孫 力 ，胡緒騰 ，宋迎東 ，2

（南京航空航天大學(xué)能源與動力學(xué)院1，機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實驗室2：南京210016）

0 引言

在工程中設(shè)計承擔(dān)載荷的結(jié)構(gòu)與構(gòu)件必須進(jìn)行靜強(qiáng)度校核。以航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子為例，輪盤的破裂大多是非包容的，會引起災(zāi)難性后果[1]，因此必須對輪盤的破裂轉(zhuǎn)速進(jìn)行靜強(qiáng)度校核。傳統(tǒng)設(shè)計方法通常是對結(jié)構(gòu)在最大正常工作載荷下的應(yīng)力或結(jié)構(gòu)能夠承受的極限載荷進(jìn)行計算或估算，通過與材料許用應(yīng)力對比，確定其安全系數(shù)，最后根據(jù)設(shè)計準(zhǔn)則對靜強(qiáng)度儲備安全系數(shù)的要求評判結(jié)構(gòu)設(shè)計是否滿足靜強(qiáng)度要求。工程上常采用平均應(yīng)力法[2]、小變形解析法[3]、大變形解析法[4]等方法預(yù)計輪盤的破裂轉(zhuǎn)速。這些方法多基于工程經(jīng)驗或簡單輪盤結(jié)構(gòu)，誤差較大。而進(jìn)一步發(fā)展出的基于非線性有限元分析的局部應(yīng)力應(yīng)變法，根據(jù)輪盤體內(nèi)最大應(yīng)力[5]或最大塑性應(yīng)變[6]來確定輪盤的破裂轉(zhuǎn)速，但其無法對輪盤破裂形式進(jìn)行有效預(yù)測和分析。隨著對材料塑性變形和斷裂行為研究的深入，通過對其進(jìn)行合理建模，進(jìn)而通過非線性有限元分析對輪盤的超轉(zhuǎn)破裂形式進(jìn)行預(yù)測成為可能，有利于對輪盤結(jié)構(gòu)進(jìn)行更合理地設(shè)計和優(yōu)化。

對于金屬材料塑性變形行為的研究已較為成熟，而在金屬材料的斷裂行為與建模研究方面，經(jīng)過不斷研究與發(fā)展，提出2類延性斷裂模型：（1）以宏觀變量（如最大拉應(yīng)力、靜水壓力、等效應(yīng)力等）描述材料斷裂特性的宏觀連續(xù)介質(zhì)模型，如：Johson-Cook模型[7]、Wilkins模型[8]；（2）描述微觀孔洞生長聚合的微觀力學(xué)模型，如：McClintock 模型[9]、Gurson 模型[10]、Rice-Tracey模型[11]。其中Johson-Cook等模型在工程上得到廣泛應(yīng)用。Wierzbicki等[12-15]經(jīng)過一系列研究，提出的基于等效塑性應(yīng)變、應(yīng)力3軸度以及Lode角參數(shù)的擴(kuò)展的Mohr-Coulomb模型，也取得了良好的預(yù)測結(jié)果。但這些模型大多是非耦合的，即模型中的損傷參數(shù)不影響材料本構(gòu)模型，使其描述的斷裂行為在應(yīng)力應(yīng)變曲線上表現(xiàn)為斷裂處應(yīng)力突然下降，對材料失穩(wěn)后的表現(xiàn)描述得過于簡單[16]。

為發(fā)展和完善發(fā)動機(jī)輪盤的超轉(zhuǎn)破裂分析技術(shù)，本文針對直接時效GH4169高溫合金，研究和評估耦合的連續(xù)損傷模型對其拉伸變形和斷裂行為的描述和預(yù)測能力，并檢驗了模型對模擬盤超轉(zhuǎn)破裂行為的預(yù)測能力。

1 連續(xù)損傷力學(xué)模型

連續(xù)損傷力學(xué)首先由Kachanov[17]在研究蠕變時提出，又由Rabotnov[18]與Lemaitre[19]等對其進(jìn)一步發(fā)展。連續(xù)損傷力學(xué)認(rèn)為，在某一確定狀態(tài)的材料中，損傷缺陷處于均勻彌散分布狀態(tài)，而此狀態(tài)下材料表現(xiàn)出的性能是由材料自身性能與細(xì)微損傷耦合作用的結(jié)果，并使用宏觀變量對此狀態(tài)下的材料性能進(jìn)行描述。含有損傷的材料彈性響應(yīng)表現(xiàn)為

式中：C0為無損傷下的材料剛度；D為材料當(dāng)前損傷變量。

不同的損傷變量D的確定方法，構(gòu)成一系列連續(xù)損傷模型。采用1種基于等效塑性應(yīng)變的耦合的連續(xù)損傷模型，其最簡單的損傷變量可用如下線性方程描述

式中：εp為等效塑性應(yīng)變；εf為斷裂塑性應(yīng)變。相應(yīng)損傷變量增量為

用線性方程描述材料損傷顯然過于簡單，因此引入損傷指數(shù)m，得到一系列滿足上述特征的損傷變量與損傷變量增量

連續(xù)損傷力學(xué)模型中認(rèn)為孔洞等損傷處于彌散分布狀態(tài)，定義材料性能損失Ds。一般認(rèn)為材料損傷變量與材料性能損失數(shù)值相等，即Ds=D，但文獻(xiàn)[16]指出Ds≤D。故引入軟化指數(shù)β，令Ds=Dβ。定義軟化系數(shù) ω（D）為

得到屈服方程

對于復(fù)雜的損傷速率與軟化速率，損傷變量D和軟化系數(shù)ω（D）可進(jìn)一步推廣為

其中

2 直接時效GH4169合金連續(xù)損傷力學(xué)模型的建立

采用上述連續(xù)損傷力學(xué)模型對直接時效GH4169合金的拉伸變形和斷裂行為進(jìn)行建模，確定其塑性本構(gòu)模型參數(shù)和損傷模型參數(shù)。本構(gòu)模型參數(shù)由光滑圓棒試樣拉伸試驗結(jié)果擬合獲得，損傷模型參數(shù)通過光滑圓棒試樣拉伸響應(yīng)的有限元分析確定。

2.1 塑性本構(gòu)模型

由光滑試樣拉伸試驗得到的直接時效GH4169合金的工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線和真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線如圖1所示。其中真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線由工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線直接轉(zhuǎn)化得到。為建立完整描述其塑性變形響應(yīng)的本構(gòu)模型，假設(shè)材料在頸縮失穩(wěn)前損傷較小，以失穩(wěn)前的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線來建立其塑性本構(gòu)模型。根據(jù)其塑性變形曲線的特點(diǎn)，采用如下非線性硬化模型（式（10））來描述其塑性硬化行為，硬化模型參數(shù)擬合結(jié)果見表1。

圖1 直接時效GH4169拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線與本構(gòu)模型計算曲線

表1 直接時效GH4169塑性本構(gòu)模型參數(shù)

從圖1中可見，本構(gòu)模型可以準(zhǔn)確地描述在試樣頸縮失穩(wěn)之前的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線。

2.2 損傷模型

為描述直接時效GH4169合金的拉伸斷裂行為，采用如下形式的軟化系數(shù)，其中β=1。

由于在建立本構(gòu)模型時假設(shè)頸縮失穩(wěn)前損傷較小，即大量損傷集中在失穩(wěn)后發(fā)生，忽略了失穩(wěn)前損傷，在軟化系數(shù)加入后對本構(gòu)模型進(jìn)行修正得到屈服方程

為確定直接時效GH4169合金的損傷模型參數(shù)，編制了上述本構(gòu)模型與損傷模型的ANSYS用戶材料子程序，通過對光滑圓棒試樣的拉伸響應(yīng)進(jìn)行有限元計算和對比分析確定其損傷模型參數(shù)，結(jié)果見表2。光滑圓棒試樣拉伸試驗結(jié)果與無損傷模型有限元計算結(jié)果（即純彈塑性有限元計算結(jié)果）和連續(xù)損傷模型有限元計算結(jié)果的對比如圖2所示。從圖中可見，建立的直接時效GH4169合金的連續(xù)損傷模型比純彈塑性本構(gòu)模型能夠更好地預(yù)測光滑圓棒試樣的拉伸響應(yīng)。

表2 直接時效GH4169合金損傷模型參數(shù)

圖2 光滑圓棒拉伸響應(yīng)曲線與有限元計算結(jié)果

3 基于連續(xù)損傷模型的直接時效GH4169合金缺口拉伸響應(yīng)預(yù)測

基于上述建立的連續(xù)損傷模型，對缺口半徑R分別為0.5、2和5 mm的3種直接時效GH4169合金缺口圓棒試樣的拉伸響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測分析，驗證連續(xù)損傷模型預(yù)測直接時效GH4169合金拉伸斷裂行為的可行性。缺口試樣的幾何尺寸如圖3所示。3種缺口試樣的有限元模型如圖4所示。

圖3 3種缺口試樣的尺寸

圖4 3種缺口試樣的有限元模型

R=0.5、2和5 mm試樣試驗數(shù)據(jù)與無損傷模型及連續(xù)損傷模型有限元計算結(jié)果的對比分別如圖5～7所示。從圖5中可見，對于R=0.5 mm尖銳缺口試樣，無損傷模型計算的極限強(qiáng)度高于試驗結(jié)果（試驗結(jié)果具有一定分散性），且到達(dá)載荷極限時的軸向變形計算結(jié)果遠(yuǎn)大于試驗結(jié)果。對于R=2、5 mm的缺口試樣，雖然極限強(qiáng)度與達(dá)到極限載荷時的軸向變形誤差不大，但是無損傷模型無法準(zhǔn)確地預(yù)測缺口試樣拉伸響應(yīng)的下降段與斷裂的時刻。

圖5 R=0.5 mm缺口試樣拉伸響應(yīng)試驗與有限元計算結(jié)果

圖6 R=2 mm缺口試樣拉伸響應(yīng)試驗與有限元計算結(jié)果

圖7 R=5 mm缺口試樣拉伸響應(yīng)試驗與有限元計算結(jié)果

綜上可知，連續(xù)損傷模型不僅能夠更準(zhǔn)確地計算其光滑圓棒試樣的拉伸響應(yīng)，而且可以較準(zhǔn)確地預(yù)測3種缺口試樣的拉伸響應(yīng)。對3種缺口試樣，連續(xù)損傷模型不僅可以較準(zhǔn)確地預(yù)測缺口試樣的極限拉伸載荷，而且可以較合理地預(yù)測試樣發(fā)生斷裂的時刻（即發(fā)生斷裂時的變形量）。

4 基于連續(xù)損傷模型的GH4169合金模擬盤破裂轉(zhuǎn)速預(yù)測

基于上述建立的連續(xù)損傷模型，針對直接時效GH4169合金模擬盤超轉(zhuǎn)破裂行為進(jìn)行預(yù)測，驗證連續(xù)損傷模型預(yù)測輪盤破裂轉(zhuǎn)速與破裂模式的可行性。模擬盤實物和有限元模型分別如圖8、9所示。

圖8 模擬盤實物

圖9 模擬盤有限元模型

采用弧長法非線性有限元求解方法對模擬盤的盤緣徑向變形隨轉(zhuǎn)速的變化曲線進(jìn)行計算，得到的模擬盤轉(zhuǎn)速-徑向位移曲線如圖10所示。從圖中可見，該模擬盤的破裂轉(zhuǎn)速計算結(jié)果為37714 r/min。計算終點(diǎn)時模擬盤的等效應(yīng)力與等效塑性應(yīng)變分別如圖11、12所示。從圖11中可見，模擬盤輻板與輪轂過渡區(qū)域集中出現(xiàn)等效應(yīng)力大幅縮減（可認(rèn)為已縮減為0）。而從圖12中可見，模擬盤輻板與輪轂過渡區(qū)域的等效塑性應(yīng)變顯著增大。根據(jù)連續(xù)損傷力學(xué)模型，材料在此處發(fā)生了最大量的損傷，并達(dá)到了斷裂閾值，可認(rèn)為模擬盤在輻板根部處發(fā)生沿圓周方向的開裂（即徑向破裂）。

圖10 模擬盤轉(zhuǎn)速-徑向伸長曲線

圖11 計算終點(diǎn)等效應(yīng)力

圖12 計算終點(diǎn)等效塑性應(yīng)變

為驗證上述結(jié)果，對模擬盤開展了超轉(zhuǎn)破裂試驗，模擬盤在試驗器中的安裝狀態(tài)如圖13所示。模擬盤超轉(zhuǎn)試驗測得的破裂轉(zhuǎn)速為35898 r/min。模擬盤破裂轉(zhuǎn)速有限元計算結(jié)果與試驗結(jié)果的誤差為5.059%。試驗過程中拍攝記錄的模擬盤超轉(zhuǎn)破裂過程如圖14所示。從圖中可見，模擬盤首先在輻板根部區(qū)域產(chǎn)生沿周向的裂紋，裂紋沿周向撕裂一定程度后

圖13 模擬盤試驗安裝狀態(tài)

圖14 模擬盤超轉(zhuǎn)破裂照片整體發(fā)生破壞，這與基于連續(xù)損傷模型預(yù)測的輪盤超轉(zhuǎn)破裂模式是一致的。

5 結(jié)論

采用連續(xù)損傷力學(xué)模型對直接時效GH4169合金的拉伸變形和延性斷裂行為進(jìn)行了理論建模，編制相應(yīng)的ANSYS有限元軟件用戶材料子程序，對直接時效GH4169合金缺口拉伸響應(yīng)和模擬輪盤的超轉(zhuǎn)破裂過程進(jìn)行了有限元預(yù)測，并與試驗結(jié)果進(jìn)行對比，得到如下主要結(jié)論：

（1）建立的連續(xù)損傷力學(xué)模型可以較好地預(yù)測直接時效GH4169合金缺口試樣的拉伸響應(yīng)，不僅可以較準(zhǔn)確地預(yù)測缺口試樣的極限拉伸載荷，而且可以較準(zhǔn)確地預(yù)測缺口試樣的拉伸斷裂變形。

（2）基于連續(xù)損傷力學(xué)模型和弧長法的非線性有限元計算方法可以有效預(yù)測直接時效GH4169合金模擬盤的超轉(zhuǎn)破裂模式，破裂轉(zhuǎn)速預(yù)測誤差約為5%。

（3）建立的連續(xù)損傷力學(xué)模型僅以塑性應(yīng)變?yōu)閰⒘?，而實際材料變形與損傷受到如靜水壓力、lode角等多重參數(shù)的影響，其中的影響關(guān)系有待進(jìn)一步研究。