劉今子， 邸偉嬌， 宋考平， 高 立， 董 馳， 朱維耀， 董麗娜

( 1. 東北石油大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，黑龍江 大慶 163318； 2. 東北石油大學(xué) 石油工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318；3. 大慶鉆探工程公司 鉆技一公司，黑龍江 大慶 163461； 4. 北京科技大學(xué) 土木與資源工程學(xué)院，北京 100083； 5. 大慶油田有限責(zé)任公司 供水公司，黑龍江 大慶 163453 )

0 引言

低滲透油藏的滲流特征與中、高滲透油藏的具有顯著差異性，非線性滲流特征不符合達西定律。人們對低滲透油藏進行研究[1-9]。竇宏恩等[3]、王曉冬等[4]分析啟動壓力梯度，論證其存在性，驗證非達西滲流曲線并非來自模擬結(jié)果。郝斐等[5]、李松泉等[6]通過巖心實驗得到實測數(shù)據(jù)，統(tǒng)計回歸啟動壓力梯度的經(jīng)驗公式。韓洪寶等[7]、李忠興等[8]、朱維耀等[9]以啟動壓力梯度為基本滲流特征，開展?jié)B流特征實驗并進行數(shù)值模擬。這些研究將啟動壓力梯度函數(shù)常值化，作為固定常數(shù)代入油藏工程的計算公式，沒有考慮滲透率非均質(zhì)構(gòu)型的影響，也沒有研究對產(chǎn)能計算公式的影響。

目前，對油藏非均質(zhì)性特征的研究主要依靠巖心實驗或數(shù)值模擬方法[10-21]。筆者考慮滲透率非均質(zhì)構(gòu)型和啟動壓力梯度，建立低滲透油藏產(chǎn)能計算公式，通過數(shù)值模擬進行實例分析?；诰W(wǎng)條件下流動分區(qū)的滲流特征，引入3種典型滲透率非均質(zhì)構(gòu)型，結(jié)合啟動壓力梯度函數(shù)表征方程，建立產(chǎn)能計算公式，形成完整的低滲透非均質(zhì)油藏的產(chǎn)能計算方法。

1 單相滲流產(chǎn)能

1.1 假設(shè)條件及典型非均質(zhì)模型

假設(shè)條件：

(1)注采井間的滲透率構(gòu)型簡化為3種典型非均質(zhì)模式；

(2)流動特征符合有啟動壓力梯度的非達西滲流規(guī)律。

針對實際儲層滲透率構(gòu)型分布的非均質(zhì)特征，假定為3種典型的表征模式[14-15]。數(shù)學(xué)模型形式：

(Ⅰ)K是線性遞增，K(r)=a+br，a>0，b>0；

(Ⅱ)K是對數(shù)函數(shù)，K(r)=a+blnr，a>0，b>0；

(Ⅲ)K是指數(shù)函數(shù)，K(r)=aebr，a>0，b>0。

其中，K為滲透率；r為地層任意點到井筒的距離；a、b為常數(shù)。

1.2 啟動壓力梯度

采用實驗數(shù)據(jù)進行回歸，得到低滲透油藏的啟動壓力梯度與滲透率的函數(shù)關(guān)系為

G=λKnd,

(1)

式中：G為啟動壓力梯度；λ、nd為回歸參數(shù)。

1.3 產(chǎn)能

當滲透率K為常數(shù)時，將K(r)=K代入啟動壓力梯度G，得到低滲透油藏的產(chǎn)能計算公式為

(2)

即

(3)

式中：Q為產(chǎn)量；p為壓力；μ為黏度；h為厚度。

將壓力p和井距r的積分上下限代入式(3)得

(4)

式中：pe為注入壓力；pw為井底流壓；re為井筒半徑；rw為泄壓半徑。

1.3.1 線性遞增型

將K(r)=a+br代入式(1)和式(4)，得到基于滲透率構(gòu)型(Ⅰ)的產(chǎn)能計算公式為

(5)

1.3.2 對數(shù)函數(shù)型

將K(r)=a+blnr代入式(1)和式(4)，得到基于滲透率構(gòu)型(Ⅱ)的產(chǎn)能計算公式為

(6)

式中：Г為伽瑪函數(shù)。

1.3.3 指數(shù)函數(shù)型

將K(r)=aebr代入式(1)和式(4)，得到基于滲透率構(gòu)型(Ⅲ)的產(chǎn)能計算公式為

(7)

式中：Ei為指數(shù)積分函數(shù)。

基于不同的滲透率構(gòu)型和啟動壓力梯度函數(shù)，構(gòu)建的非均質(zhì)低滲透油藏單相滲流產(chǎn)能計算公式具有一般意義。當b=0時，a=K，即退化為低滲透均質(zhì)油藏的產(chǎn)能計算公式；當b=0且λ=0時，即退化為低滲透均質(zhì)油藏達西滲流的產(chǎn)能計算公式。

2 兩相滲流產(chǎn)能

2.1 相滲曲線

利用巖心實驗數(shù)據(jù)計算相滲曲線公式時，常用3種典型擬合函數(shù)形式：(1)冪函數(shù)(Stone相滲計算公式)；(2)指數(shù)函數(shù)；(3)多項式函數(shù)。

在實際應(yīng)用中，冪函數(shù)形式和指數(shù)函數(shù)形式易超出相滲取值范圍，線性擬合時產(chǎn)生誤差擴散，所以采用第三種相滲曲線形式，即多項式函數(shù)形式：

(8)

(9)

式中：Krw為水相的相對滲透率；Kro為油相的相對滲透率；Sw為含水飽和度；an、an-1、…、a1、a0和bn、bn-1、…、b1、b0為回歸參數(shù)。

2.2 啟動壓力梯度

低滲透油藏存在啟動壓力梯度，滲流特征不符合達西定律。對實驗數(shù)據(jù)進行回歸分析，得到油相和水相的啟動壓力梯度與巖心滲透率關(guān)系式為

Go=λoKndo,

(10)

Gw=λwKndw,

(11)

式中:Go、Gw分別為油相和水相啟動壓力梯度；λo、λw、ndo、ndw為回歸參數(shù)。

水相的啟動壓力梯度比油相的小很多，水相的運動方程中一般忽略啟動壓力梯度[7]。

2.3 產(chǎn)能

根據(jù)低滲透油藏兩相區(qū)各點的壓力分布，以及相滲和啟動壓力梯度的關(guān)系，兩相滲流的產(chǎn)能計算公式為

(12)

化簡得

(13)

式中：μw為水相的黏度；μo為油相的黏度。

聯(lián)立式(8-11)，將滲透率構(gòu)型代入式(13)，整理化簡得到不同滲透率構(gòu)型的兩相滲流產(chǎn)能計算公式。

2.3.1 線性遞增型

將滲透率構(gòu)型(Ⅰ)代入式(13)得

(14)

2.3.2 對數(shù)函數(shù)型

將滲透率構(gòu)型(Ⅱ)代入式(13)得

。

(15)

2.3.3 指數(shù)函數(shù)型

將滲透率構(gòu)型(Ⅲ)代入式(13)得

(16)

3 不同井網(wǎng)條件下產(chǎn)能

3.1 反五點井網(wǎng)

反五點井網(wǎng)模式見圖1。注采平衡時，注入量等于4個分區(qū)的流量之和，即4個油井的總產(chǎn)液量。各注采單元分區(qū)的滲透率構(gòu)型不同。

產(chǎn)量計算公式為

(17)

(18)

式中：Qi為第i個分區(qū)油井的產(chǎn)液量；Ki為第i個分區(qū)的絕對滲透率；Krwi為第i個分區(qū)的水相的相對滲透率；Kroi為第i個分區(qū)的油相的相對滲透率。

引入滲透率構(gòu)型，計算注采單元的流動分區(qū)的產(chǎn)量時，根據(jù)滲透率構(gòu)型的不同，選擇相應(yīng)的產(chǎn)能計算公式。

3.2 反七點井網(wǎng)

反七點井網(wǎng)模式見圖2。注采平衡時，注入量等于6個分區(qū)的流量之和，即6個油井的總產(chǎn)液量。各注采單元分區(qū)的滲透率構(gòu)型不同。

圖1 反五點井網(wǎng)模式Fig.1 Reverse five-point pattern

圖2 反七點井網(wǎng)模式Fig.2 Reverse seven-point pattern

產(chǎn)量計算公式為

(19)

(20)

3.3 矩形井網(wǎng)

矩形井網(wǎng)模式見圖3。注采平衡時，注入量等于6個分區(qū)的流量之和，即2個邊井分區(qū)的流量與4個角井分區(qū)的流量之和。各注采單元分區(qū)的滲透率構(gòu)型不同。

產(chǎn)量計算公式為

(21)

邊井分區(qū)產(chǎn)量QBi計算公式為

(22)

角井分區(qū)產(chǎn)量QJj計算公式為

(23)

式(22-23)中：la為井距；lb為排距；KBi(r)為邊井分區(qū)i的滲透率構(gòu)型；KJj為角井分區(qū)j的滲透率構(gòu)型。

3.4 反九點井網(wǎng)

反九點井網(wǎng)模式見圖4。注采平衡時，注入量等于8個分區(qū)的流量之和，即4個邊井分區(qū)的流量與4個角井分區(qū)的流量之和。各注采單元分區(qū)的滲透率構(gòu)型不同。

產(chǎn)量計算公式為

(24)

邊井分區(qū)產(chǎn)量QBi計算公式為

(25)

圖3 矩形井網(wǎng)模式Fig.3 Rectangular pattern

圖4 反九點井網(wǎng)模式Fig.4 Reverse nine-point pattern

角井分區(qū)產(chǎn)量QJj計算公式為

(26)

3.5 菱形反九點井網(wǎng)

菱形反九點井網(wǎng)模式見圖5。注采平衡時，注入量等于8個分區(qū)的流量之和，即4個邊井分區(qū)的流量、2個上(下)角井分區(qū)的流量及2個左(右)角井分區(qū)的流量之和。各注采單元分區(qū)的滲透率構(gòu)型不同。

產(chǎn)量計算公式為

(27)

圖5 菱形反九點井網(wǎng)模式Fig.5 Reverse nine-point diamond pattern

邊井分區(qū)產(chǎn)量QBi計算公式為

(28)

上(下)角井分區(qū)產(chǎn)量QSJj計算公式為

(29)

左(右)角井分區(qū)產(chǎn)量QXJj計算公式為

(30)

式(29-30)中：KSJj(r)為上(下)角井分區(qū)j的滲透率構(gòu)型；KXJj(r)為左(右)角井分區(qū)j的滲透率構(gòu)型。

圖6 某低滲透油藏相對滲透率曲線Fig.6 Relative permeability curves in low permeability reservoir

4 實例分析

某低滲透油藏的基本參數(shù)：孔隙度φ=0.12；Ka=8×10-3μm2(注水井點)，Kb=1×10-3μm2(采油井點)；油的黏度μo=5.80 mPa·s；水的黏度μw=0.45 mPa·s；井筒半徑rw=0.1 m；注入壓力pe=17×106Pa；井底流壓pw=7×106Pa；厚度h=2 m；注入量Q=20 m3/d；注入時間t=400 d；初始含水飽和度Swc=0.25，束縛水飽和度Swi=0.78。

4.1 相滲曲線關(guān)系

利用相對滲透率曲線(見圖6)，確定函數(shù)關(guān)系式為

,

4.2 分區(qū)產(chǎn)量

不同井網(wǎng)類型的井距和排距參數(shù)：(1)反五點井網(wǎng)，井距為200 m；(2)反七點井網(wǎng)，井距為200 m；(3)矩形井網(wǎng)，井距為200 m，排距為150 m；(4)反九點井網(wǎng)，井距為300 m；(5)菱形反九點井網(wǎng)，井距為300 m，排距為100 m。

利用建立的數(shù)學(xué)模型對不同井網(wǎng)類型的注采單元分區(qū)進行產(chǎn)能計算，數(shù)值結(jié)果見表1-5。

表1 反五點井網(wǎng)不同滲透率構(gòu)型的分區(qū)產(chǎn)量

表2 反七點井網(wǎng)不同滲透率構(gòu)型的分區(qū)產(chǎn)量

表3 矩形井網(wǎng)不同滲透率構(gòu)型的分區(qū)產(chǎn)量

表4 反九點井網(wǎng)不同滲透率構(gòu)型的分區(qū)產(chǎn)量

表5 菱形反九點井網(wǎng)不同滲透率構(gòu)型的分區(qū)產(chǎn)量

5 結(jié)論

(1)將注采井間的滲透率構(gòu)型簡化為3種典型非均質(zhì)模式代入啟動壓力梯度函數(shù)，構(gòu)建低滲透非均質(zhì)油藏產(chǎn)能計算公式，可以退化成低滲透均質(zhì)油藏的產(chǎn)能計算公式和均質(zhì)油藏達西滲流的產(chǎn)能計算公式。

(2)構(gòu)建不同井網(wǎng)類型條件下的低滲透非均質(zhì)油藏注采單元產(chǎn)能計算公式，利用油藏實際數(shù)據(jù)進行數(shù)值演算，可以用來計算井網(wǎng)的注采單元分區(qū)產(chǎn)能，也可以分析注采井間的滲透率非均質(zhì)構(gòu)型的特點。

(3)結(jié)合實際生產(chǎn)動態(tài)資料，利用構(gòu)建的產(chǎn)能計算公式，可以預(yù)測注采單元的滲透率區(qū)域分布的不同非均質(zhì)模式，為油藏精細描述和挖潛策略確定提供指導(dǎo)。