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        巧連輔助線 事半而功倍

        2018-09-21 02:33:54
        初中生世界 2018年34期
        關(guān)鍵詞:延長線輔助線平分線

        張 茜

        一些較難的證明題往往需要添加輔助線才能證明,下面為同學(xué)們梳理五種常見輔助線的作法.

        一、補(bǔ)全圖形

        【例1】如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,CE垂直于BD,交BD的延長線于點(diǎn)E.求證:BD=2CE.

        圖2

        【分析】要證明BD=2CE,就要找到與2CE相等的線段.這里BD⊥CE,且BD平分∠ABC,所以想到了補(bǔ)全圖形,構(gòu)造全等.

        證明:如圖2,延長CE、BA交于點(diǎn)F,

        易證Rt△BEC≌Rt△BEF(ASA),

        ∴CE=EF,∴CF=CE+EF=2CE.

        ∵∠ABD=∠FCA(同角的余角相等),

        易證Rt△CAF≌Rt△BAD(ASA).

        ∴BD=CF.

        又∵CF=2CE,∴BD=2CE.

        【說明】補(bǔ)全圖形,構(gòu)造出2CE,再利用三角形全等,證得結(jié)論.

        二、倍長中線法構(gòu)造全等

        三角形問題中涉及中線(中點(diǎn))時(shí),將三角形中線延長一倍來構(gòu)造全等三角形是比較常用的解題思路.

        【例2】如圖3,在△ABC中,∠A=90°,D是BC邊上的中點(diǎn),DE⊥DF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF.試探索線段BE、CF及EF之間的等量關(guān)系,并加以證明.

        圖3

        圖4

        【分析】此題中需要倍長FD,連接BG,達(dá)到了將△DFC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°的效果.再加上DE⊥DF,三線合一,故連接EG形成等腰△EGF.再證出△FDC≌△GDB后,將邊CF及∠C轉(zhuǎn)移到△EBG中,且易證∠EBG=90°,則可得證.

        證明:如圖4,延長FD至點(diǎn)G,使得FD=DG,連接BG,EG.易證△FDC≌△GDB.

        ∵DE⊥DF,DF=DG,∴EG=EF.

        易證∠EBG=90°,

        ∴BE2+BG2=EG2,即 BE2+CF2=EF2.

        【說明】倍長中線法的解題思路,就是見到中點(diǎn),將與中點(diǎn)連接的線段倍長,目的是通過幾何變換將分散的條件集中起來,所以說見到圖形某邊上的中點(diǎn)是我們利用倍長中線法的一個(gè)重要信號(hào).

        三、利用角平分線構(gòu)造全等

        角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸,在證明全等過程中不僅提供了兩個(gè)相等的角,還有一條公共邊.利用角平分線在角的兩邊截取相等的線段,或向兩邊作垂線,進(jìn)而構(gòu)造出全等三角形是常用的證明方法.

        【例3】已知,如圖5,AC平分∠BAD,CD=CB,AB>AD.求證:∠B+∠ADC=180°.

        圖5

        圖6

        【分析】因?yàn)锳C是∠BAD的平分線,所以容易想到過點(diǎn)C向∠BAD的兩邊作垂線,構(gòu)造直角三角形,通過證明三角形全等解決問題.本題考查了角平分線性質(zhì)的應(yīng)用.

        證明:如圖6,作CF⊥AB于F,CE⊥AD交AD延長線于E,易證Rt△CDE≌Rt△CBF(HL).

        ∴∠B=∠CDE.

        ∵∠ADC+∠CDE=180°,

        ∴∠B+∠ADC=180°.

        【說明】關(guān)于角平分線的問題,常見圖7、圖8的兩種輔助線.用好角平分線模型,根據(jù)軸對(duì)稱性構(gòu)造全等三角形是常見的一種題型,須熟練掌握.

        圖7

        圖8

        四、作平行線

        在三角形問題中遇到有相等的角或等腰等條件時(shí),可通過作平行線,將相等的角轉(zhuǎn)換到某一個(gè)三角形中,得到另外的等腰三角形或相等的角,從而為證明全等提供條件.

        【例4】如圖9,在等腰△ABC中,AB=AC,在AB上截取BD,在AC的延長線上截取CE,且使CE=BD,連接DE交BC于F.求證:DF=EF.

        圖9

        圖10

        【分析】要證DF=EF,需要借助三角形全等,可以將CE平移至DG處,這樣的平移不僅構(gòu)造了全等三角形,而且形成了等腰△DBG.再證明△DGF≌△ECF即可.

        證明:如圖10,過點(diǎn)D作DG//AC,交BC于點(diǎn)G.

        ∵AB=AC,DG//AC.

        易證BD=DG,∴DG=CE.

        又∵DG//AC,

        ∴∠GDE=∠CEF,∠DGF=∠FCE.

        ∴△DGF≌△ECF,∴DF=EF.

        【說明】將分散的條件集中,可以采用“平移”變換的方法構(gòu)造全等三角形.

        五、截長補(bǔ)短法

        一般地,當(dāng)已知或所證結(jié)論中涉及線段的和、差及倍數(shù)關(guān)系,且這兩條線段不在同一條直線上時(shí),通??梢钥紤]用截長補(bǔ)短法,在長線段上截取一部分使之與短線段相等,或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.

        【例5】如圖11,AD∥BC,點(diǎn)E在線段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.求證:CD=AD+BC.

        圖11

        圖12

        圖13

        【分析】要求證CD=AD+BC,可考慮“截長”,在CD上截取CF=CB,再證DF=DA,這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題了.

        證明:(截長法)如圖12,在CD上截取CF=CB,∴△FCE≌△BCE(SAS),∴∠2=∠1.

        ∵AD∥BC,

        ∴∠ADC+∠BCD=180°,

        ∴∠DCE+∠CDE=90°.

        ∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°.

        ∴∠3=∠4.

        ∴△FDE≌△ADE(ASA),∴DF=DA.

        ∵CD=DF+CF,∴CD=AD+BC.

        證明:(補(bǔ)短法)如圖13,延長DE交CB的延長線于點(diǎn)M.

        ∵AD∥BC,∴∠ADE=∠M.

        ∵∠ADE=∠CDE,∴∠CDE=∠M,∴CD=CM.

        ∵∠DCE=∠ECB,∴DE=EM,∴△ADE≌△BME(ASA).

        ∴AD=BM,即CD=CM=AD+BC.

        【分析】本題考查全等三角形常見輔助線的做法,截長法或補(bǔ)短法.

        以上是全等三角形中,五種常見的輔助線作法.同學(xué)們,你們掌握了嗎?形成自己的解題習(xí)慣,擁有良好的解題基本功,不僅要掌握知識(shí)結(jié)構(gòu),培養(yǎng)思維能力,還要積累解題經(jīng)驗(yàn),才能在面對(duì)問題時(shí)迎刃而解.

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