龔世杰

摘 要 分類討論是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重要的思想方法，分類討論對(duì)學(xué)生思維能力要求比較高，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎际欠诸愑懻摰幕A(chǔ)，學(xué)生學(xué)習(xí)分類討論的方法時(shí)，總是會(huì)遇到分類不清，考慮不周全等問(wèn)題，并且分類討論過(guò)程都比較反鎖，所以如何回避分類討論也是需要掌握的技巧，特別是解決選擇填空問(wèn)題時(shí)，更加有效。

關(guān)鍵詞 分離參數(shù) 正難則反 變換主元 特殊值

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

學(xué)生在處理需要分類討論的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)因思路混亂而無(wú)法得出正確答案，面對(duì)有些問(wèn)題中，如何避免討論也是學(xué)生需要具備的一種能力，對(duì)于分類討論問(wèn)題，能回避則回避，本文總結(jié)了學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中可能會(huì)遇見(jiàn)的能避免討論的常見(jiàn)問(wèn)題。

1分離變量回避討論

在導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)涉及到求參數(shù)的取值范圍，對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，分類討論十分普遍，分離參數(shù)是最常見(jiàn)的避免討論的方法，分離參數(shù)學(xué)生容易掌握，其主要思想是通過(guò)分離參數(shù)，得到參數(shù)與具體函數(shù)之間的關(guān)系，從而得到參數(shù)的范圍。

例1：設(shè)函數(shù)f（x）=ax22x+2，對(duì)于任意的10，求實(shí)a數(shù)的取值范圍。

解析：由題可分離參數(shù)，將a分離出來(lái)，則只需要證明a大于等于右式最大值即可，由導(dǎo)數(shù)易得實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>。若從二次函數(shù)的角度來(lái)處理本題，需要討論二次函數(shù)開(kāi)口方向及對(duì)稱軸與定義域的大小關(guān)系，從而需要進(jìn)行復(fù)雜的分類討論，當(dāng)a>0時(shí)，由拋物線的圖像得a>；當(dāng)a<0時(shí)，經(jīng)計(jì)算端點(diǎn)值解得x∈ ； 當(dāng)a=0時(shí)，不合題意舍去。由上述過(guò)程可見(jiàn)分離參數(shù)的辦法使得整個(gè)問(wèn)題的處理變得簡(jiǎn)潔。

2變換主元回避討論

含參數(shù)的問(wèn)題中，學(xué)生習(xí)慣性的認(rèn)為函數(shù)中自變量就是x，其實(shí)自變量與參數(shù)是相互的，當(dāng)我們把x看做參數(shù)，參數(shù)就可以看成是自變量，在有些問(wèn)題中，已知一個(gè)參數(shù)的范圍求另一個(gè)參數(shù)的范圍時(shí)，可以將已知范圍的參數(shù)作為自變量，使得問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的是二次或高次函數(shù)與一次函數(shù)的變換，將曲線的問(wèn)題變換成直線的問(wèn)題來(lái)解決，從而避免分類討論。

例2：若不等式x2+px>4x+p3對(duì)一切0≤p≤4均成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍。

解析：由題可將原式變?yōu)橐詐為自變量的函數(shù)，顯然它是關(guān)于p的一次函數(shù)，則要使命題成立，只要有兩個(gè)端點(diǎn)處都為正，解得x>3或x<1，本題可以利用二次函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)處理，則需要分類討論。需要分三種情況：（1）當(dāng)p=2時(shí)，x≠1；（2）當(dāng)21；（3）當(dāng)0≤p<2時(shí)，即x<1或x>3，綜上可得，對(duì)任意0≤p≤4均成立，取交集可得x<1或x>3。由過(guò)程可見(jiàn)，分類討論的方法較為復(fù)雜，并且對(duì)學(xué)生的要求很高。

3正難則反回避討論

在面對(duì)至少，至多等問(wèn)題時(shí)，正面考慮可能會(huì)遇到多重情況的討論，此時(shí)可考慮從反面考慮，得到參數(shù)范圍之后，再求參數(shù)范圍的補(bǔ)集。

例3：已知方程4x2ax+1=0在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：從反面考慮若方程4x2ax+1=0在（0，1）內(nèi)沒(méi)有實(shí)根，再通過(guò)分離參數(shù)，易得a<4。若從正面解決該問(wèn)題，需要分以下幾種情況：（1）當(dāng)方程原有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)，即a=4時(shí)，有根符合題意。當(dāng)a=4時(shí)不和題意舍去，故a=4；（2）當(dāng)方程4x2ax+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，由根的分布通過(guò)分兩個(gè)情況可得a>4。綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥4。從兩種解法上看，本題從反面考慮時(shí)就回避了原方程在（0，1）內(nèi)有一根或兩個(gè)不相等的實(shí)根或兩個(gè)相等實(shí)根的討論，簡(jiǎn)化了過(guò)程，但是從反面考慮方程沒(méi)有實(shí)根，因?yàn)槭嵌▍^(qū)間上的討論，也需要討論跟與區(qū)間端點(diǎn)的討論本解法又采用了分離參數(shù)的辦法回避了討論，整個(gè)過(guò)程簡(jiǎn)單清晰，學(xué)生更容易掌握和理解，若從正面解決，需要利用二次函數(shù)根的分布并且需要討論方程根的個(gè)數(shù)，相對(duì)復(fù)雜，因此正難則反的思想也是非常有效的解題策略。

4特殊值法回避討論

特殊值法是通過(guò)一些特殊值得到參數(shù)的范圍，則參數(shù)的范圍為該范圍的子集，從而縮小了參數(shù)的范圍，達(dá)到避免討論的目的，該方法的重點(diǎn)是合理的選取特殊點(diǎn)，特別是區(qū)間的端點(diǎn)及區(qū)間內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)。

例4：已知函數(shù)f（x）=x33（a1）x26ax，當(dāng)a>0時(shí)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：f'（x）=3x36（a1）x6a，因?yàn)閒（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，則f'（x）在區(qū)間[1，2]上恒正或恒負(fù)，而：f'（1）=3<0，所以f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，二次函數(shù)f'（x）在區(qū)間[1，2]上恒負(fù)，易得a≥。如果本題不適用特殊的點(diǎn)縮小考慮范圍，則需要討論函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減兩種情況，在每種情況之下，又需要討論二次函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，需再進(jìn)行分類討論，解題過(guò)程會(huì)非常繁瑣。

解題的方法并不是唯一的，要從多方面去考慮問(wèn)題，找到最優(yōu)的解法，如下例題的解法。

例5：設(shè)f（x）=ax33x+1，若對(duì)于x∈[1，1]總有f（x）≥0成立，求a的值。

解析：由題知f（x）在[1，1]上非負(fù)，所以由端點(diǎn)處的值，得2≤a≤4，求導(dǎo)的導(dǎo)函數(shù)的兩根，由a得范圍可知，不許討論，導(dǎo)數(shù)的兩根均在[1，1]內(nèi)，所以由導(dǎo)數(shù)容易得a≥4。本題若分離參數(shù)也可以解決，過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，所以要在解題方法中選擇最優(yōu)解可以提高解題效率。

避免討論的方法還有很多，本文只從以上四種類型探究了避免分類討論的方法，學(xué)生在處理涉及到需要討論的問(wèn)題時(shí)，如果能靈活使用上述方法，解決問(wèn)題的能力將有所提升。

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