劉亞妮,馮進(jìn)鈐

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

現(xiàn)實(shí)生活中因摩擦、碰撞等非光滑因素導(dǎo)致的大量復(fù)雜現(xiàn)象,使人們對(duì)非光滑系統(tǒng)進(jìn)行了廣泛的研究. 馮進(jìn)鈐[1]將光滑系統(tǒng)的多項(xiàng)式逼近、Melnikov方法及隨機(jī)平均法等初步推廣到非光滑系統(tǒng)中. Bernardo等[2]在其專(zhuān)著中詳細(xì)分析了幾類(lèi)不同非光滑系統(tǒng)的理論,研究了非光滑系統(tǒng)的不連續(xù)映射、不連續(xù)分岔及混沌等運(yùn)動(dòng).

碰撞是眾多非光滑因素中的一種. 早先,Holmes等[3]通過(guò)對(duì)彈跳小球的研究,得出振幅達(dá)到一定值時(shí)Smsale馬蹄的存在性,使得碰撞的研究有了新的突破. 羅等[4]研究了確定性線性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的余維一、余維二分岔以及混沌運(yùn)動(dòng),但沒(méi)有考慮隨機(jī)激勵(lì)情形. 對(duì)于隨機(jī)非線性系統(tǒng)的分岔及混沌運(yùn)動(dòng),文獻(xiàn)[5-9]已進(jìn)行了詳細(xì)討論,但沒(méi)有考慮碰撞振動(dòng)的情形. 馮等[10-11]研究了隨機(jī)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng),以及諧和與白噪聲激勵(lì)下非線性單邊碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué). 由于隨機(jī)因素與非主流因素表現(xiàn)形式多樣,已有文獻(xiàn)討論的還不夠詳細(xì).

Melnikov方法是判定混沌運(yùn)動(dòng)最成熟的解析方法之一. 早期Melnikov方法和理論主要應(yīng)用在光滑系統(tǒng)下, Holmes等[12]用 Melnikov 方法研究了可積系統(tǒng)在小擾動(dòng)情況下的混沌運(yùn)動(dòng). 徐等[13]研究了Melnikov方法在一類(lèi)非線性振子中的應(yīng)用. 目前,Melnikov方法已初步用于非光滑系統(tǒng)中和一些特殊隨機(jī)系統(tǒng)中[14]. 文獻(xiàn)[15]討論了一個(gè)小周期擾動(dòng)下的典型非光滑系統(tǒng)的Melnikov方法及其全局混沌動(dòng)力學(xué);文獻(xiàn)[16]推導(dǎo)出橫截異宿點(diǎn)的Melnikov函數(shù)并將其應(yīng)用于Hamilton系統(tǒng)來(lái)判斷擾動(dòng)后的軌道變化. 本文主要研究具有平方非線性及隨機(jī)干擾的碰撞振動(dòng)系統(tǒng),利用Melnikov方法推導(dǎo)出該系統(tǒng)產(chǎn)生混沌臨界值的必要條件,使得Melnikov方法在碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中的應(yīng)用更加廣泛.

1 單邊碰撞振動(dòng)系統(tǒng)模型及同宿軌

考慮諧和與有界噪聲激勵(lì)下帶平方項(xiàng)單邊碰撞振動(dòng)系統(tǒng),系統(tǒng)方程為

(1)

(2)

式中：a為系統(tǒng)的阻尼系數(shù)；b為諧和激勵(lì)的幅值；下標(biāo)“-”和“+”分別表示碰撞前和碰撞后時(shí)刻；R為碰撞恢復(fù)系數(shù),滿(mǎn)足R=1-εr0；μ為噪聲幅值；ξ(t)為有界噪聲,用一個(gè)含有隨機(jī)頻率與相位的函數(shù)來(lái)表示,形式如下

ξ(t)=sin(ω2t+σW(t)+V).

(3)

式中：ω2為中心頻率,σ為噪聲強(qiáng)度,W(t)為單位維納過(guò)程,V為(0,2π)上均勻分布的隨機(jī)變量.ξ(t)的均值為零,其譜密度函數(shù)為

(4)

令系統(tǒng)(2)中ε=0時(shí),得到一個(gè)未擾系統(tǒng)

科學(xué)家們認(rèn)為，在橙子、釀酒葡萄和可可等農(nóng)作物中開(kāi)展的基因編輯工作能夠極大地保護(hù)這些植物，未來(lái)還能夠降低這些農(nóng)作物對(duì)灌溉、化肥和農(nóng)藥的需求。

(5)

由非線性動(dòng)力學(xué)理論易知,未擾系統(tǒng)(5)存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)S(0,0)和C(1,0),對(duì)應(yīng)的特征方程為

因此,不動(dòng)點(diǎn)S(0,0)對(duì)應(yīng)的特征值為λ=±1,故不動(dòng)點(diǎn)S(0,0)是鞍點(diǎn).C(1,0)對(duì)應(yīng)的特征值為λ=±i,特征根為虛可得出此點(diǎn)是中心. 根據(jù)文獻(xiàn)[12],得到未擾系統(tǒng)(5)的同宿軌

(6)

圖 1 未擾系統(tǒng)(5)的同宿軌Fig.1 The homoclinic orbits of the unperturbed system(5)

由式(6)可得,未擾系統(tǒng)(5)的相空間圖形如圖1所示,圖1中實(shí)線表示同宿軌(xu(t),yu(t))T.

2 Melnikov函數(shù)

由Melnikov理論和文獻(xiàn)[10,13]知,系統(tǒng)(2)在受到有界噪聲擾動(dòng)下的Melnikov函數(shù)為

M(t0)=-aI1-r0I2+bU+μJ.

(7)

其中

(8)

令式(8)

式(7)中前三項(xiàng)為Melnikov函數(shù)的確定性部分,即Md(t0)=-aI1-r0I2+bU,最后一項(xiàng)為Melnikov函數(shù)的隨機(jī)部分,即Mr(t0)=μJ. 利用求有界噪聲ξ(t)的方差來(lái)觀察噪聲擾動(dòng)對(duì)均值的偏離程度. 由隨機(jī)振動(dòng)理論,隨機(jī)項(xiàng)Mr(t0)的方差可描述為

(9)

Sξ(ω)為噪聲譜密度,見(jiàn)式(4).H(ω)為頻率輸入.

故式(9)可化為

(10)

由隨機(jī)Melnikov理論知,在均方意義下系統(tǒng)鞍點(diǎn)附近穩(wěn)定流形與不穩(wěn)流形出現(xiàn)橫截相交的條件為

(11)

根據(jù)式(11),系統(tǒng)(2)出現(xiàn)Smale馬蹄混沌的必要條件為

(12)

圖 2 μc隨r0的變化圖Fig.2 The threshold value μc for the different values of r0

3 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證式(12)中所得結(jié)果的正確性,本節(jié)將借助數(shù)值仿真進(jìn)行驗(yàn)證. 固定阻尼系數(shù)、諧和力幅值、中心頻率、噪聲強(qiáng)度. 在式(12)中取a=2.6,b=1.8,ω=1.5,ω2=1.5,σ=0.5,由式(12)得到噪聲幅值的臨界值μc隨碰撞參數(shù)r0的變化圖,見(jiàn)圖2.

從圖2中可以看出,μc隨著r0的增大而增大.因?yàn)檩^大的碰撞參數(shù)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)消耗更多的能量.而振子要越過(guò)勢(shì)壘,從一個(gè)勢(shì)阱遷移到另一個(gè)勢(shì)阱,對(duì)噪聲激勵(lì)的需求就越大,所以μc隨著r0的增大而增大.

當(dāng)r0=2.0時(shí)臨界值μc=1.687,取μ=1.6,如圖2中點(diǎn)A,在該條件下做出系統(tǒng)(2)的相圖、Poincare截面圖和Lyapunov指數(shù)序列圖,如圖3所示. 從圖3(a)和(b)可以看出,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為規(guī)則運(yùn)動(dòng),不是混沌運(yùn)動(dòng). 圖3(c)為4條樣本的最大Lyapunov指數(shù)序列圖,其最大Lyapunov指數(shù)平均值為λ≈-0.08<0,所以該狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的,也判斷為非混沌態(tài).

(a) 相圖 (b) Poincare截面圖 (c) 最大Lyapunov指數(shù)序列圖 3 μ=1.6時(shí)系統(tǒng)(2)仿真結(jié)果Fig.3 Numerical simulation results of system (2) with μ=1.6

在臨界值之上取μ=5.3,如圖2中點(diǎn)B,此條件下系統(tǒng)(2)的相圖、Poincare截面圖和Lyapunov指數(shù)序列圖如圖4所示. 由圖4中(a)和(b)可以看出,此條件下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)變的混亂. 圖4(c)為4條樣本的最大Lyapunov指數(shù)序列圖,得到最大Lyapunov指數(shù)平均值為λ≈0.008>0,可判定在此條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是混沌的.

(a) 相圖 (b) Poincare截面圖 (c) 最大Lyapunov指數(shù)序列圖 4 μ=5.3時(shí)系統(tǒng)(2)仿真結(jié)果Fig.4 Numerical simulation results of system (2) with μ=5.3

圖 5 不同噪聲強(qiáng)度下μc隨r0的變化圖Fig.5 The threshold value μc for the onset of chaos values r0 with different values of σ

當(dāng)噪聲強(qiáng)度σ分別為0,0.5,1時(shí),得到不同情況下噪聲激勵(lì)參數(shù)μc隨碰撞參數(shù)r0的變化圖,見(jiàn)圖5.從圖5可以看出,在r0固定的情況下,μc隨σ的增大而增大.這是因?yàn)檩^大的噪聲激勵(lì)需要較大的噪聲強(qiáng)度來(lái)抑制.同時(shí)表明,增大噪聲強(qiáng)度可以降低混沌發(fā)生的機(jī)率.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究諧和與有界噪聲激勵(lì)下的單勢(shì)阱碰撞振動(dòng)系統(tǒng). 運(yùn)用Melnikov方法推導(dǎo)出系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的必要條件,模擬得到的相圖和最大Lyapunov指數(shù)顯示在臨界值之下為規(guī)則的運(yùn)動(dòng),臨界值之上會(huì)出現(xiàn)混沌,驗(yàn)證了Melnikov方法的解析結(jié)果.研究表明,在一定參數(shù)條件下,有界噪聲幅值的增大促使混沌運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)生.而且較大的噪聲強(qiáng)度有助于抑制混沌運(yùn)動(dòng).