王守磊 安桂榮 耿站立 張 偉

(1. 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京) 北京 100083； 2. 中海油研究總院有限責(zé)任公司 北京 100028)

區(qū)域聯(lián)合開(kāi)發(fā)是海上油田群一種重要的開(kāi)發(fā)模式[1-3]，已廣泛應(yīng)用于南海油田群的開(kāi)發(fā)。南海油田群主要為海相沉積，天然能量充足，單井產(chǎn)液量高，進(jìn)入高含水期后需要提高單井產(chǎn)液量維持油田群穩(wěn)產(chǎn)，而油田群的工程設(shè)施能力有限，不能滿(mǎn)足所有油井的提液要求，同時(shí)工程設(shè)施擴(kuò)容改造成本大，因此，需要在現(xiàn)有工程設(shè)施約束下合理分配油井產(chǎn)液量，優(yōu)化油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)油田群的高效開(kāi)發(fā)。目前產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究中多以考慮地質(zhì)油藏因素為主，涉及工程設(shè)施約束較少[4-5]。雖有部分學(xué)者對(duì)考慮工程設(shè)施約束情況下的產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化進(jìn)行了研究，但局限于單個(gè)時(shí)間步內(nèi)的優(yōu)化，限制了礦場(chǎng)實(shí)際應(yīng)用[6-8]。

本文考慮各個(gè)平臺(tái)及整個(gè)油田群生產(chǎn)設(shè)施處理和外輸能力，建立了海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型，通過(guò)增廣拉格朗日函數(shù)法和G-SPSA算法，實(shí)現(xiàn)了海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型求解，并在實(shí)際油田群礦場(chǎng)應(yīng)用中取得了良好效果。

1 海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型建立

1.1 單井開(kāi)發(fā)指標(biāo)預(yù)測(cè)

產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程中根據(jù)單井的產(chǎn)油量和產(chǎn)水量等數(shù)據(jù)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，所以產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化的關(guān)鍵問(wèn)題是單井開(kāi)發(fā)指標(biāo)預(yù)測(cè)。單井開(kāi)發(fā)指標(biāo)預(yù)測(cè)方法主要有油藏工程方法和油藏?cái)?shù)值模擬方法，其中油藏工程方法因操作簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高而被廣泛應(yīng)用。水驅(qū)特征曲線(xiàn)是一種常用的預(yù)測(cè)開(kāi)發(fā)指標(biāo)的油藏工程方法[9-12]，張金慶提出的廣適水驅(qū)特征曲線(xiàn)能夠表征各種類(lèi)型油藏含水率上升規(guī)律，適用于油藏開(kāi)發(fā)的全過(guò)程[13-14]。本文采用廣適水驅(qū)特征曲線(xiàn)對(duì)單井開(kāi)發(fā)指標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)，其表達(dá)式為

(1)

式(1)中：Np為累積產(chǎn)油量，104m3；Wp為累積產(chǎn)水量，104m3；a、q和NR為廣適水驅(qū)特征曲線(xiàn)參數(shù)，通過(guò)擬合歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù)可以得到。

單井開(kāi)發(fā)指標(biāo)預(yù)測(cè)主要分為兩步：①選取具有代表性的歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù)，確定廣適水驅(qū)特征曲線(xiàn)；②基于廣適水驅(qū)特征曲線(xiàn)，預(yù)測(cè)不同時(shí)間步的產(chǎn)油量和產(chǎn)水量。這里主要介紹第2步的方法原理。

1) 給定一個(gè)累產(chǎn)油量增量ΔNp，則此時(shí)的累積產(chǎn)油量為

Np=Np0+ΔNp

(2)

2) 利用下式計(jì)算對(duì)應(yīng)的累積產(chǎn)水量：

(3)

得到相應(yīng)的累積產(chǎn)水量增量ΔWp為

ΔWp=Wp-Wp0

(4)

3) 計(jì)算累積產(chǎn)液量增量ΔLp為

ΔLp=ΔNp+ΔWp

(5)

重復(fù)以上步驟即可得到不同油井在不同時(shí)間步的產(chǎn)油量和產(chǎn)水量。

1.2 產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型建立

海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化就是在給定的調(diào)控時(shí)間步數(shù)內(nèi)，在平臺(tái)處理和外輸能力一定的情況下，通過(guò)優(yōu)化調(diào)整各油井的產(chǎn)液量，使得油藏的累積產(chǎn)油量或者凈現(xiàn)值最大化。以?xún)衄F(xiàn)值(NPV)最大化作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，即

MaximizeJ(u)=

(6)

1.3 約束條件

海上油田群采用區(qū)域聯(lián)合開(kāi)發(fā)時(shí)，油井產(chǎn)出液經(jīng)過(guò)自身平臺(tái)的外輸管線(xiàn)先輸送到中心平臺(tái)進(jìn)行液處理，中心平臺(tái)再將處理后的原油通過(guò)管線(xiàn)外輸?shù)疥懙?。由于生產(chǎn)設(shè)施能力的局限性，海上油田群開(kāi)發(fā)時(shí)受到的約束條件包括以下幾類(lèi)。

1) 單井邊界約束。

油田實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，由于泵排量限制，單井的產(chǎn)液量受到一定的約束，這屬于邊界約束。

(7)

處理邊界約束最常見(jiàn)的方法包括截?cái)喾ê蛯?duì)數(shù)變換法，此次研究主要采用對(duì)數(shù)變換法。通過(guò)對(duì)數(shù)變換，可使邊界約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，其變換公式為

(8)

式(8)中：xi為變換后控制變量。

求解過(guò)程中，優(yōu)化方法每次迭代都是在變換后的對(duì)數(shù)域上進(jìn)行。當(dāng)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)時(shí)，需要將控制變量轉(zhuǎn)換到原域，其變換公式為

(9)

2) 平臺(tái)外輸約束。

采油平臺(tái)上油井產(chǎn)液量受外輸管線(xiàn)約束，存在一定上限。對(duì)于任意一個(gè)平臺(tái)上的油井，其產(chǎn)液量之和要小于平臺(tái)的外輸能力，即

(10)

3) 中心平臺(tái)液處理約束。

采出液通過(guò)采油平臺(tái)外輸?shù)街行钠脚_(tái)，由于中心平臺(tái)的液處理設(shè)施能力是有限的，因此所有油井的產(chǎn)液量之和要小于中心平臺(tái)的液處理能力，即

(11)

第2類(lèi)和第3類(lèi)約束的實(shí)質(zhì)是等式約束或者不等式約束，因此，海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可以表示為

MaximizeJ(u)

(12)

s.t.

(13)

ei(u)=0i=1,2,…，Ne

(14)

ci(u)≤0i=1,2,…，Nc

(15)

式(14)～(15)中：ei(u)表示第i個(gè)等式約束；ci(u)表示第i個(gè)不等式約束；Ne為等式約束個(gè)數(shù)；Nc為不等式約束個(gè)數(shù)。

2 海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型求解

2.1 求解方法

由上述分析可知，當(dāng)考慮工程設(shè)施約束時(shí)，海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題為約束優(yōu)化問(wèn)題。對(duì)于約束問(wèn)題，其求解思路一般是先利用增廣拉格朗日函數(shù)法轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題，然后利用優(yōu)化算法對(duì)無(wú)約束問(wèn)題進(jìn)行求解。增廣拉格朗日函數(shù)法是求解約束問(wèn)題的一種常用解法，其思路是將原約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列無(wú)約束優(yōu)化子問(wèn)題，并以此一系列無(wú)約束優(yōu)化子問(wèn)題的解去逼近原約束優(yōu)化問(wèn)題的解[15-19]。

在增廣拉格朗日函數(shù)法中，將等式約束、不等式約束作為懲罰項(xiàng)與目標(biāo)函數(shù)結(jié)合在一起構(gòu)造增廣拉格朗日函數(shù)，其表達(dá)式為

L(u,λ,μ)=J(u)-

(16)

其中

(17)

式(16)、(17)中：μ是懲罰因子；λe,i和λc,j分別為第i個(gè)等式約束和第j個(gè)不等式約束的拉格朗日乘子。

當(dāng)拉格朗日乘子和懲罰因子確定時(shí)，此時(shí)優(yōu)化模型為

MaximizeL(u)

(18)

使用增廣拉格朗日函數(shù)法進(jìn)行求解時(shí)，主要分為外循環(huán)和內(nèi)循環(huán)兩個(gè)過(guò)程。外循環(huán)中主要根據(jù)約束違反情況來(lái)更新拉格朗日乘子和懲罰因子，從而確定增廣拉格朗日函數(shù)；內(nèi)循環(huán)中主要采用G-SPSA算法來(lái)最大化增廣拉格朗日函數(shù)。

具體計(jì)算步驟如下：

1) 確定拉格朗日乘子、懲罰因子等相關(guān)參數(shù)初始值。外循環(huán)迭代步l=1。

2) 建立增廣拉格朗日函數(shù)，進(jìn)入內(nèi)循環(huán)。利用G-SPSA算法最大化增廣拉格朗日函數(shù)，直至滿(mǎn)足如下收斂條件。

(19)

(20)

式(19)、(20)中：k為內(nèi)循環(huán)迭代步數(shù)；ξ1和ξ2分別為內(nèi)循環(huán)中目標(biāo)函數(shù)和控制變量的收斂值。

3)根據(jù)約束違反變量cv和允許約束違反值ηl來(lái)更新拉格朗日乘子和懲罰因子。

約束違反變量cv表達(dá)式為

(21)

若cv≤ηl，則有

(22)

ηl+1=max{ηlmin[(μl)0.2,0.5],η*}

(24)

式(24)中：η*為最小允許約束違反值。

若cv>ηl，則有

μl+1=τμl=0.1μl

(25)

ηl+1=max{ηlmin[(μl)0.1,0.5],η*}

(26)

4) 比較約束違反變量cv和最小允許約束違反值η*。如果cv≤η*，則表示所得的最優(yōu)解滿(mǎn)足約束條件，算法停止；否則，外循環(huán)迭代步l=l+1，返回步驟2，重復(fù)以上求解過(guò)程。

在內(nèi)循環(huán)中，采用G-SPSA算法來(lái)最大化增廣拉格朗日函數(shù)。G-SPSA算法是一種無(wú)梯度優(yōu)化算法，僅需對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，不需要梯度的求解，已廣泛應(yīng)用于實(shí)際油藏問(wèn)題中[20-23]。優(yōu)化算法的本質(zhì)就是確定新的搜索方向，生成新的控制變量，直到達(dá)到收斂條件,得到最優(yōu)解。利用G-SPSA算法來(lái)確定新的搜索方向的具體步驟如下。

1) 采用球形模型產(chǎn)生協(xié)方差矩陣Cu。協(xié)方差矩陣中任一元素Cp,q為

(27)

式(27)中：p和q分別表示第p、q個(gè)調(diào)控時(shí)間步；σ代表標(biāo)準(zhǔn)差；t表示相關(guān)聯(lián)的時(shí)間步數(shù)。

2) 生成M個(gè)隨機(jī)控制變量uk,i，其表達(dá)式為

uk,i=uk+εkCu1/2Zk,ii=1,2,…，M

(28)

式(28)中：uk是內(nèi)循環(huán)中第k步最優(yōu)控制變量；εk是擾動(dòng)步長(zhǎng)；Cu1/2為Nu×Nu維下三角矩陣，通過(guò)對(duì)Cu進(jìn)行Cholesky分解得到；Zk,i為服從高斯分布的擾動(dòng)向量，Zk,i～N(0,I)，其中I是Nu×Nu維單位矩陣。

3) 計(jì)算搜索方向dk，其表達(dá)式為

(29)

其中

(30)

4) 生成新的控制變量uk+1,其表達(dá)式為

(31)

式(31)中：αk為搜索步長(zhǎng)，可通過(guò)一維搜索方法來(lái)確定。

2.2 求解流程

圖1 海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化計(jì)算流程

海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的求解流程如圖1所示,主要包括以下幾個(gè)步驟：①首先根據(jù)單井歷史生產(chǎn)動(dòng)態(tài)，選取具有代表性的擬合段得到反映單井生產(chǎn)特征的水驅(qū)特征參數(shù)。②設(shè)定控制變量、懲罰因子和拉格朗日乘子的初始值，建立增廣拉格朗日函數(shù)，開(kāi)始外循環(huán)。③進(jìn)入內(nèi)循環(huán)，調(diào)用G-SPSA算法更新控制變量，根據(jù)控制變量，利用廣適水驅(qū)特征曲線(xiàn)預(yù)測(cè)單井開(kāi)發(fā)指標(biāo)，從而計(jì)算拉格朗日函數(shù)值。④判斷是否滿(mǎn)足內(nèi)循環(huán)收斂條件，滿(mǎn)足收斂條件，則跳出內(nèi)循環(huán)，進(jìn)入外循環(huán)；否則，繼續(xù)下一個(gè)內(nèi)循環(huán)；⑤判斷是否滿(mǎn)足外循環(huán)收斂條件，滿(mǎn)足收斂條件，則停止；否則，根據(jù)約束違反情況，更新懲罰因子和拉格朗日乘子，進(jìn)入下一個(gè)外循環(huán)。

3 模型的應(yīng)用

3.1 基本參數(shù)

以海上LP油田群為例進(jìn)行產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化。該油田群包括XA、XB、XC等3個(gè)油田，3個(gè)油田均處于特高含水階段，對(duì)應(yīng)有3座平臺(tái)，其中PA和PB平臺(tái)為采油平臺(tái)，PC平臺(tái)為中心處理平臺(tái)。2個(gè)采油平臺(tái)的采出液外輸能力分別是10 000 m3/d和20 000 m3/d，中心平臺(tái)的液處理能力為50 000 m3/d。該油田群儲(chǔ)層以三角洲前緣的河口砂壩及三角洲平原的分流河道砂體為主，孔隙度為21.5%～31.5%，滲透率為1 256～6 043 mD，地層原油黏度為5.8～21.7 mPa·s，邊底水能量充足，無(wú)注水井，3個(gè)油田的油井?dāng)?shù)分別是4口、7口和10口。每口油井每180 d調(diào)控一次，調(diào)控步數(shù)是6，總的調(diào)控時(shí)間是1 080 d?？刂谱兞康膫€(gè)數(shù)是(4+7+10)×6=126。

優(yōu)化過(guò)程中，原油價(jià)格為2 500元/m3，水處理費(fèi)為55元/m3，折現(xiàn)率是12%。油井產(chǎn)液量的最小和最大值分別設(shè)定為1 000 m3/d和3 000 m3/d。油井初始產(chǎn)液量為目前生產(chǎn)過(guò)程中的實(shí)際產(chǎn)液量。

懲罰因子初始值由下式確定：

(32)

由于約束條件中沒(méi)有等式約束，所以等式約束的拉格朗日乘子設(shè)置為零。不等式約束的拉格朗日乘子由下式確定：

初始允許約束違反值η(0)=0.1，最小允許約束違反值η*=0.1η(0)。內(nèi)循環(huán)收斂條件中，分別設(shè)置ξ1=0.01和ξ2=0.01。優(yōu)化算法G-SPSA生成隨機(jī)擾動(dòng)梯度的樣本個(gè)數(shù)M=10。

3.2 優(yōu)化結(jié)果

目前LP油田群中XA和XB平臺(tái)上油井的產(chǎn)液量已分別達(dá)到9 000 m3/d和16 000 m3/d，接近平臺(tái)外輸能力，XC平臺(tái)的液處理能力已達(dá)到上限50 000 m3/d。各油井按照目前產(chǎn)液量繼續(xù)生產(chǎn)作為基礎(chǔ)方案。

在保持平臺(tái)外輸和處理能力不變的情況下，利用本文提出的方法對(duì)LP油田群基礎(chǔ)方案進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果顯示，每個(gè)時(shí)間步內(nèi)，XA和XB平臺(tái)上的油井產(chǎn)液量小于外輸能力約束，整個(gè)油田群的產(chǎn)液量小于XC平臺(tái)液處理能力約束；在油田群相同產(chǎn)液量情況下，優(yōu)化方案累產(chǎn)油174.9×104m3，較基礎(chǔ)方案累產(chǎn)油(166.3×104m3)增幅5.2%。從經(jīng)濟(jì)效益來(lái)看，優(yōu)化方案凈現(xiàn)值為12.9億元，較基礎(chǔ)方案凈現(xiàn)值(12.1億元)增幅6.8%。

目前LP油田群中XA、XB、XC等3個(gè)平臺(tái)的含水率依次增加。如表1所示，優(yōu)化以后，XB和XC平臺(tái)上的油井累積產(chǎn)液量有所下降，累積產(chǎn)油量有所上升，起到了穩(wěn)油控水的效果；XA平臺(tái)通過(guò)增加累積產(chǎn)液量，累積產(chǎn)油量也有所增加，起到了提液增油的效果?？梢?jiàn)，優(yōu)化方案通過(guò)降低高含水率平臺(tái)產(chǎn)液量，增加低含水率平臺(tái)產(chǎn)液量，改善了該油田群開(kāi)發(fā)效果。

表1 海上LP油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果

以XA平臺(tái)的4口井為例，目前XA-1、XA-2、XA-3、XA-4等4口井的含水率依次升高，因此，在平臺(tái)外輸能力有限的情況下，產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化中應(yīng)盡量提高含水率較低的油井液量，降低含水率較高的油井液量。從表2可以看出，優(yōu)化后XA-3和XA-4井的液量都有所提高，產(chǎn)油量明顯升高，而XA-2和XA-1井的液量有所降低。盡管這2口井的液量降低導(dǎo)致產(chǎn)油量降低，但從整體來(lái)看，整個(gè)平臺(tái)的產(chǎn)油量得到了增加?？梢哉f(shuō)，在每個(gè)平臺(tái)內(nèi)部也起到了產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化的效果。

表2 海上LP油田群?jiǎn)尉a(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果表

4 結(jié)論

考慮平臺(tái)處理和外輸能力，建立了海上高含水期油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型，通過(guò)增廣拉格朗日函數(shù)法和G-SPSA算法，實(shí)現(xiàn)了海相高含水油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的求解；礦場(chǎng)應(yīng)用結(jié)果表明，本文方法能有效改善油田開(kāi)發(fā)效果，對(duì)海上高含水期油田群挖潛具有一定指導(dǎo)意義，有較為廣泛的應(yīng)用前景。