楊文金

數(shù)形結(jié)合的思想在每年的高考中都有所體現(xiàn)，它常用來研究方程根的情況，討論函數(shù)的值域（最值）及求變量的取值范圍等.對這類內(nèi)容的選擇題、填空題，數(shù)形結(jié)合特別有效.數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，借助各種函數(shù)的圖象和方程的曲線為載體，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，在考題形式上，不但有小題，還會有解答題，在考查的數(shù)量上，會有多個小題考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.復(fù)習(xí)中應(yīng)提高用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識，畫圖不能太草，要善于用特殊數(shù)或特殊點(diǎn)來精確確定圖形間的位置關(guān)系.

以形助數(shù)（數(shù)題形解）借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)形之間的關(guān)系，把形轉(zhuǎn)化為數(shù)，即以形作為手段，數(shù)作為目的的解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想.

以數(shù)輔形（形題數(shù)解）借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的的解決問題的數(shù)學(xué)思想.數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.

1.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).

2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：（1）等價性原則.在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞.有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負(fù)面效應(yīng).（2）雙方性原則.既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析容易出錯.（3）簡單性原則.不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合.具體運(yùn)用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線.

3.數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：

（1）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；（2）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；（3）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；（4）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；（5）構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；（6）構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；（7）構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)；（8）研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等.

4.數(shù)形結(jié)合思想在高考試題中主要有以下六個?？键c(diǎn)：

（1）集合的運(yùn)算及Venn圖；（2）函數(shù)及其圖象；（3）數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線；（5）對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可；（6）對于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數(shù)的圖象求解（函數(shù)的零點(diǎn)、頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)），做好知識的遷移與綜合運(yùn)用.

5.數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度.具體操作時，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；（2）用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達(dá)式（有時可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解；（3）在解答題中數(shù)形結(jié)合思想是探究解題的思路時使用的，不可使用形的直觀代替相關(guān)的計算和推理論證.

點(diǎn)評：在解決有些解析幾何問題時，如果方法選擇不當(dāng)，往往導(dǎo)致計算量過大，就不易得到正確的運(yùn)算結(jié)果.利用數(shù)形結(jié)合由數(shù)想形，由形想數(shù).具有幾何意義的量：斜率、距離等.數(shù)形結(jié)合是靈活解題的一條途徑.

總的來說“數(shù)形結(jié)合”思想是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，它可以將抽象數(shù)學(xué)問題具體化、準(zhǔn)確化、形象化.用好數(shù)形結(jié)合可以使我們更深入準(zhǔn)確的理解數(shù)學(xué)問題.

1.在數(shù)學(xué)中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復(fù)數(shù)的幾何意義等都實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當(dāng)試題中涉及這些問題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以通過圖形分析這些數(shù)量關(guān)系，達(dá)到解題的目的.

2.有些圖形問題，單純從圖形上無法看出問題的結(jié)論，這就要對圖形進(jìn)行數(shù)量上的分析，通過數(shù)的幫助達(dá)到解題的目的.

3.利用數(shù)形結(jié)合解題，有時只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象.

4.數(shù)形結(jié)合思想是解決高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時更方便，可以提高解題速度.

5.數(shù)形結(jié)合思想常用模型：一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點(diǎn)間的距離公式（或向量的模、復(fù)數(shù)的模）；點(diǎn)到直線的距離公式等.

6.是否選擇應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的原則是：是否有利于解決問題，用最簡單的辦法解決問題.