.1北京南南京南 443.5886128.0濟(jì)南西上海虹橋398.56929.1北京南鎮(zhèn)江南 468.54914.8泰安 曲阜東 29.500.0北京南常州北 493.57110.4泰安 棗莊 74.552.4北京南蘇州北 523.534151.8泰安 徐州東 104.5199.1

續(xù)表3 各OD參數(shù)值

4.2 票額分配方案

在各OD客流需求置信水平均為90%的條件下，利用Lingo 12.0求解線性整數(shù)規(guī)劃模型M1，得到G101，G5，G105和G11的票額分配方案分別如表4、表5、表6和表7所示。

4.3 靈敏度分析

在求解模型時(shí)客流需求約束的置信水平αij為預(yù)先設(shè)定的，不同的置信水平表示各OD分配的票額數(shù)對(duì)需求的滿足程度以及鐵路部門決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。為研究不同置信水平的取值對(duì)票額分配的影響，即鐵路部門風(fēng)險(xiǎn)決策態(tài)度對(duì)票額分配的影響，本文設(shè)定αij分別為10%，20%，…，90%，對(duì)模型進(jìn)行求解，得到的鐵路收益如表8所示。借鑒文獻(xiàn)[10]，在相同的客流需求下，以現(xiàn)有的先客流分配再票額分配的方法作為對(duì)比方案，在與本文方案相同的置信水平下得到的鐵路收益如表8所示。

表4 G101票額分配方案

表5 G5票額分配方案

表6 G105票額分配方案

續(xù)表6 G105票額分配方案

表7 G11票額分配方案

表8 不同置信水平下的鐵路收益

5 結(jié) 論

(1)通過(guò)分析鐵路部門風(fēng)險(xiǎn)決策態(tài)度，引入隨機(jī)變量的α樂(lè)觀值對(duì)鐵路部門的風(fēng)險(xiǎn)決策態(tài)度進(jìn)行定量化刻畫，并在分析票額分配方案意義的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了高速鐵路多列車票額分配問(wèn)題的隨機(jī)機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型。通過(guò)不確定規(guī)劃理論將所構(gòu)建的模型轉(zhuǎn)化為確定性線性整數(shù)規(guī)劃模型，并利用Lingo 12.0優(yōu)化軟件進(jìn)行求解。

(2)以京滬高鐵列車為例研究了鐵路部門風(fēng)險(xiǎn)決策態(tài)度對(duì)票額分配的影響。結(jié)果顯示，在實(shí)際售票過(guò)程中必須考慮客流需求的不確定性，選取合理的置信水平以獲得較優(yōu)的票額分配方案。

(3)本文僅研究了同一高鐵線路上列車的票額分配方案，未來(lái)將進(jìn)一步研究高鐵網(wǎng)絡(luò)的票額分配方案。