張華 萬明非 顏青 楊偉

(1.重慶理工大學(xué) 理學(xué)院, 重慶 400054) (2.銅仁學(xué)院 大數(shù)據(jù)學(xué)院, 銅仁 554300)

引言

網(wǎng)絡(luò)型調(diào)和振子系統(tǒng)來源于由阻尼、 彈簧和質(zhì)量構(gòu)成的一種耦合力學(xué)模型.二階網(wǎng)絡(luò)型調(diào)和振子模型如下所示[1]:

(1)

(2)

其中ui(t)=-aij(vi(t)-vj(t)),i=1,2,…,N,表示對(duì)對(duì)第i個(gè)振子的控制輸入.Ballard等對(duì)模型(2)進(jìn)行了離散模化處理,并提出了一個(gè)離散時(shí)間下的控制輸入?yún)f(xié)議[2].Su等利用振子間感應(yīng)距離的概念,通過建立適當(dāng)?shù)目刂戚斎胧沟妹總€(gè)振子在沒有任何連通假設(shè)下仍能達(dá)到同步[3].Zhang等利用平均速度的概念在無法測(cè)量速度的情況下用位移耦合代替速度耦合分析了調(diào)和振子系統(tǒng)的同步[4].

在現(xiàn)實(shí)世界復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中,系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不可能一直都保持不變,并且不是所有的系統(tǒng)都是同構(gòu)系統(tǒng).此外,外界各種因素對(duì)系統(tǒng)的干擾可能造成諸如通信阻隔、通信延遲、控制輸入缺失、參數(shù)擾動(dòng)以及傳輸誤差等多方面的問題.為此,孫一杰等分析了異構(gòu)多智能體在有向圖下的廣義平均一致性,利用非負(fù)矩陣?yán)碚摵吞卣髦禂_動(dòng)等方法,提出了一種基于輔助變量的線性一致性協(xié)議使得系統(tǒng)能在任意強(qiáng)連通有向結(jié)構(gòu)下達(dá)到一致[5].Zhang等利用采樣控制技術(shù)研究了耦合調(diào)和振子系統(tǒng)具有控制輸入缺失的情況,通過建立誤差系統(tǒng)求出系統(tǒng)的迭代解,然后通過分析迭代矩陣的范數(shù)得到了系統(tǒng)一致的充分條件[6].Zhou等利用脈沖控制技術(shù)分析了二階調(diào)和振子系統(tǒng)的脈沖一致性,通過建立相應(yīng)的誤差系統(tǒng),利用矩陣譜分析的方法得到了系統(tǒng)的穩(wěn)定所需要滿足的充分條件[7].Zhou在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上分析了具有輸入時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)型調(diào)和振子系統(tǒng)的采樣同步問題[8].Sun等在不考慮控制輸入缺失的情況下將文獻(xiàn)[6]中的無向圖推廣到有向圖情形,并分析了時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)同步性能的影響[9].此外,Sun等還分析了具有隨機(jī)擾動(dòng)的阻尼器的調(diào)和振子系統(tǒng)[10],通過建立隨機(jī)李雅普諾夫方程來得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件.Wang基于脈沖控制技術(shù),在振子耦合瞬間加入了測(cè)量誤差,利用均方收斂的概念得到了系統(tǒng)同步的充分條件,并給出了系統(tǒng)的收斂域[11].

值得注意的是以上研究都是基于系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖是連通的(拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為無向圖)或是有一棵有向生成樹(拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為有向圖)的假設(shè)條件下討論的.然而,在實(shí)際應(yīng)用中由于各種外界因素的影響,系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)無法固定不變,并且每一時(shí)刻都能保持網(wǎng)絡(luò)連通的條件也十分苛刻.所以在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為切換拓?fù)浠蚵?lián)合連通的情況下分析系統(tǒng)的同步性是有科學(xué)意義的.例如,唐朝君分析了切換拓?fù)湎码x散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的包含控制[12].Hong等分析了二階多智能體系統(tǒng)在聯(lián)合連通下的引導(dǎo)跟隨同步問題[13].Lin等在沒有引導(dǎo)者的情況下分析了二階多智能體的同步問題,并考慮了時(shí)間延遲對(duì)系統(tǒng)的影響[14].Mo等分析了異構(gòu)的多智能體系統(tǒng)在聯(lián)合連通下的引導(dǎo)跟隨同步[15].Yu和Mu在自適應(yīng)控制的情況下考慮了多智能體系統(tǒng)在聯(lián)合連通下的引導(dǎo)跟隨同步[16,17]. Wang在具有層次結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)中分析了聯(lián)合連通下的引導(dǎo)跟隨同步[18].然而,迄今就作者所知鮮有關(guān)于網(wǎng)絡(luò)型調(diào)和振子系統(tǒng)在聯(lián)合連通下的同步問題的研究報(bào)道.為此,我們?cè)诒疚闹蟹治隽司W(wǎng)絡(luò)型調(diào)和振子在聯(lián)合連通下的引導(dǎo)跟隨同步動(dòng)力學(xué).

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 符號(hào)說明

1.2 代數(shù)圖論

令G=(ν,ε,A)表示一個(gè)圖,ν={1,2,…,N} 代表圖的頂點(diǎn)集,ε?ν×ν是圖的邊集.如果對(duì)i≠j,(i,j)∈ε都有(j,i)∈ε,則圖G稱為無向圖,反之為有向圖.矩陣A=[aij]N×N表示圖的鄰接矩陣,其中aij>0當(dāng)且僅當(dāng)(i,j)∈ε.稱一個(gè)由圖中邊構(gòu)成的序列(i,i1),(i1,i2),…,(il,j) 為點(diǎn)i到j(luò)的一條路徑.如果圖中任意兩個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)之間至少存在一條路徑則稱該圖為連通圖.

2聯(lián)合連通下耦合調(diào)和振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的引導(dǎo)-跟隨同步

令r0(t),v0(t)分別表示引導(dǎo)者的位置和速度,其動(dòng)力學(xué)方程如下:

(3)

下面對(duì)系統(tǒng)(2)考慮如下控制輸入?yún)f(xié)議:

(4)

則系統(tǒng)(2)可以寫成如下微分方程組形式:

(5)

假設(shè)1存在一個(gè)非空有界且有限的互不相交的連續(xù)時(shí)間序列[tk,tk+1),k=0,1,…,t0=0,對(duì)某一特定常數(shù)T>0,有tk+1-tk≤T.對(duì)每個(gè)區(qū)間[tk,tk+1),都存在一個(gè)互不相交的子區(qū)間列[tk0,tk1),[tk1,tk2),…,[tkj-1,tkj),tk0=tk,tkj=tk+1滿足tki-tki-1≥τ,i=1,2,…,j,在每個(gè)[tki-1,tki)子區(qū)間上系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變,只在在tki時(shí)刻改變.即切換信號(hào)σ滿足當(dāng)t∈[tki-1,tki),存在p∈p,使得

σ(t)≡p且σ(tki)≠σ(tki-1).

假設(shè)2在每一個(gè)區(qū)間[tk,tk+1)上系統(tǒng)所有可能的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是聯(lián)合連通的.

定理1帶有引導(dǎo)者的調(diào)和振子系統(tǒng)在控制輸入(4)下能夠達(dá)到同步,如果假設(shè)1和假設(shè)2成立.

證明令誤差函數(shù)e(t)=r(t)-r0(t)1N,s(t)=v(t)-v0(t)1N,x(t)=[eT(t),sT(t)]T,則:

(6)

記:

(7)

根據(jù)同步的定義,系統(tǒng)(5)同步等價(jià)于系統(tǒng)(6)的零解是漸近穩(wěn)定的.

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù):

V(x(t))=xT(t)Qx(t)

(8)

Hσ(tk1)+Hσ(tk2)+…+Hσ(tkj)>0

如果:

則有:

sT(Hσ(tk1)+Hσ(tk2)+…+Hσ(tkj))s=0,

即:

Hσ(t)s(t)=0,t∈[tk,tk+1).

下面證明M中只有(6)的零解. 由于M為系統(tǒng)(6)的不變集,即M中的元素為(6)的解,且M?S,則?x(t)∈M,有:

該系統(tǒng)通解為:

(9)

由Hσ(tk1)+Hσ(tk2)+…+Hσ(tkj)的正定性,要使sT(Hσ(tk1)+Hσ(tk2)+…+Hσ(tkj))s=0恒成立,需s(t)≡0.所以要使x(t)∈M,需有s(0)=0.

不妨設(shè)e(0)≠0,那么存在一個(gè)1≤q≤N使得eq(0)=c≠0,那么方程(7)的第q個(gè)系統(tǒng)有如下解:

(10)

3 數(shù)值模擬

引導(dǎo)者初值r0(0)=1,v0(0)=1.系統(tǒng)在這3種切換方式下隨機(jī)切換情況下,系統(tǒng)的位移和速度狀態(tài)的時(shí)間歷程仿真結(jié)果如圖2、圖3所示.

圖1 三個(gè)聯(lián)合連通網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Three jointly-connected network topologies

圖2 引導(dǎo)者-跟隨者的位移狀態(tài)時(shí)間歷程曲線圖,*表示切換時(shí)刻引導(dǎo)者的位置Fig.2 Time response of the position states of the leader-follower system,where the asterisks * show the position states of the leader at the switching instants

圖3 引導(dǎo)者-跟隨者的速度狀態(tài)的時(shí)間歷程曲線,*表示切換時(shí)刻引導(dǎo)者的速度狀態(tài)Fig.3 Time response of the velocity states of the leader-follower system,where the asterisks * show the velocity states of the leader at the switching instants

4 結(jié)論

本文在系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有聯(lián)合連通特性這一假設(shè)條件下,分析了網(wǎng)絡(luò)型調(diào)和振子系統(tǒng)的引導(dǎo)-跟隨同步問題,在無向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下證明了所有的跟隨者狀態(tài)最終與引導(dǎo)者保持一致.數(shù)值模擬也進(jìn)一步驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.對(duì)于沒有引導(dǎo)者的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),其同步軌道與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的切換方式有關(guān)系,其準(zhǔn)確解析表達(dá)式目前我們還沒有一個(gè)確切的算法能夠算出,希望在后續(xù)研究中給出相關(guān)結(jié)果.