張 茜

一些較難的證明題往往需要添加輔助線才能證明，下面為同學(xué)們梳理五種常見輔助線的作法.

一、補(bǔ)全圖形

【例1】如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E.求證：BD=2CE.

圖2

【分析】要證明BD=2CE，就要找到與2CE相等的線段.這里BD⊥CE，且BD平分∠ABC，所以想到了補(bǔ)全圖形，構(gòu)造全等.

證明：如圖2，延長CE、BA交于點(diǎn)F，

易證Rt△BEC≌Rt△BEF（ASA），

∴CE=EF，∴CF=CE+EF=2CE.

∵∠ABD=∠FCA（同角的余角相等），

易證Rt△CAF≌Rt△BAD（ASA）.

∴BD=CF.

又∵CF=2CE，∴BD=2CE.

【說明】補(bǔ)全圖形，構(gòu)造出2CE，再利用三角形全等，證得結(jié)論.

二、倍長中線法構(gòu)造全等

三角形問題中涉及中線（中點(diǎn)）時(shí)，將三角形中線延長一倍來構(gòu)造全等三角形是比較常用的解題思路.

【例2】如圖3，在△ABC中，∠A=90°，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF.試探索線段BE、CF及EF之間的等量關(guān)系，并加以證明.

圖3

圖4

【分析】此題中需要倍長FD，連接BG，達(dá)到了將△DFC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°的效果.再加上DE⊥DF，三線合一，故連接EG形成等腰△EGF.再證出△FDC≌△GDB后，將邊CF及∠C轉(zhuǎn)移到△EBG中，且易證∠EBG=90°，則可得證.

證明：如圖4，延長FD至點(diǎn)G，使得FD=DG，連接BG，EG.易證△FDC≌△GDB.

∵DE⊥DF，DF=DG，∴EG=EF.

易證∠EBG=90°，

∴BE2+BG2=EG2，即 BE2+CF2=EF2.

【說明】倍長中線法的解題思路，就是見到中點(diǎn)，將與中點(diǎn)連接的線段倍長，目的是通過幾何變換將分散的條件集中起來，所以說見到圖形某邊上的中點(diǎn)是我們利用倍長中線法的一個(gè)重要信號(hào).

三、利用角平分線構(gòu)造全等

角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸，在證明全等過程中不僅提供了兩個(gè)相等的角，還有一條公共邊.利用角平分線在角的兩邊截取相等的線段，或向兩邊作垂線，進(jìn)而構(gòu)造出全等三角形是常用的證明方法.

【例3】已知，如圖5，AC平分∠BAD，CD=CB，AB＞AD.求證：∠B+∠ADC=180°.

圖5

圖6

【分析】因?yàn)锳C是∠BAD的平分線，所以容易想到過點(diǎn)C向∠BAD的兩邊作垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題.本題考查了角平分線性質(zhì)的應(yīng)用.

證明：如圖6，作CF⊥AB于F，CE⊥AD交AD延長線于E，易證Rt△CDE≌Rt△CBF（HL）.

∴∠B=∠CDE.

∵∠ADC+∠CDE=180°，

∴∠B+∠ADC=180°.

【說明】關(guān)于角平分線的問題，常見圖7、圖8的兩種輔助線.用好角平分線模型，根據(jù)軸對(duì)稱性構(gòu)造全等三角形是常見的一種題型，須熟練掌握.

圖7

圖8

四、作平行線

在三角形問題中遇到有相等的角或等腰等條件時(shí)，可通過作平行線，將相等的角轉(zhuǎn)換到某一個(gè)三角形中，得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件.

【例4】如圖9，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC的延長線上截取CE，且使CE=BD，連接DE交BC于F.求證：DF=EF.

圖9

圖10

【分析】要證DF=EF，需要借助三角形全等，可以將CE平移至DG處，這樣的平移不僅構(gòu)造了全等三角形，而且形成了等腰△DBG.再證明△DGF≌△ECF即可.

證明：如圖10，過點(diǎn)D作DG//AC，交BC于點(diǎn)G.

∵AB=AC，DG//AC.

易證BD=DG，∴DG=CE.

又∵DG//AC，

∴∠GDE=∠CEF，∠DGF=∠FCE.

∴△DGF≌△ECF，∴DF=EF.

【說明】將分散的條件集中，可以采用“平移”變換的方法構(gòu)造全等三角形.

五、截長補(bǔ)短法

一般地，當(dāng)已知或所證結(jié)論中涉及線段的和、差及倍數(shù)關(guān)系，且這兩條線段不在同一條直線上時(shí)，通?？梢钥紤]用截長補(bǔ)短法，在長線段上截取一部分使之與短線段相等，或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.

【例5】如圖11，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求證：CD=AD+BC.

圖11

圖12

圖13

【分析】要求證CD=AD+BC，可考慮“截長”，在CD上截取CF=CB，再證DF=DA，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題了.

證明：（截長法）如圖12，在CD上截取CF=CB，∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.

∵AD∥BC，

∴∠ADC+∠BCD=180°，

∴∠DCE+∠CDE=90°.

∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°.

∴∠3=∠4.

∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA.

∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.

證明：（補(bǔ)短法）如圖13，延長DE交CB的延長線于點(diǎn)M.

∵AD∥BC，∴∠ADE=∠M.

∵∠ADE=∠CDE，∴∠CDE=∠M，∴CD=CM.

∵∠DCE=∠ECB，∴DE=EM，∴△ADE≌△BME（ASA）.

∴AD=BM，即CD=CM=AD+BC.

【分析】本題考查全等三角形常見輔助線的做法，截長法或補(bǔ)短法.

以上是全等三角形中，五種常見的輔助線作法.同學(xué)們，你們掌握了嗎？形成自己的解題習(xí)慣，擁有良好的解題基本功，不僅要掌握知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維能力，還要積累解題經(jīng)驗(yàn)，才能在面對(duì)問題時(shí)迎刃而解.