白曉波，邵景峰，和 征，田建剛

(1.西安工程大學(xué)管理學(xué)院，陜西 西安 710048; 2.陸軍邊海防學(xué)院信息與兵種教研室，陜西 西安 710108)

0 引 言

卡爾曼濾波(Kalman Filter, KF)于1960年由卡爾曼提出,為線性高斯問題提出了解決方案，至今被廣泛應(yīng)用于眾多現(xiàn)實(shí)問題[1]。然而，很多科學(xué)或工程問題為非線性非高斯的，為了解決這類問題，擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter, EKF)[2]基于Taylor展開式，對(duì)非線性系統(tǒng)局部線性化，取得了較為理想的濾波效果，并得到廣泛應(yīng)用[3-5]。劉永進(jìn)等[6]基于EKF對(duì)離散化后的故障模型設(shè)計(jì)擴(kuò)展卡爾曼濾波器的殘差產(chǎn)生器。文獻(xiàn)[7]利用EKF估計(jì)水面和車輛的距離和速度。但是，EKF在針對(duì)強(qiáng)非線性系統(tǒng)時(shí)，濾波效果很不穩(wěn)定，甚至發(fā)散。因此，眾多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[8]基于拉格朗日中值定理，以選擇更好的線性展開點(diǎn)和雅可比矩陣的計(jì)算點(diǎn)，對(duì)EKF進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)算法的濾波精度有所提高，但是卻較大地增加了運(yùn)算量，進(jìn)而影響算法實(shí)時(shí)性。劉毛毛等[9]基于多新息理論對(duì)EKF的估計(jì)值進(jìn)行修正，在算法運(yùn)算量增加不大的情況下，提高了EKF的濾波精度，但是新息數(shù)的選擇受限于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)，而新息數(shù)的選擇影響濾波精度、算法收斂性和實(shí)時(shí)性。文獻(xiàn)[10]通過計(jì)算加權(quán)高斯積分的基本容積點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)權(quán)值對(duì)EKF進(jìn)行改進(jìn)。劉國(guó)海等[11]提出基于插值公式的EKF改進(jìn)算法。寧倩慧等[12]在考慮斜距誤差和多普勒誤差相關(guān)性的情況下將多普勒量測(cè)包含于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，從而提高了目標(biāo)跟蹤的精度。吳漢洲等[13]提出基于多項(xiàng)式擬合的EKF改進(jìn)算法，以提高濾波精度，并在一定程度上提高了算法實(shí)時(shí)性。其他如文獻(xiàn)[14-15]利用迭代的方法提高濾波精度，但是卻較大地增加了算法運(yùn)算量，降低了算法實(shí)時(shí)性。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者都提出了擴(kuò)展卡爾曼濾波的改進(jìn)算法，但是濾波效果與系統(tǒng)方程、過程噪聲方差和量測(cè)噪聲方差緊密相關(guān)，且這些參數(shù)具有時(shí)變特性，使得算法的應(yīng)用有其局限性。因此，研究系統(tǒng)參數(shù)不確定、過程方差和量測(cè)方差信息不準(zhǔn)確導(dǎo)致的EKF估計(jì)隨時(shí)序誤差較大的問題，具有較強(qiáng)的理論意義和工程實(shí)踐意義。為此，本文提出基于核偏最小二乘法優(yōu)化EKF的濾波方法KPLS-EKF。

1 擴(kuò)展卡爾曼濾波與問題描述

擴(kuò)展卡爾曼濾波EKF的核心思想是，利用非線性函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開線性化方法近似表示原系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測(cè)方程。

1.1 擴(kuò)展卡爾曼濾波

擴(kuò)展卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和量測(cè)方程表示如下：

(1)

式中，xk為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，zk為量測(cè)矩陣，uk為系統(tǒng)輸入量，f(·)為非線性映射函數(shù)，利用上一時(shí)刻k-1時(shí)的估計(jì)狀態(tài)計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻k時(shí)的預(yù)測(cè)狀態(tài)；h(·)以預(yù)測(cè)的狀態(tài)計(jì)算預(yù)測(cè)的測(cè)量值；wk和vk分別為系統(tǒng)狀態(tài)噪聲矩陣和量測(cè)噪聲矩陣。wk和vk相互獨(dú)立，均值和協(xié)方差如下：

(2)

式中，δ(k-j)為Kronecker函數(shù)。EKF算法如下所示[16]。

預(yù)測(cè)方程：

(3)

(4)

更新方程：

(5)

(6)

(7)

(8)

Pk|k=(I-KkHk)Pk|k-1

(9)

式中：

1.2 問題描述

EKF隨時(shí)序變化的濾波效果出現(xiàn)較大偏差。這是由于EKF在非線性函數(shù)泰勒展開時(shí)僅用了一階項(xiàng)，而忽略了高階項(xiàng)，同時(shí)在EKF中構(gòu)建的系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測(cè)方程的參數(shù)的不確定和噪聲信息的不準(zhǔn)確，即模型參數(shù)和噪聲隨時(shí)序變化，為濾波效果帶來了較大誤差。如圖1所示。

圖1 擴(kuò)展卡爾曼濾波估計(jì)誤差

在圖1中表示了誤差隨時(shí)序變化的趨勢(shì)。因此，為了解決由于系統(tǒng)參數(shù)不確定和噪聲信息不準(zhǔn)確引起的估計(jì)偏差隨時(shí)序增大的問題，在EKF中融入KPLS學(xué)習(xí)算法，以抑制其誤差增大。

2 基于KPLS優(yōu)化EKF

2.1 核偏最小二乘法KPLS

為了解決非線性系統(tǒng)的預(yù)測(cè)問題，Trejo和Rosipal教授[17]將核函數(shù)引入PLS，提出核偏最小二乘法(Kernel Partial Least Square, KPLS)，其基本原理是，通過非線性核函數(shù)將輸入空間映射到高維特征空間，在特征空間中構(gòu)建線性偏最小二乘回歸，從而實(shí)現(xiàn)原始輸入空間的非線性建模。核偏最小二乘算法的詳細(xì)步驟如下[18]。

步驟1計(jì)算核矩陣：

(10)

利用高斯核函數(shù)計(jì)算矩陣元素，高斯核函數(shù)表示如下：

(11)

式中σl(l=1,2,…,p)表示高斯核函數(shù)寬度。

步驟2對(duì)核矩陣K中心化處理：

(12)

步驟3隨機(jī)初始化Y的得分向量u。

步驟4計(jì)算特征空間中X的得分向量th并進(jìn)行歸一化：

(13)

步驟5計(jì)算Yh的權(quán)值向量ch：

(14)

步驟6計(jì)算Yh的得分向量uh并歸一化：

(15)

步驟7重復(fù)步驟4～步驟6，直到th收斂。

步驟8將矩陣K、 Y縮小，重復(fù)步驟3～步驟7，取得p個(gè)t、 u：

(16)

(17)

以下為訓(xùn)練樣本的擬合公式：

(18)

預(yù)測(cè)樣本擬合公式為：

(19)

Kt=Φ(xnew)Φ(x)T

(20)

2.2 KPLS-EKF算法

2.2.1 KPLS優(yōu)化EKF理論分析

根據(jù)式(3)、式(5)和式(8)可知，在標(biāo)準(zhǔn)的EKF濾波算法中，k時(shí)的預(yù)測(cè)，只利用了線性化后k-1時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)，而忽略了k-2，k-3，…，k-p時(shí)的狀態(tài)估計(jì)信息，這樣隱含的系統(tǒng)參數(shù)時(shí)變信息就不能在以后的狀態(tài)估計(jì)中體現(xiàn)。

KPLS具有較強(qiáng)的泛化性能和抗噪能力，且在預(yù)測(cè)精度和訓(xùn)練時(shí)間與SVM(Support Vector Machine)相當(dāng)。而KPLS基于歷史采樣數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)從原始輸入空間到輸出的非線性建模和預(yù)測(cè)，且不用關(guān)注非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和過程方差等信息。因此，可以利用KPLS建立量測(cè)與EKF收斂估計(jì)之間的核模型，再以此模型計(jì)算k時(shí)的預(yù)測(cè)值，并和EKF預(yù)測(cè)值合成，將此合成值作為k時(shí)狀態(tài)估計(jì)的重要參數(shù)。

基于以上分析，根據(jù)EKF對(duì)非線性系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)過程，基于KPLS對(duì)動(dòng)態(tài)非線性系統(tǒng)的模型重新定義如下：

Y=X·B

(21)

(22)

式中Y為系統(tǒng)狀態(tài)各分量在k時(shí)的狀態(tài)預(yù)測(cè)，X為系統(tǒng)各分量xl在k-1,k-2,k-3,…,k-p時(shí)刻的量測(cè)矩陣，B為模型的參數(shù)向量，由核偏最小二乘法辨識(shí)得到。

2.2.2 基于滑動(dòng)窗口更新KPLS預(yù)測(cè)模型

基本思想是設(shè)定固定長(zhǎng)度的樣本作為訓(xùn)練樣本，并使窗口隨著新樣本的采集不斷向前滑動(dòng)，以替換舊樣本，從而模型能夠定期更新，實(shí)現(xiàn)KPLS實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)。具體過程如下。

步驟1對(duì)于變量X∈Rn×p，因變量Y∈Rn，自變量個(gè)數(shù)為p, n表示樣本個(gè)數(shù)。其輸入構(gòu)成一個(gè)n×p的矩陣，用公式(6)和公式(7)處理后，得核矩陣K。因此，設(shè)定窗口長(zhǎng)度為n，滑動(dòng)距離為q。

圖2 滑動(dòng)窗口更新采樣數(shù)據(jù)過程

2.2.3 高斯核函數(shù)寬度參數(shù)σ的取值

在KPLS中，重點(diǎn)在于核函數(shù)中的寬度參數(shù)σ的取值，其值影響KPLS的性能。σ較大時(shí)，主要應(yīng)用于平緩變化的樣本，具有更優(yōu)的泛化能力；σ較小時(shí)，主要應(yīng)用于劇烈變化的樣本。在多輸入變量的情況下，各變量的寬度參數(shù)σ不同，且隨時(shí)序變化。通常σ的取值可參照小波變換中尺度變化規(guī)律，多尺度小波核有近似正交的特點(diǎn)，適用于連續(xù)函數(shù)的擬合及數(shù)字信號(hào)的局部分析、信噪分離和突變信號(hào)的檢測(cè)。具體方法如下。

σi=2iσ, i=0,1,2,…

(23)

2.2.4 KPLS-EKF量測(cè)噪聲協(xié)方差估計(jì)

為了增強(qiáng)KPLS-EKF的適應(yīng)性，需要解決噪聲信息不準(zhǔn)確的問題。通常，在標(biāo)準(zhǔn)EKF中，濾波增益與系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差和量測(cè)噪聲協(xié)方差都有關(guān)，而量測(cè)噪聲對(duì)濾波效果有更大的影響。因此，基于Sage-Husa算法對(duì)量測(cè)噪聲協(xié)方差進(jìn)行估計(jì)，而忽略系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差的估計(jì)，以提高算法效率。量測(cè)噪聲協(xié)方差的估計(jì)如下所示[20]。

R(k)= dk{[1-H(k)K(k-1)]V(k)VT(k)·

[1-H(k)K(k-1)]T+H(k)P(k-1)HT(k)}+

(1-dk)R(k-1)

(24)

式中，dk為遺忘因子：

(25)

在濾波過程中，量測(cè)噪聲協(xié)方差并非需要及時(shí)更新。那么就需要明確量測(cè)噪聲協(xié)方差的更新條件。通常，采用濾波收斂性作為判據(jù)，判據(jù)表示方法如下：

V(k)VT(k)H(k)P(k|k-1)HT(k)+R(k)

(26)

若式(26)為真，則濾波收斂，無需更新量測(cè)協(xié)方差，令R(k)=R(k-1)；否則，利用式(24)更新量測(cè)協(xié)方差。

2.2.5 KPLS-EKF算法

基于2.2.1節(jié)～2.2.4節(jié)的內(nèi)容，設(shè)計(jì)KPLS-EKF算法流程如圖3所示。

KPLS-EKF的詳細(xì)步驟如下。

步驟1采樣與KPLS建模階段。

(a)利用標(biāo)準(zhǔn)EKF對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行初始估計(jì)，以形成歷史數(shù)據(jù)。

(b)用式(26)判定EKF是否收斂，若收斂，則執(zhí)行步驟(c)；否則，返回步驟(a)進(jìn)行下一時(shí)刻的預(yù)測(cè)。

(c)將量測(cè)數(shù)據(jù)與狀態(tài)估計(jì)值采樣。

(d)判斷樣本數(shù)是否等于N，若等于N，則執(zhí)行步驟(e)；否則，返回步驟(a)進(jìn)行下一時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)。

(e)以量測(cè)數(shù)據(jù)作為輸入矩陣，狀態(tài)估計(jì)值矩陣作為輸出，利用式(10)～式(19)初始化KPLS模型。

圖3 KPLS-EKF算法流程圖

步驟2KPLS預(yù)測(cè)與模型更新。

(g)KPLS窗口向前滑動(dòng)，若滑動(dòng)距離d=q，執(zhí)行步驟(h)；否則，KPLS模型不變，返回步驟(f)。

(h)生成隨機(jī)數(shù)i, i∈[1,5]，利用公式(23)取核參數(shù)σ，再更新KPLS模型，返回步驟(f)。

步驟3EKF預(yù)測(cè)與更新。利用EKF的公式(3)預(yù)測(cè)得k時(shí)狀態(tài)xk|k-1。

(27)

式中ρKPLS表示KPLS預(yù)測(cè)信度，ρEKF表示EKF預(yù)測(cè)信度，理想狀態(tài)下ρKPLS=ρEKF=1/2，即KPLS和EKF預(yù)測(cè)的信度相同。

步驟5利用EKF的公式(5)～公式(8)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)得最終系統(tǒng)狀態(tài)xk|k，并將其作為KPLS模型更新的樣本。

步驟6利用公式(9)更新協(xié)方差矩陣Pk|k。

步驟7若式(26)成立，則系統(tǒng)量測(cè)噪聲協(xié)方差不變，執(zhí)行R(k)=R(k-1)；否則，用式(24)更新R(k)。

在以上KPLS-EKF算法中，融入了基于滑動(dòng)窗口的KPLS，通過時(shí)序采樣、訓(xùn)練與學(xué)習(xí)，構(gòu)建量測(cè)與狀態(tài)的收斂估計(jì)的核矩陣，而無需建立具體的系統(tǒng)狀態(tài)模型，可以避免由于系統(tǒng)模型參數(shù)的不準(zhǔn)確導(dǎo)致的估計(jì)誤差。另外，通過濾波收斂性判定量測(cè)協(xié)方差的更新，提高KPLS-EKF算法在量測(cè)噪聲信息不準(zhǔn)確的情況下的濾波精度。

2.3 KPLS-EKF時(shí)間復(fù)雜度

從理論上分析，KPLS優(yōu)化EKF的可行性KPLS-EKF是在EKF的基礎(chǔ)上融入KPLS，而EKF本身時(shí)間復(fù)雜度較低，具有較高的實(shí)時(shí)性。在融入基于學(xué)習(xí)的KPLS后，整個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度必定高于標(biāo)準(zhǔn)EKF的時(shí)間復(fù)雜度，因此針對(duì)KPLS-EKF算法的詳細(xì)過程進(jìn)行分析，有利于選取合適的參數(shù)，在取得預(yù)期濾波精度的情況下，實(shí)時(shí)性也能夠得到保證。由圖3及其詳細(xì)步驟，可以將KPLS-EKF算法分為如下3部分。

1)數(shù)據(jù)采集和KPLS模型初始化。該階段作為模型的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練階段，其運(yùn)算量取決于2方面，一是采樣的樣本數(shù)N，二是非線性迭代求解T和U時(shí)，設(shè)置的終止迭代次數(shù)t和收斂判據(jù)，以及輸入空間自變量個(gè)數(shù)m，若不能滿足收斂判據(jù)，達(dá)到迭代終止條件后則終止。那么，最壞情況下，學(xué)習(xí)訓(xùn)練KPLS模型的時(shí)間復(fù)雜度為O(N2+m×t)。但是，該階段作為模型學(xué)習(xí)與訓(xùn)練的必要時(shí)間開銷，可以不作為系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)時(shí)的時(shí)間開銷。

3)KPLS模型更新階段。該階段從本質(zhì)上分析，是在達(dá)到模型更新條件時(shí)對(duì)核矩陣進(jìn)行更新，整個(gè)過程和核矩陣初始建模沒有任何區(qū)別，故其時(shí)間復(fù)雜度仍然表示為O(N2+m×t)。

綜合以上分析，在系統(tǒng)狀態(tài)實(shí)時(shí)估計(jì)階段，KPLS-EKF的時(shí)間復(fù)雜度表示為O(2N2+M3+m×t)。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，t、N和M取值都較小，一般在10以內(nèi)，而即使迭代次數(shù)t=100，最壞情況下其迭代運(yùn)算量?jī)H為1000。因此，綜合分析，基于學(xué)習(xí)的KPLS優(yōu)化EKF解決非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)，在理論上具有可行性。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

利用實(shí)驗(yàn)仿真的方法重點(diǎn)探究以下3個(gè)問題。

1)量測(cè)與估計(jì)的樣本數(shù)N的取值。N的大小影響到2個(gè)方面。一是算法時(shí)間復(fù)雜度。N越大，算法運(yùn)算量越大；反之，運(yùn)算量越小。二是合適的樣本數(shù)量有利于構(gòu)建準(zhǔn)確的KPLS核矩陣，從而提高算法的收斂性和預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度。但是運(yùn)算效率與收斂性和精度之間是個(gè)矛盾的問題，因此，這里需要找到合適的樣本數(shù)N，在效率與性能之間找到平衡。

2)KPLS-EKF算法收斂性分析。主要從實(shí)驗(yàn)仿真的角度分析KPLS-EKF在經(jīng)過多少次迭代以后，估計(jì)值與真值的誤差趨向于穩(wěn)定，或者相較于固定值合理波動(dòng)。

3)KPLS-EKF性能分析。重點(diǎn)和其它算法相比，其濾波精度如何，主要通過均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)作對(duì)比分析。由于每次實(shí)驗(yàn)具有隨機(jī)性，因此，每次取均方根誤差的均值作為對(duì)比依據(jù)。

以上實(shí)驗(yàn)的運(yùn)行環(huán)境為Windows XP系統(tǒng)，Intel(R) Core(TM) i3-2130 CPU @ 3.40 GHz & 3.39 GHz, 4 GB內(nèi)存，500 GB硬盤，仿真軟件為Matlab R2012a。實(shí)驗(yàn)的非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程如下：

Xk=f(xk-1,uk,wk)=F×Xk-1+G×sqrt(Q)×rand(2,1)

式中：

F為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，G為過程噪聲驅(qū)動(dòng)矩陣，Q為過程噪聲方差；T為雷達(dá)掃描周期，觀測(cè)站的位置為Xstation=[x0,y0]。量測(cè)方程如下：

Z(k)=Dist(X(:,k),Xstation)+sqrt(R)·rand

式中Dist(·)表示目標(biāo)與觀測(cè)站的距離，R為量測(cè)方差。

系統(tǒng)的初始化數(shù)據(jù)為T=1，總采樣次數(shù)N=200/T,初始狀態(tài)為X(:,1)=[-100,10,200,20]，-100為x方向位置，10為x方向速度，200為y方向位置，20為y方向速度。觀測(cè)站的位置x0=200, y0=300，即Xstation=[200,300]。

3.1 KPLS-EKF樣本數(shù)量選擇

通過多次實(shí)驗(yàn)仿真的方法，分析樣本數(shù)量的選擇對(duì)濾波精度的影響。具體方法如下。

分別取樣本數(shù)N=2,3,…,20建立KPSL核矩陣，并分別進(jìn)行50次仿真實(shí)驗(yàn)。在此基礎(chǔ)上記錄下選取每個(gè)樣本數(shù)時(shí)濾波的RMSE，并計(jì)算50次實(shí)驗(yàn)的RMSE均值，計(jì)算方法如下：

(28)

式中M為取不同的樣本數(shù)時(shí)實(shí)驗(yàn)仿真次數(shù)，N為建立KPLS核矩陣時(shí)的樣本數(shù)。下面所有的RMSE均值計(jì)算都基于公式(28)。以X方向的速度估計(jì)為例，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

(a) N=2

(b) N=3

(c) N=4

(d) N=5

在圖4中，濾波的起始為KPLS-EKF采樣和學(xué)習(xí)階段，在達(dá)到訓(xùn)練樣本以后，有相應(yīng)的濾波結(jié)果輸出。在后續(xù)的濾波階段，KPLS-EKF的值更接近于EKF，即訓(xùn)練樣本為2時(shí)，能夠較快地建立KPLS核矩陣，但是其濾波效果更接近EKF的估計(jì)值，而在N=4時(shí)，其效果更加顯著。而到了N=5時(shí)，效果并不明顯，這是因?yàn)檫^多歷史數(shù)據(jù)的采樣反而會(huì)抑制基于訓(xùn)練樣本構(gòu)建的核模型帶來的有效增益。因此，選取合適的訓(xùn)練樣本數(shù)顯得尤為重要。

基于以上4項(xiàng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，初步得出如下結(jié)論。即樣本數(shù)的增加，KPLS-EKF的濾波結(jié)果逐步靠近真值，雖然較EKF能夠較快收斂于真值附近，卻需要樣本收集和訓(xùn)練為代價(jià)。為了進(jìn)一步分析KPLS-EKF中訓(xùn)練樣本對(duì)濾波結(jié)果的影響，考慮實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)性，取樣本數(shù)N=2,3,…,20，對(duì)每個(gè)取值進(jìn)行50次實(shí)驗(yàn)，并利用式(28)計(jì)算在X方向上速度估計(jì)值和真值的RMSE均值，得出如圖5所示的結(jié)果。

訓(xùn)練樣本數(shù)N∈[3,8] 之間為宜。這是因?yàn)樵趫D5中，整體上隨著樣本數(shù)N 的增加，RMSE均值減小，濾波精度逐步提高。但是，隨著樣本數(shù)的增加，RMSE均值穩(wěn)定在一定范圍內(nèi)，呈一定的波動(dòng)性，主要是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)時(shí)量測(cè)與估計(jì)值都具有隨機(jī)性，其波動(dòng)值在合理范圍內(nèi)，且過多地增加訓(xùn)練樣本并不能有效地增加算法的濾波精度。另外，根據(jù)2.3節(jié)的分析，過多的訓(xùn)練樣本必然帶來時(shí)間復(fù)雜度的增加，影響算法的實(shí)時(shí)性。

圖5 不同樣本數(shù)下KPLS-EKF的RMSE均值

3.2 KPLS-EKF收斂性分析

為了分析KPLS-EKF的收斂性，根據(jù)3.1節(jié)的實(shí)驗(yàn)結(jié)論，設(shè)定樣本數(shù)量N=4，觀察系統(tǒng)狀態(tài)2個(gè)參數(shù)x方向速度和y方向速度的收斂情況。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

(a) X方向速度

(b) Y方向速度

圖6所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與圖4中樣本數(shù)N=4時(shí)的結(jié)果接近。在KPLS-EKF樣本的搜集階段，以EKF的估計(jì)值作為濾波結(jié)果，在達(dá)到樣本數(shù)以后，能夠較快地收斂于真值附近，用了近20步，EKF為40步。以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有一定的隨機(jī)性，因此，進(jìn)行了50次實(shí)驗(yàn)求KPLS-EKF、標(biāo)準(zhǔn)EKF和改進(jìn)MI-EKF[21]，在x和y的2個(gè)方向速度的收斂步數(shù)均值。結(jié)果如表1所示。

表1中的p表示新息數(shù)，N 為訓(xùn)練樣本數(shù)。

從表1中的2個(gè)參數(shù)Vx、 Vy在不同算法的不同參數(shù)下的收斂步數(shù)可以得出以下結(jié)論：

1)KPLS-EKF算法收斂速度和改進(jìn)MI-EKF算法的接近，均優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)EKF算法。但在整體上，KPLS-EKF的收斂速度略好于改進(jìn)MI-EKF算法。

2)通過增加樣本數(shù)，KPLS-EKF算法能夠提高收斂速度，但是，增加到一定程度后，其收斂性并不能顯著提高，這是因?yàn)楹线m的采樣數(shù)據(jù)能夠?qū)V波產(chǎn)生積極的優(yōu)化效果，然而，過多的訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)最終估計(jì)值產(chǎn)生了累積干擾。所以，需要在有效優(yōu)化和抑制累積之間找到相對(duì)平衡點(diǎn)。

表1 3種濾波算法同一參數(shù)收斂步數(shù)均值

序號(hào)濾波算法參數(shù)收斂步數(shù)VxVy1EKF42482KPLS-EKF(N=2)40453KPLS-EKF(N=3)35374KPLS-EKF(N=4)25235KPLS-EKF(N=5)24236改進(jìn)MI-EKF(p=2)38407改進(jìn)MI-EKF(p=3)35368改進(jìn)MI-EKF(p=4)30339改進(jìn)MI-EKF(p=5)2930

3.3 KPLS-EKF性能分析

為了進(jìn)一步說明KPLS-EKF算法的有效性，本文選取訓(xùn)練樣本數(shù)為4，將KPLS-EKF算法與標(biāo)準(zhǔn)EKF算法、MI-EKF算法[9]和文獻(xiàn)[21]的改進(jìn)MI-EKF算法進(jìn)行RMSE均值對(duì)比，以分析其濾波精度和運(yùn)行效率。

(a) X方向速度

(b) Y方向速度

根據(jù)圖7中4種濾波算法的對(duì)比結(jié)果，初步得出結(jié)論為：KPLS-EKF在濾波的初始階段，未采集到足夠的收斂訓(xùn)練樣本，使用EKF的估計(jì)值，故其結(jié)果和EKF相同；在達(dá)到訓(xùn)練樣本數(shù)以后，KPLS-EKF的估計(jì)值相比其它幾種濾波算法，更靠近真實(shí)值。但是，考慮實(shí)驗(yàn)仿真過程存在隨機(jī)性，重復(fù)進(jìn)行50次實(shí)驗(yàn)，設(shè)過程噪聲方差Q=5×diag([0.5,1])，觀測(cè)噪聲方差R=5+rand([1,1])，利用式(28)計(jì)算4種算法的估計(jì)值和真值的均方根誤差(RMSE)均值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 4種算法濾波性能對(duì)比

序號(hào)濾波算法RMSE均值VxVy運(yùn)行時(shí)間均值/s1KPLS-EKF(N=2)8.652611.76180.02252KPLS-EKF(N=3)4.24327.35240.02313KPLS-EKF(N=4)2.16844.27760.02384EKF9.109112.21830.02125MI-EKF(p=2)7.368210.47740.02196MI-EKF(p=3)5.56268.67180.02267MI-EKF(p=4)2.38515.49430.02358改進(jìn)MI-EKF(p=2)7.175910.28510.02219改進(jìn)MI-EKF(p=3)5.36258.47170.022410改進(jìn)MI-EKF(p=4)2.27444.38860.0236

表2中參數(shù)p、 N 的含義同表1。

由表2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出結(jié)論如下：

1)KPLS-EKF在算法效率上較MI-EKF和改進(jìn)的MI-EKF略有降低，是因?yàn)樵跒V波過程中，需要不斷更新核矩陣，增加了算法運(yùn)算量，但是增加量并不明顯，當(dāng)樣本數(shù)2N4 時(shí)，運(yùn)行時(shí)間增加值在0.0001 s～0.0007 s之間，增加幅度在可接受范圍內(nèi)。

2)KPLS-EKF在訓(xùn)練樣本數(shù)N>2時(shí)，RMSE均值均小于EKF、 MI-EKF和改進(jìn)的MI-EKF。在樣本數(shù)N=3時(shí)，KPLS-EKF在X方向速度的RMSE均值為4.2432, Y方向速度的RMSE均值為7.3524，效果優(yōu)于其它3種算法。而到了樣本數(shù)為4，MI-EKF和改進(jìn)的MI-EKF的新息數(shù)為4時(shí)，這3種算法的濾波效果相近。

4 結(jié)束語

擴(kuò)展卡爾曼濾波在對(duì)非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)時(shí)，需要狀態(tài)方程準(zhǔn)確的參數(shù)、量測(cè)與噪聲方差信息，且這些參數(shù)信息存在時(shí)序變化的問題，所以通常建立的系統(tǒng)狀態(tài)方程，難以適應(yīng)時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)。因此，將KPLS融入擴(kuò)展卡爾曼濾波，即通過學(xué)習(xí)算法，建立量測(cè)與EKF收斂估計(jì)值之間的預(yù)測(cè)模型，從而避免了系統(tǒng)狀態(tài)方程、量測(cè)與過程方差信息不準(zhǔn)確導(dǎo)致EKF估計(jì)值隨時(shí)序發(fā)散的問題。然而，在算法的初始采樣階段，其濾波精度并未有效改善，另外，在固定的訓(xùn)練樣本數(shù)下導(dǎo)致算法運(yùn)行效率低于MI-EKF和改進(jìn)的MI-EKF，下一步應(yīng)該在此基礎(chǔ)上研究提高算法效率的方法。