陳小雙（浙江省樂清中學(xué)，浙江 溫州 325600）

留白是一種智慧，也是一種境界［1］。在高中教學(xué)中教師應(yīng)善于深度解讀教材，抓住與文本有密切聯(lián)系的“留白”挖掘教材中的言而未盡之處，依托找準(zhǔn)訓(xùn)練點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)情境，讓補(bǔ)白在其間靈動(dòng)生成，以豐富課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生思維的火花，培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造潛能。教材中蘊(yùn)含著許許多多意猶未盡的“留白”，這些“留白”是教學(xué)中最能激發(fā)學(xué)生思維的想像點(diǎn)?！傲舭住笔情_啟學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新的有效途徑。那么如何巧妙地去挖掘教材留白？我的做法是在教材留白處學(xué)補(bǔ)白，在教材留白處再挖掘。

一、在教材留白處學(xué)補(bǔ)白

在人教版高中數(shù)學(xué)必修第6頁上，教材為我們簡單地證明了余弦定理：

利用基底的方法將某一邊拆成另外兩邊

兩邊平方求模長

化簡得，A a2=b2+c2-bccos2

教材留白寫著：“在這個(gè)證明中，我們感到的向量運(yùn)算的威力”。它是解決數(shù)學(xué)問題的一種有力工具，向量集數(shù)形于一體，溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)。向量具有一套完整地運(yùn)算，所以向量的威力無限。我們可以實(shí)際上這里的向量的威力是指向量的基底方法的威力，同時(shí)我們可以明確拆向量［基底方法］的基本原則1：拆成同起點(diǎn) ；原則2：拆成向量的模長確定。而學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中可能還沒深刻體驗(yàn)向量的威力，所以在教學(xué)中我們應(yīng)該為這停留

【例1】平面四點(diǎn)A，B，C，D滿足

二、在教材留白處再挖掘

我們已知三角形三邊利用余弦定理可以求三角形的內(nèi)角的余弦值，也可以利用余弦定理求平面向量的夾角，那么很自然的一個(gè)想法：利用空間余弦定理（對(duì)棱夾角公式）能否求異面直線所成角的余弦值

利用同樣的方法，我們可以得到空間余弦定理：空間有四點(diǎn)A、B、C、D

通過上述過程，我們得到在空間/平面四邊形中對(duì)棱向量的一組公式：

記憶方法：看四個(gè)字母，依次為ACBD兩邊和中間的AD,CB是平方之后符號(hào)為+，交叉的AB,CD為-；需要利用余弦定理來推導(dǎo)，所以除以2；

【例2】空間四點(diǎn)A，B，C，D滿足

高考真題兩道題和2016的模擬題我們可以來對(duì)比一樣的翻折問題，一樣求異面直線所成角，一樣的方法、一樣的答案。不過要注意，異面直線的夾角相對(duì)比較簡單，我們利用平移+余弦定理、建系+向量等方法均可以求得，以上只是給出向量法的另一種結(jié)論形式；掌握該方法，也可以實(shí)現(xiàn)在向量題中比較廣泛的應(yīng)用。

綜上，我們可以發(fā)現(xiàn)，利用空間余弦定理可以講夾角問題快速地轉(zhuǎn)化為邊長問題，可以很方便進(jìn)行運(yùn)算，秒殺一類空間異面直線的夾角問題。這就是教材留白的深度挖掘帶來的福利，教材留白，充分體現(xiàn)了新課程的新理念，展示了新教材的新面孔。教師要將這些教材的優(yōu)勢(shì)化為成功的勝勢(shì)，把新教材中的“亮點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為燭照學(xué)生心靈的陽光。