鄭學(xué)濤　郭煥

1 例題呈現(xiàn)

（2018年山東臨沂中考25題）將矩形ABCD繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<360°），得到矩形AEFG，

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，求證：FD=CD；

（2）當(dāng)α為何值時(shí)，GC=GB？畫出圖形并說明理由.

圖1 圖22 題目解答

當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，∠AEF=90°，所以∠DEF+∠AEB=90°，又因?yàn)锳E=AB，所以∠AEB=∠ABE，∠ABE+∠CBD=90°，可得∠DEF=∠CBD，而證明線段相等最常用的方法為證明這兩條線段所在的三角形全等，故想到構(gòu)造一個(gè)與Rt△BCD全等的三角形，而且這一組全等三角形還要為∠DEF=∠CBD為對(duì)應(yīng)角，自然想過延長(zhǎng)GF，交BD的延長(zhǎng)線于N，則可證Rt△BCD≌Rt△EFN，再證FD=FN即可得FD=CD；對(duì)于第（2）問，要保證GC=GB，則G點(diǎn)一定在線段BC的垂直平分線上，因此首先尺規(guī)作圖得到圖3和圖4，當(dāng)α分別為60°（圖3）和300°（圖4）時(shí)，有GC=GB，且兩圖待證結(jié)論都可通過連接DG證明△DGC≌△AGB得到.圖3 圖43 積極聯(lián)想，發(fā)散挖掘

3.1 以題聯(lián)題

無獨(dú)有偶，2018年江蘇無錫中考數(shù)學(xué)的27題以幾乎同樣的問題背景設(shè)置了兩個(gè)問題，這兩個(gè)問題與臨沂25題具有異曲同工之妙，聯(lián)合起來不但使問題類型更既豐富，而且增加問題的趣味性.圖5

如圖5，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，經(jīng)此矩形繞B點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ（0°<θ<90°）得到矩形A1BC1D1，點(diǎn)A1在直線CD上.

（1）若m=2，n=1，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)D1所經(jīng)過路徑的長(zhǎng)度；

（2）將矩形A1BC1D1繼續(xù)繞B點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形A2BC2D2，點(diǎn)D2在直線BC的延長(zhǎng)線上，設(shè)A2B與CD交于E，若A1EEC=6-1，求nm的值.

解 （1）過A1向AB作垂線，可得∠A1BA=30°，點(diǎn)D到點(diǎn)D1所經(jīng)過路徑為弧，其所對(duì)的圓周角為∠A1BA，半徑為2，求得路徑長(zhǎng)度為π3；

（2）因?yàn)锳1EEC=6-1，所以A1CEC=6，可證△BCE∽△BAD，則BCAB=CEAD，即CE=n2m，則A1C=6n2m，在Rt△A1CB中，根據(jù)BC2+A1C2=A1B2得n2+（6n2m）2=m2，解得m=3n，nm=33.

3.2 探究更加一般的中點(diǎn)圖6

對(duì)于臨沂中考第（1）問，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，有CD=DF，且此時(shí)C、D、F三點(diǎn)共線，也即D為CF中點(diǎn)，而更一般的結(jié)論應(yīng)為：當(dāng)0°<α<360°時(shí)，直線BE交線段CF于M，則M是CF的中點(diǎn)，僅當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，如圖6，其證明如下：過F作FQ∥BC交直線BE于Q點(diǎn)，繼而可證△BCM≌△EFQ，可得CM=FQ，再證MF=QF，即可得CM=MF.

3.3 探究線段之間的位置關(guān)系

在3.2問的基礎(chǔ)上，連接AM，則AM和CF具有怎樣的位置關(guān)系？

AM⊥CF，連接AC和AF，可得AC=AF，則△ACF是等腰三角形，根據(jù)三線合一可得AM⊥CF.

3.4 探究最大最小值

設(shè)AB=m，BC=n，當(dāng)α分別為何值時(shí)，CF取得最大和最小值？若設(shè)矩形ABCD對(duì)角線交于P點(diǎn)，連接PF和PE，則△PFE面積的最大值和最小值是多少？

其實(shí)E點(diǎn)在以A為圓心，AE為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)（不與B重合），而C為定點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)C、A、E三點(diǎn)共線且E在A線段AC上時(shí)，CE取得最小值為m2+n2-m，此時(shí)PE⊥PF，則△PFE的面積取得最小值，為2mn-nm2+n24，α=arctannm，當(dāng)C、A、E三點(diǎn)共線且E在線段AC延長(zhǎng)線上時(shí)，CE取得最大值為m2+n2+m，此時(shí)PE⊥PF，則△PFE的面積取得最大值，為2mn+nm2+n24，α=180°+arctannm.對(duì)a和b賦予特殊的值，初中生就可以求解了.

3.5 變轉(zhuǎn)動(dòng)為滑動(dòng)圖7

當(dāng)AB=m，BC=n時(shí)，E是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE作矩形AEFG，使G恰好落在射線CB上，延長(zhǎng)DC到H并連接CF，如圖7，∠FCH的大小發(fā)生變化嗎？如果不變，請(qǐng)用m、n的代數(shù)式表示其正切函數(shù)值.

∠FCH是個(gè)定值，過F作FQ⊥CH，垂足為Q，可證△ABG≌△EQF，故EQ=AB=CD，所以CQ=DE，又因?yàn)椤鰽DE∽△ABG，所以ADAB=AEAG=AEEF=nm，因?yàn)椤鰽DE∽△EQF，所以AEEF=DEFQ=nm，故FQ=mnDE，所以tan∠FCH=mn.4 思考

數(shù)學(xué)是一門靈活的科學(xué)，無論是教師還是學(xué)生，在面對(duì)具體的數(shù)學(xué)題目時(shí)都不要僅僅把自己看作是一個(gè)解答者，有時(shí)候“不識(shí)廬山真面目”的原因就是在解決問題上匆匆而過，在完成一個(gè)題目的解答之后并未再以命題者的身份對(duì)問題進(jìn)行深入探究，挖掘那些隱藏的細(xì)節(jié)，聯(lián)想更多的問題，筆者通過本文和文獻(xiàn)[1]-[3]向讀者提供一些細(xì)致研究題目的方法和視角，希望對(duì)讀者有所幫助.

參考文獻(xiàn)

[1]鄭學(xué)濤，劉元香.從特殊到一般——對(duì)2016年日照中考數(shù)學(xué)21題的深入探究

[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（04）：57-59.

[2]鄭學(xué)濤.還原全貌 深度思考——對(duì)2017年淄博市中考數(shù)學(xué)23題的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（10）：60-62.

[3]鄭學(xué)濤.既見樹木，何不深入森林？——圍繞2017年濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)20題開展的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（04）：60-62.