楊 波

引言

切換系統(tǒng)是一類(lèi)重要的混雜系統(tǒng)，它是由一族子系統(tǒng)和一個(gè)切換規(guī)律構(gòu)成，該規(guī)則在某一時(shí)刻指定哪個(gè)子系統(tǒng)被激活.近年來(lái),切換系統(tǒng)受到了越來(lái)越多的關(guān)注并取得了大量的研究成果.研究這種系統(tǒng)的主要?jiǎng)訖C(jī)包括以下兩點(diǎn).首先,從實(shí)際應(yīng)用方面看,不同子系統(tǒng)之間的切換是許多實(shí)際系統(tǒng)的一個(gè)本質(zhì)特征,例如,化工過(guò)程,運(yùn)輸系統(tǒng),計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)和通訊工業(yè)等.其次,從控制觀點(diǎn)看,多個(gè)控制器切換提供了一種有效的機(jī)制,可以處理具有大量不確定性和/或非常復(fù)雜的系統(tǒng).例如,基于切換控制器的思想,研究者設(shè)計(jì)了一些智能控制方法以便于改進(jìn)系統(tǒng)的性能.基于不同的工程背景,各類(lèi)切換系統(tǒng)已被廣泛研究,見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3]等.例如,文獻(xiàn)[1]通過(guò)構(gòu)造三重求和的Lyapunov泛函,研究了具有模式依賴無(wú)窮分布時(shí)滯的耦合中立性耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性問(wèn)題.在文獻(xiàn)[2]中,對(duì)具有不同類(lèi)型激勵(lì)函數(shù)和混合時(shí)滯的切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),作者給出了相應(yīng)的被動(dòng)性分析.

近來(lái),通過(guò)駐留時(shí)間方法[4]探討切換系統(tǒng)相關(guān)問(wèn)題的研究興趣已日益增加,并取得了一系列的研究成果.值得注意的是,時(shí)滯切換系統(tǒng)在工程系統(tǒng)中具有廣闊的應(yīng)用前景,例如,電力系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)等,因此,一些研究人員已經(jīng)著手研究時(shí)滯切換系統(tǒng)的性能.例如,文獻(xiàn)[5]應(yīng)用平均駐留時(shí)間方法給出了一類(lèi)離散時(shí)間時(shí)滯切換系統(tǒng)達(dá)到指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.文獻(xiàn)[6]應(yīng)用比較原理和平均駐留時(shí)間技巧探討了基因調(diào)控神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)穩(wěn)定性問(wèn)題.

此外,在設(shè)計(jì)時(shí)滯系統(tǒng)控制器時(shí)，我們期望閉環(huán)系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且具有足夠的性能，尤其是當(dāng)子系統(tǒng)之間存在切換現(xiàn)象的情況下.為了解決這一問(wèn)題,我們可以考慮保成本控制，其主要思想是利用固定的李雅普諾夫函數(shù)給出二次成本函數(shù)關(guān)于閉環(huán)值的上界.目前,已有一些文獻(xiàn)探討了閉環(huán)系統(tǒng)的保證成本控制,見(jiàn)文獻(xiàn)[7-11]等.例如,文獻(xiàn)[7]考慮了一類(lèi)具有脈沖的切換時(shí)滯系統(tǒng),設(shè)計(jì)了它的魯棒有限時(shí)間保成本控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[11]針對(duì)具有中立型切換系統(tǒng)設(shè)計(jì)了具有動(dòng)態(tài)輸出反饋的保成本控制器.

以上這些研究結(jié)果主要關(guān)于線性時(shí)滯系統(tǒng),設(shè)計(jì)相應(yīng)的保成本控制器.然而,非線性時(shí)滯切換系統(tǒng)的保成本控制問(wèn)題卻被忽略,盡管這種控制問(wèn)題在實(shí)際工程應(yīng)用中非常重要.正是這一情形促使我們對(duì)這種系統(tǒng)的保成本控制問(wèn)題展開(kāi)研究.

在這篇文章中,我們通過(guò)狀態(tài)反饋控制方法探討了離散型的非線性時(shí)滯切換系統(tǒng)的保成本控制問(wèn)題.借助平均駐留時(shí)間技巧和模式依賴的Lyapunov泛函方法,我們首先給出了保證所考慮的切換系統(tǒng)存在保成本控制器的充分條件及成本函數(shù)的上界.接著,我們由一族線性矩陣不等式的可行解表示了所需控制器的增益矩陣.

1 模型的刻畫(huà)

考慮一類(lèi)具有時(shí)滯的離散型切換非線性系統(tǒng):

其中x(k)∈Rn是狀態(tài)向量,其初始條件是x(l)=?(l),k0-τ2≤l≤k0；f和 g：Rn→Rn是系統(tǒng)的非線性函數(shù),u(k)∈Rn是控制輸入信號(hào).τ(k)表示有界的離散時(shí)滯,滿足 τ1≤τ(k)≤τ2.{(Aσ(k)，Bσ(k)，Cσ(k)，Dσ(k))；σ(k)∈M,k≥k0}是一族矩陣,其中 M={1,2,…,m0},且σ:Z≥k0→M是分段常值函數(shù),稱為切換信號(hào).

當(dāng)σ(k)=i，i∈M時(shí),對(duì)應(yīng)于模式i的系統(tǒng)矩陣記為

其中 Ai，Bi，Ci，Di是常矩陣.關(guān)于切換信號(hào) σ,我們有切換序列

其中k0=0,這意味著當(dāng)k∈[kt,kt+1)時(shí),第it個(gè)子系統(tǒng)被激活.

假設(shè)1[1]設(shè)非線性函數(shù)f和g滿足下面的扇形有界條件:

其中 Γ1，Γ2，Φ1，Φ2是適當(dāng)維數(shù)的常值矩陣.

對(duì)于系統(tǒng)(1),我們考慮狀態(tài)反饋控制,其控制輸入為

其中Kσ(k)為需要設(shè)計(jì)控制增益矩陣.

由(1)和(2),我們可得到如下的切換閉環(huán)系統(tǒng):

在本文中,我們對(duì)切換閉環(huán)系統(tǒng)(3)考慮保成本控制方法,并設(shè)成本函數(shù)為

其中U和W為正定矩陣.

定義1[11]考慮切換非線性時(shí)滯系統(tǒng)(1).若存在狀態(tài)反饋控制器u(k)和正常數(shù)J*使得閉環(huán)系統(tǒng)(3)是指數(shù)穩(wěn)定的且成本函數(shù)J滿足J≤J*,則J*稱為保成本且u(k)稱為切換系統(tǒng)(1)的保成本控制器.

在討論上面的保成本控制問(wèn)題之前,我們首先下面的定義.

定義2 系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)x*=0是指數(shù)穩(wěn)定的,若存在λ∈(0,1),?＞0,使得(3)的解 x(k)滿足

定義3[4]在區(qū)間[k0,k)上,切換信號(hào)σ的切換次數(shù)記為Nσ(k,k0).若存在 N0≥0 和 T0＞0 使得

則T0稱為平均駐留時(shí)間.為了簡(jiǎn)便,這里取N0=0.

本文的目的是對(duì)系統(tǒng)(3)設(shè)計(jì)保成本控制器u(k),使得閉環(huán)系統(tǒng)(3)是指數(shù)穩(wěn)定的且成本函數(shù)J存在上界J*.

2 主要結(jié)果

在這一小節(jié),我們將通過(guò)構(gòu)造模式依賴的Lyapunov泛函,并應(yīng)用平均駐留時(shí)間技巧給出閉環(huán)系統(tǒng)(3)和成本函數(shù)(4)存在保成本控制器(2)的充分條件;然后,借助一組線性矩陣不等式的可行解表示控制增益矩陣.

為此,我們考慮下面的無(wú)切換的非線性時(shí)滯系統(tǒng):

其中A=A+DK.

定理1 對(duì)給定的α∈(0,1)和增益矩陣K,若存在正定矩陣Q和R,使得下面的線性矩陣不等式成立

則系統(tǒng)(6)是指數(shù)穩(wěn)定的.

證明 為了便于表示,我們記

對(duì)于系統(tǒng)(6),我們構(gòu)造如下的Lyapunov泛函:

其中

下面,我們計(jì)算Lyapunov泛函(7)關(guān)于系統(tǒng)(6)的差分:

此外,由假設(shè)1可得

其中

于是,由(8)-(12)可得,

進(jìn)一步,由條件Ψ＜0可知,

因此,當(dāng) k≥k0時(shí),我們有

根據(jù)定義1,可知系統(tǒng)(6)是指數(shù)穩(wěn)定的.證畢.

接下來(lái),我們將在定理1的基礎(chǔ)上,通過(guò)構(gòu)造模式依賴的Lyapunov泛函,并應(yīng)用平均駐留時(shí)間技巧給出系統(tǒng)(1)存在保成本控制器的充分條件.

定理2 對(duì)給定的α∈(0,1),μ＞1和增益矩陣Ki,若存在一組正定矩陣Qi和Ri,使得下面不等式成立

則控制器(2)是系統(tǒng)(1)的保成本控制器,且成本函數(shù)有如下的上界

證明 構(gòu)造模式依賴的Lyapunov泛函如下:

其中

當(dāng)k∈[kt,kt+1)時(shí),應(yīng)用定理1及條件(16),我們得到,

因此,由定義1可知,閉環(huán)系統(tǒng)(3)是指數(shù)穩(wěn)定的.

另一方面,當(dāng) k∈[kt,kt+1)時(shí),

于是,我們得到

證畢.

定理2給出了系統(tǒng)(1)存在保成本控制器的充分條件及成本函數(shù)的上界.下面,我們將通過(guò)一組線性矩陣不等式的可行解表示出控制器的增益矩陣.

定理3 對(duì)給定的α∈(0,1),μ＞1,若存在一組正定矩陣Pi和Ri,使得下面不等式i∈M均成立.

則控制器u(k)=Kix(k)且Ki=XiPi-1是系統(tǒng)(1)的保成本控制器,且成本函數(shù)J有如下的上界

證明 現(xiàn)設(shè)Pi=Qi-1且Xi=KiPi,令Ξi=diag{PiI … I},則γi=ΞiTΩiΞi,其中

應(yīng)用 Sucher Completement定理,可知 Ωi＜0等價(jià)于Ψi＜0,于是,由定理 2 可知結(jié)論成立.證畢.

3 結(jié)論

在這篇文章中,我們針對(duì)一類(lèi)離散型切換系統(tǒng)探討了它的保成本控制問(wèn)題,其中既考慮了離散時(shí)滯又考慮了非線性函數(shù)對(duì)保成本控制問(wèn)題的影響.我們通過(guò)構(gòu)造模式依賴的Lyapunov泛函,并應(yīng)用平均駐留時(shí)間技巧,給出了保成本控制器的充分條件,并給出了成本函數(shù)的上界.接著,借助一組線性矩陣不等式的可行解,我們表示了所需的保成本控制器的增益矩陣.