石樹偉

（江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)教師發(fā)展中心）

問題是思維的起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)的心臟.新課程倡導(dǎo)探究學(xué)習(xí)，問題導(dǎo)學(xué)就是為學(xué)生的探究學(xué)習(xí)而配置的驅(qū)動(dòng)器和導(dǎo)航儀.問題導(dǎo)學(xué)應(yīng)將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為符合學(xué)生心理特點(diǎn)的核心問題，和圍繞核心問題、指向問題解決的關(guān)鍵問題的“問題鏈”，來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)和引導(dǎo)學(xué)生的自主探究與合作交流.下面以初中數(shù)學(xué)“方差”內(nèi)容的問題導(dǎo)學(xué)為例，闡釋以核心問題為統(tǒng)領(lǐng)、關(guān)鍵問題為線索的問題導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)思路.

一、“方差”問題導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)

1.核心問題設(shè)計(jì)

核心問題1：市中學(xué)生射擊比賽即將舉行，學(xué)校需要從甲、乙兩名同學(xué)中選拔1人參賽，假如你是教練員，你準(zhǔn)備如何選拔？

通過核心問題1引導(dǎo)學(xué)生討論交流，形成一致意見.用數(shù)據(jù)說話，通過成績(jī)數(shù)據(jù)的比較分析來選拔參賽學(xué)生.

核心問題2：現(xiàn)在相同條件下對(duì)甲、乙兩名同學(xué)的射擊水平進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)，甲同學(xué)因槍支問題只射擊了5次，而乙同學(xué)射擊了10次，命中的環(huán)數(shù)如下.

甲：7，8，7，8，5；

乙：9，8，7，8，7，6，5，6，7，7.

如果你是教練員，你準(zhǔn)備選擇哪一名同學(xué)參賽？

這是一個(gè)引導(dǎo)性問題，統(tǒng)領(lǐng)后續(xù)教學(xué)的展開，無需學(xué)生立即回答.

2.關(guān)鍵問題設(shè)計(jì)

下面通過一些關(guān)鍵問題展開對(duì)核心問題的探究、歸納、應(yīng)用和反思.

（1）問題解決.

關(guān)鍵問題1：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過哪些統(tǒng)計(jì)知識(shí)？應(yīng)用已學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)能決定選擇哪一名同學(xué)參賽嗎？

啟發(fā)點(diǎn)撥性的預(yù)設(shè)問題：分別嘗試計(jì)算一下甲、乙兩名同學(xué)射擊成績(jī)的平均數(shù)和極差，你能決定選擇哪一名同學(xué)參賽嗎？為什么？

通過關(guān)鍵問題1引導(dǎo)學(xué)生嘗試、交流，發(fā)現(xiàn)用已學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)不能解決問題，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突.

關(guān)鍵問題2：考查射擊運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)還需要關(guān)注什么因素？如何考查甲、乙兩名學(xué)生射擊成績(jī)的波動(dòng)情況？

教師設(shè)計(jì)如下啟發(fā)點(diǎn)撥性的預(yù)設(shè)問題.

①考查一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況需要有一個(gè)比較的標(biāo)準(zhǔn)，用什么作為比較標(biāo)準(zhǔn)比較合適？如何與比較標(biāo)準(zhǔn)比較？

預(yù)設(shè)答案：用平均成績(jī)作為比較標(biāo)準(zhǔn)比較合適；計(jì)算每次成績(jī)與平均成績(jī)的偏差，每次成績(jī)的偏差=每次成績(jī)-平均成績(jī).

②能用偏差（偏差=每次成績(jī)-平均成績(jī)）的總和或平均值來比較兩組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況嗎？為什么？

③為量化比較兩組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，如何進(jìn)行數(shù)學(xué)處理來避免偏差正負(fù)抵消，你有哪些方案？

預(yù)設(shè)答案：有兩種方案：一是將偏差先絕對(duì)值再求和；二是將偏差先平方再求和.

④假如有下面兩組成績(jī)，你認(rèn)為哪一組波動(dòng)大？甲：4，5，6，7，8；乙：3，6，6，6，9.

預(yù)設(shè)答案：用兩種方案分別計(jì)算，將偏差先絕對(duì)值再求和，得出兩組的數(shù)值都是6，無法區(qū)分波動(dòng)性大小；將偏差先平方再求和，得出兩組的數(shù)值分別是10和18，乙組波動(dòng)較大.通過此問題初步引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)平方有時(shí)候可以放大差異.

⑤能否僅用偏差平方的總和來比較兩組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況？為什么？你認(rèn)為用什么可以比較兩組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況？

在問題解決的過程中逐步完成下表.（表格中所有的內(nèi)容包括項(xiàng)目名稱，都是利用excel軟件根據(jù)問題解決的進(jìn)程逐步現(xiàn)場(chǎng)生成的.）

序號(hào)6 7 8 9 10總計(jì) 平均甲每次成績(jī)每次成績(jī)-平均成績(jī)3 7 7（每次成績(jī)-平均成績(jī)）2每次成績(jī)每次成績(jī)-平均成績(jī)（每次成績(jī)-平均成績(jī)）2 1 7 9 2 8 8 4 8 8 5 5 7 6 5 6 7 7乙

（2）模型歸納.

關(guān)鍵問題3：表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況的統(tǒng)計(jì)量，統(tǒng)計(jì)學(xué)上就叫方差（s2）.如何用文字語言和符號(hào)語言描述一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn方差的意義？

由特殊到一般，嘗試歸納小結(jié)求一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn方差的一般步驟和計(jì)算公式.

（3）模型應(yīng)用.

略.

（4）回顧與反思.

關(guān)鍵問題4：回顧方差公式的形成過程，你認(rèn)為理解記憶方差公式要抓住哪些關(guān)鍵？

教師設(shè)計(jì)如下啟發(fā)點(diǎn)撥性的預(yù)設(shè)問題.

①計(jì)算方差時(shí)，為什么要將每個(gè)數(shù)據(jù)減去平均數(shù)？

預(yù)設(shè)答案：此問題可以理解為“為什么要計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)的偏差？”因?yàn)橐从尺@組數(shù)據(jù)的離散程度.

②計(jì)算方差時(shí)，為什么要將每個(gè)偏差平方后相加？

預(yù)設(shè)答案：因?yàn)閷⒚恳唤M數(shù)據(jù)所有偏差直接相加和都為0，無法區(qū)分不同組別數(shù)據(jù)的離散程度.

③計(jì)算方差時(shí)，為什么要再求偏差平方的平均數(shù)？

預(yù)設(shè)答案：因?yàn)椴煌M別數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)有可能不同.

④為了表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，你還能提出其他的計(jì)算方案嗎？

二、“方差”問題導(dǎo)學(xué)分析

1.核心問題設(shè)計(jì)意圖分析

“方差”一課的問題導(dǎo)學(xué)中，以核心問題統(tǒng)領(lǐng)全課，在問題解決過程中達(dá)成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)意圖有如下四個(gè)方面.

一是以核心問題引領(lǐng)新知引入.這里設(shè)計(jì)的是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，核心問題1和2其實(shí)是緊密關(guān)聯(lián)的問題，核心問題1提出話題，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)據(jù)說話的意識(shí)和習(xí)慣；核心問題2緊接著提供數(shù)據(jù)，研究如何分析數(shù)據(jù).在這個(gè)實(shí)際問題中，甲、乙兩名學(xué)生射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)一樣，眾數(shù)、極差雖然有區(qū)別，但是由于兩人射擊次數(shù)不同，無法區(qū)分兩人射擊成績(jī)的高下.問題用已學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)無法解決，使學(xué)生形成認(rèn)知困惑，再結(jié)合射擊問題的實(shí)際，解決問題需要考慮兩人成績(jī)的波動(dòng)情況，從而引出本節(jié)課的課題.核心問題背景簡(jiǎn)明、又是學(xué)生熟悉的，既能快速引向所學(xué)內(nèi)容，又有利于對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培育.

二是以核心問題引領(lǐng)新知形成.核心問題的作用不是止步于新知引入，還將繼續(xù)引領(lǐng)新知的形成.課堂教學(xué)將圍繞核心問題的解決，逐步形成比較兩人成績(jī)波動(dòng)情況的方案，再由特殊到一般形成考查一組數(shù)據(jù)離散情況的基本模型，即方差，在此過程中滲透模型思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

三是以核心問題引領(lǐng)本質(zhì)揭示.過去“方差”內(nèi)容的教學(xué)，就是讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下一步步地處理數(shù)據(jù)，最后告訴學(xué)生，這樣處理一組數(shù)據(jù)得到的結(jié)果就是方差.如果我是學(xué)生，就會(huì)有疑問：為什么要計(jì)算方差？計(jì)算方差有什么用？為什么要這樣一步步地處理數(shù)據(jù)得到方差？其實(shí)，教什么、為什么教和怎么教，教師自然是非常清楚的，而學(xué)什么、為什么學(xué)、怎么學(xué)，學(xué)生是茫然的.試想，在學(xué)生茫然被動(dòng)的課堂上，學(xué)生的學(xué)習(xí)會(huì)處于怎樣的狀態(tài)？在這樣的狀態(tài)中，學(xué)生除了獲得知識(shí)結(jié)論還能得到哪些方面的發(fā)展？本節(jié)課設(shè)計(jì)的兩個(gè)核心問題，目的就是讓學(xué)生知道為什么要學(xué)習(xí)方差，方差計(jì)算程序是怎么來的，用以揭示方差的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力.

方差公式比較復(fù)雜，學(xué)生如果死記硬背，應(yīng)用時(shí)會(huì)出現(xiàn)各種記憶模糊、似是而非的錯(cuò)誤，最常見的錯(cuò)誤就是漏乘前面的.為了解決這個(gè)關(guān)鍵問題，教師在核心問題中設(shè)置“甲同學(xué)因槍支問題只射擊了5次，而乙同學(xué)射擊了10次”，讓學(xué)生意識(shí)到不同組別數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)會(huì)有不同，計(jì)算方差時(shí)，有必要求偏差平方的平均數(shù)，從而突破理解方差公式的關(guān)鍵，通過理解性的學(xué)習(xí)和記憶提升學(xué)生方差公式應(yīng)用的正確率.

2.關(guān)鍵問題設(shè)計(jì)意圖分析

本節(jié)課中，教師圍繞核心問題的解決、在核心問題解決過程中的思維節(jié)點(diǎn)和關(guān)鍵處設(shè)計(jì)了一系列關(guān)鍵問題，設(shè)計(jì)意圖有如下三個(gè)方面.

一是以關(guān)鍵問題展開新知探究.“方差”問題導(dǎo)學(xué)中，由于教學(xué)時(shí)間的限制，對(duì)核心問題沒有完全放手讓學(xué)生獨(dú)立探究，而是以問題鏈的形式引導(dǎo)學(xué)生展開探究.問題1讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到已學(xué)的統(tǒng)計(jì)方法無法解決問題，需引入新的統(tǒng)計(jì)量；問題2讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到需要考查成績(jī)數(shù)據(jù)的離散情況，探究如何考查一組數(shù)據(jù)的離散情況；問題3引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，從具體問題歸納方差的計(jì)算模型；問題4回顧與反思方差模型形成的過程，突出方差計(jì)算的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).問題1到問題4為方差知識(shí)形成過程中的四個(gè)關(guān)鍵問題，均從知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展處尋根求源，既有生命能量，又能觸發(fā)學(xué)生更深的思考.

二是以模型思想歸納方差模型.數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一.“方差”一課的問題導(dǎo)學(xué)中，核心問題是具體的實(shí)際問題，實(shí)際問題解決后，通過關(guān)鍵問題3有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，從具體問題歸納方差的計(jì)算模型，從而掌握本節(jié)課的基礎(chǔ)知識(shí).同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)的形成應(yīng)用過程中體會(huì)模型思想的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

三是以回顧與反思促進(jìn)理解記憶.核心問題解決并上升到一般模型后，應(yīng)注意問題解決過程的反思與回顧，這不僅有利于基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的辨析和鞏固，還有利于基本思想的明晰和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.本節(jié)課通過關(guān)鍵問題4引導(dǎo)學(xué)生回顧與反思方差公式的關(guān)鍵點(diǎn)和易混、易錯(cuò)點(diǎn)，有利于學(xué)生掌握方差知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)方差公式的理解和記憶，有利于本節(jié)課知識(shí)技能目標(biāo)的達(dá)成，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念和創(chuàng)新意識(shí).

三、“方差”問題導(dǎo)學(xué)啟示

1.要問“好問題”

問題導(dǎo)學(xué)的關(guān)鍵是要設(shè)計(jì)“好問題”.“好問題”應(yīng)是簡(jiǎn)明而有意義的，能反映所學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)；“好問題”應(yīng)在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi).心理學(xué)研究表明，適切的問題容易激發(fā)學(xué)生思考和探究的欲望，使學(xué)生的心理保持積極的、適度的求知傾向.例如，“方差”問題導(dǎo)學(xué)的核心問題是關(guān)于射擊運(yùn)動(dòng)員選拔的實(shí)際問題，不僅學(xué)生熟悉，更是直指方差知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，即數(shù)據(jù)離散情況的量化描述，有利于對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培育.

設(shè)計(jì)“好問題”可以從兩個(gè)方面入手：一是從教學(xué)內(nèi)容（知識(shí)）入手，認(rèn)真鉆研教材，研究知識(shí)的來龍去脈，從知識(shí)的發(fā)生處尋根求源，從知識(shí)形成的關(guān)鍵處刨根究底，在知識(shí)理解的難點(diǎn)處搭梯鋪墊，在數(shù)學(xué)思想方法的結(jié)合處反思提煉.例如，“方差”問題導(dǎo)學(xué)的關(guān)鍵問題1～3圍繞核心問題的解決、在方差知識(shí)形成的關(guān)鍵處發(fā)問；二是從教學(xué)對(duì)象（學(xué)生）入手，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中常常會(huì)在某些學(xué)習(xí)內(nèi)容上產(chǎn)生模糊乃至錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，如何澄清模糊的認(rèn)識(shí)？問在關(guān)鍵處、問在癥結(jié)上的問題有時(shí)要比長(zhǎng)篇大論的解釋效果好得多.通過關(guān)鍵問題制造認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生思考、討論乃至爭(zhēng)辯，在解決問題的過程中加深對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，澄清模糊或錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).教師在鉆研教材的過程中，應(yīng)以學(xué)生的眼光閱讀教材，充分預(yù)測(cè)學(xué)生在探究過程中的易混、易錯(cuò)點(diǎn)和思維盲點(diǎn)，依據(jù)預(yù)測(cè)設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)問題.例如，“方差”問題導(dǎo)學(xué)的關(guān)鍵問題4就問在方差公式理解記憶的易混、易錯(cuò)處.

2.要“問好”問題

有了好問題，還要“問好”問題.“問好”問題一方面要注意問題的層次性，正確選擇并區(qū)分核心問題和非核心的關(guān)鍵問題，其實(shí)關(guān)鍵問題還可以再分不同層次.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，核心問題一般放在課的開始，對(duì)新知學(xué)習(xí)的作用有三個(gè)層次，由低到高依次是：引領(lǐng)新知引入→引領(lǐng)新知探究→引領(lǐng)本質(zhì)揭示.三個(gè)層次不斷提升，一般后一層次包含前一層次.核心問題的使用最好應(yīng)力求統(tǒng)領(lǐng)全課，既引領(lǐng)新知引入，又引領(lǐng)新知探究，更引領(lǐng)本質(zhì)揭示.關(guān)鍵問題則應(yīng)圍繞核心問題，引導(dǎo)學(xué)生展開自主探究與合作交流.例如，“方差”問題導(dǎo)學(xué)的核心問題是一個(gè)關(guān)于射擊運(yùn)動(dòng)員選拔的實(shí)際問題，它統(tǒng)領(lǐng)貫穿全課，關(guān)鍵問題則圍繞實(shí)際問題的解決引導(dǎo)學(xué)生展開探究學(xué)習(xí).

“問好”問題另一方面要注意問題的邏輯性.核心問題和關(guān)鍵問題組成的問題鏈中，問題的順序應(yīng)切合知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)在邏輯線索，讓問題成為學(xué)生探究學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)，讓問題鏈成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的主線.例如，“方差”問題導(dǎo)學(xué)的核心問題有兩個(gè)，核心問題1問如何從兩名選手中選出一人參賽，讓學(xué)生先有“用數(shù)據(jù)說話”的意識(shí)；核心問題2提供比賽數(shù)據(jù)，讓學(xué)生分析數(shù)據(jù)選擇參賽選手；關(guān)鍵問題則從已有統(tǒng)計(jì)量到未知統(tǒng)計(jì)量，從具體到一般.

3.要“問”好問題

“方差”問題導(dǎo)學(xué)有一個(gè)很重要的不足，就是學(xué)生一直在解決教師設(shè)計(jì)好的問題，而沒有給學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的機(jī)會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》一個(gè)重要的變化就是課程總目標(biāo)中“兩能”變?yōu)椤八哪堋?，在分析和解決問題的能力基礎(chǔ)上增加發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.發(fā)現(xiàn)和提出問題是一切創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)，問題導(dǎo)學(xué)目前主要還是教師設(shè)計(jì)問題、學(xué)生探究解決問題，這啟示我們還應(yīng)努力創(chuàng)造機(jī)會(huì)創(chuàng)設(shè)氛圍讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，變過去單純的“去問題教學(xué)”為“去問題生問題并重的教學(xué)”.好的問題導(dǎo)學(xué)還要讓學(xué)生“問”出好問題，在這一方面筆者還需加強(qiáng)探索和研究、實(shí)踐與總結(jié).