劉 冬，黃建熒，王 昕，黃一沖，熊 祺，肖志懷

（1.武漢大學 流體機械與動力工程裝備技術(shù)湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430072；2.武漢大學 動力與機械學院，湖北 武漢 430072；3.福建水口發(fā)電集團有限公司，福建 福州 350004）

1 研究背景

水輪機是一類重要的能量轉(zhuǎn)換裝置，具有強烈的非線性和動態(tài)特性，這使得建立其精細化模型十分困難。工程上一般利用穩(wěn)態(tài)特性近似代替動態(tài)特性來建立水輪機模型[1］，對水輪機穩(wěn)定性、動態(tài)特性以及控制策略進行研究。近年來，關(guān)于水電機組的研究多采用水輪機線性化模型[2-5］，其表達式中的傳遞系數(shù)對于分析結(jié)果具有重要影響。目前，求取傳遞系數(shù)以建立水輪機線性模型的方法主要有外特性法和內(nèi)特性法[6］。其中內(nèi)特性法建模依賴水輪機幾何參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)，實際中這些參數(shù)有時難以獲得準確數(shù)值，同時對小開度的效率估計誤差較大，會影響傳遞系數(shù)的計算精度[7］。外特性法常用模型綜合特性曲線的局部線性化表征水輪機在某一工況點附近的動態(tài)特性[8］，該方法的仿真結(jié)果精度較高。此外，利用簡化非線性模型[9］求解水輪機傳遞系數(shù)，雖然計算方便，但對模型簡化過多，得到的傳遞系數(shù)不夠準確和合理[10］。

神經(jīng)網(wǎng)絡能夠?qū)崿F(xiàn)復雜非線性關(guān)系的映射，且具有良好的泛化能力，是建立水輪機非線性模型的有效工具[11］。神經(jīng)網(wǎng)絡的類型眾多，前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡是一類重要的神經(jīng)網(wǎng)絡。國內(nèi)學者利用不同前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡的性能和特點，對水輪機非線性建模方法進行了研究[12-15］。此外，由于模型訓練數(shù)據(jù)通常來自水輪機模型綜合特性曲線，得到的神經(jīng)網(wǎng)絡只能表示水輪機工況區(qū)的小部分，無法全面反映機組的運行特性。利用適當邊界條件對機組特性進行有效延拓[16］，有助于研究機組全工況的動態(tài)品質(zhì)。

基于外特性法的水輪機傳遞系數(shù)計算方法主要采用兩點法或曲線擬合，適合計算有限工況點的傳遞系數(shù)，且計算繁瑣，難以清晰而全面地認識傳遞系數(shù)隨工況的變化規(guī)律。相比混流式水輪機，軸流式水輪機增加了與槳葉角度有關(guān)的傳遞系數(shù)，計算更為復雜。因此，本文以軸流轉(zhuǎn)槳式水輪機為例，結(jié)合模型綜合特性曲線和BP神經(jīng)網(wǎng)絡，提出了一種求取水輪機傳遞系數(shù)的簡便方法。利用模型綜合特性曲線、飛逸特性曲線和邊界條件建立水輪機的兩種神經(jīng)網(wǎng)絡模型（延拓和未延拓模型）；考慮參數(shù)變換和歸一化處理，根據(jù)流量特性和力矩特性神經(jīng)網(wǎng)絡的數(shù)學表達式，計算流量和力矩對各變量的偏導數(shù)；將不同工況的變量值代入偏導數(shù)公式得到相應的傳遞系數(shù)。最后，將該方法與曲線擬合法進行了比較，分析了兩種方法各自的特點，證明了新方法的可行性。

2 基于曲線擬合的水輪機傳遞系數(shù)

軸流轉(zhuǎn)槳式水輪機的分段線性化模型是通過8個傳遞系數(shù)建立的，一般采用曲線擬合的方法求取傳遞系數(shù)，具體步驟如下[17］。

（1）水輪機流量（或力矩）對導葉開度傳遞系數(shù)eqy（或ey）。在定槳模型綜合特性曲線上，按照水輪機的實際運行范圍，等間距畫出若干等單位轉(zhuǎn)速線，并與等開度線相交（如圖1）。取出等單位轉(zhuǎn)速線上的交點，經(jīng)計算得到（Q11，a）（或（M11，a）），并將單位參數(shù)Q11（或 M11）換算為實際流量（或力矩），做出導葉開度和流量（或力矩）關(guān)系的擬合曲線，其斜率即為相應工況的eqy（或ey）。

圖1 S水輪機槳葉角度15°時的模型綜合特性曲線

（2）水輪機流量（或力矩）對槳葉角度傳遞系數(shù)eqz（或ez）。根據(jù)（1）中取出的交點，計算得到（Q11，φ）（或（M11，φ）），將單位參數(shù)換算為實際值，做出槳葉角度和流量（或力矩）關(guān)系的擬合曲線，其斜率即為相應工況的eqz（或ez）。

（3）水輪機流量（或力矩）對水頭傳遞系數(shù) eqh（或 eh）。根據(jù)（1）中取出的交點，計算得到（Q11，n11）（或（M11，n11）），將單位轉(zhuǎn)速換算為在額定轉(zhuǎn)速時的水頭，做出水頭和流量（或力矩）關(guān)系的擬合曲線，其斜率即為相應工況的eqh（或eh）。

（4）水輪機流量（或力矩）對轉(zhuǎn)速傳遞系數(shù)eqx（或ex）。根據(jù)（1）中取出的交點，計算得到（Q11，n11）（或（M11，n11）），將單位轉(zhuǎn)速換算為在不同水頭時的轉(zhuǎn)速，做出轉(zhuǎn)速和流量（或力矩）關(guān)系的擬合曲線。水輪機并網(wǎng)后運行在額定轉(zhuǎn)速，該點斜率即為要求的eqx（或ex）。

相比兩點法計算指定工況點的傳遞系數(shù)，曲線擬合法計算量小，程序上也容易實現(xiàn)，但對于不同類型的傳遞系數(shù)，擬合函數(shù)的類型和階次應有所差別。通常曲線擬合法采用二次或三次多項式，難以做到對所有的傳遞系數(shù)都能達到最優(yōu)擬合，甚至可能出現(xiàn)過擬合，這都將給計算結(jié)果帶來誤差。

3 水輪機神經(jīng)網(wǎng)絡模型

3.1 基于神經(jīng)網(wǎng)絡的水輪機模型軸流轉(zhuǎn)槳式水輪機有表示協(xié)聯(lián)關(guān)系的模型綜合特性曲線，以及多個定槳模型綜合特性曲線。本文使用后者并結(jié)合邊界條件建立軸流轉(zhuǎn)槳式水輪機的神經(jīng)網(wǎng)絡模型，該模型的輸入為單位轉(zhuǎn)速、導葉開度和槳葉角度，輸出則為水輪機單位流量或單位力矩。利用神經(jīng)網(wǎng)絡建立該函數(shù)關(guān)系的具體步驟如下。

（1）讀取各個定槳模型綜合特性曲線和飛逸特性曲線中等開度線和等效率線上的數(shù)據(jù)集，分別記為前者如圖 2（a）圓點所示。

（2）對等效率線上的數(shù)據(jù)采用薄板樣條插值法，得到擬合關(guān)系利用該關(guān)系計算等開度線上各個工況點的力矩，得到力矩特性的數(shù)據(jù)集如圖 2（b）圓點所示。

圖2 槳葉角度15°時的S水輪機運行特性的延拓

3.2 水輪機神經(jīng)網(wǎng)絡模型的延拓水輪機運行特性的延拓通常從3個方面考慮：零開度邊界條件，零單位轉(zhuǎn)速邊界條件和飛逸邊界條件。

（1）飛逸邊界條件?？蓮乃啓C飛逸曲線上獲取一系列數(shù)據(jù)點如圖 2（a）。機組飛逸條件下，水輪機輸出力矩為0，效率為0，因此力矩特性的飛逸數(shù)據(jù)點為如圖 2（b）。

（2）零開度邊界條件。導葉開度為0時，無論機組有無轉(zhuǎn)速，水輪機過流量為0，如圖2（a）。此時水輪機單位力矩為負值，且與單位轉(zhuǎn)速的平方成正比。在各單位轉(zhuǎn)速下，對導葉開度和單位力矩的關(guān)系進行多項式擬合，解出零開度下的單位力矩。根據(jù)關(guān)系找到最佳的k值，并對數(shù)據(jù)進行適當調(diào)整，使之更符合實際規(guī)律[13］，如圖2（b）。

（3）零單位轉(zhuǎn)速邊界條件。單位轉(zhuǎn)速為0時，機組沒有轉(zhuǎn)動，單位出力和效率均為0。單位流量和單位力矩可根據(jù)單位出力、單位轉(zhuǎn)速和效率求得，但由于出現(xiàn)“0/0”型不定式，需借助洛必達法則（L’Hospital rule）求解[16］，如式（1）和式（2）。

式中，單位出力和效率均可表示為單位轉(zhuǎn)速的函數(shù)。

4 基于神經(jīng)網(wǎng)絡的水輪機傳遞系數(shù)

水輪機神經(jīng)網(wǎng)絡模型本質(zhì)上是一多元函數(shù)，根據(jù)水輪機傳遞系數(shù)的定義式，對該函數(shù)求偏導數(shù)可以實現(xiàn)計算水輪機傳遞系數(shù)的目的。具體步驟如下：

（1）根據(jù)水輪機特性曲線構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡，得到水輪機輸入和輸出參數(shù)的函數(shù)關(guān)系為

式中：fq1和 fm1、 fq2和 fm2分別表示神經(jīng)網(wǎng)絡隱含層和輸出層所采用的激活函數(shù)；wq1和wm1、wq2和wm2表示神經(jīng)網(wǎng)絡隱含層和輸出層的權(quán)值；bq1和bm1、bq2和bm2表示神經(jīng)網(wǎng)絡隱含層和輸出層的閾值。

（3）對上一步的函數(shù)關(guān)系求偏導數(shù)，得到傳遞系數(shù)的一般表達式。以水輪機流量對水頭傳遞系數(shù)為例，有

此外，由于神經(jīng)網(wǎng)絡訓練之前一般需要對數(shù)據(jù)進行歸一化處理，因此神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入輸出和實際值并不相同。若采用最大最小值法，則呈 y=kx+b的線性關(guān)系，其比例系數(shù)和截距應在神經(jīng)網(wǎng)絡求導公式中有所體現(xiàn)。

5 實例及對比研究

研究表明：BP神經(jīng)網(wǎng)絡在水輪機非線性建模中具有較高的精度。因此，本文采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡[18］建立軸流轉(zhuǎn)槳式水輪機非線性穩(wěn)態(tài)模型。經(jīng)過比較，采用含有一個隱含層的神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，流量和力矩特性神經(jīng)網(wǎng)絡的隱含層神經(jīng)元數(shù)分別為8和10，激活函數(shù)均采用logsig函數(shù)，輸出層激活函數(shù)為線性函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡性能評價函數(shù)采用均方誤差MSE，訓練次數(shù)為1000。為保證訓練效果，本文將全部樣本分為3類：訓練樣本（80%）、驗證樣本（10%）和測試樣本（10%）。神經(jīng)網(wǎng)絡訓練方法采用LM算法（Levenberg-Marquardt algorithm）[19-20］，該方法兼具梯度下降法和高斯牛頓法的優(yōu)點，可以保證迭代過程的誤差性能總是減小的。表1給出了本文建立水輪機神經(jīng)網(wǎng)絡模型所使用的部分樣本數(shù)據(jù)。

延拓后的神經(jīng)網(wǎng)絡訓練結(jié)果如圖3?？梢钥闯觯髁刻匦陨窠?jīng)網(wǎng)絡的性能在訓練200次后穩(wěn)定，均方誤差為3.92×10-5；力矩特性神經(jīng)網(wǎng)絡的性能在訓練500次后穩(wěn)定，均方誤差為1.45×10-5；3類樣本的均方誤差變化保持了較好的一致性，表明訓練過程中沒有發(fā)生明顯的過擬合現(xiàn)象。根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡的總體誤差，網(wǎng)絡預測值和實際值基本一致。流量特性的各個樣本誤差多數(shù)限制在±0.02，少數(shù)樣本誤差位于±（0.02～0.04）；力矩特性的各個樣本誤差多數(shù)限制在±0.05，少數(shù)樣本誤差位于±（0.05～0.1）。根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡繪制水輪機流量特性和力矩特性曲面，如圖4?？梢园l(fā)現(xiàn)，神經(jīng)網(wǎng)絡擬合曲面除了在運行工況區(qū)有較好的逼近效果，在邊緣處也符合實際的邊界條件。

需要指出的是，零轉(zhuǎn)速邊界條件的確定涉及函數(shù)求導，對曲線擬合精度要求很高，為了減少因此帶來的誤差，本文對水輪機運行特性的延拓僅考慮零開度和飛逸邊界條件。

為了驗證神經(jīng)網(wǎng)絡求導法計算水輪機傳遞系數(shù)的有效性和精度，本文將兩種神經(jīng)網(wǎng)絡模型（延拓和未延拓模型）與多項式擬合法進行對比，結(jié)果如圖5—圖9所示。

表1 建立水輪機神經(jīng)網(wǎng)絡模型的部分樣本數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)）

圖3 考慮延拓的S水輪機神經(jīng)網(wǎng)絡的性能變化及總體誤差

圖4 槳葉角度15°時經(jīng)延拓的S水輪機神經(jīng)網(wǎng)絡模型

（1）在額定水頭、槳葉角度15°時，水輪機流量（或力矩）與導葉開度之間的關(guān)系，以及相應的傳遞系數(shù)eqy（或ey）見圖5和圖6。可以看出，未延拓的神經(jīng)網(wǎng)絡擬合效果和多項式擬合基本一致，計算的傳遞系數(shù)在遠離端點處差別不大。延拓的神經(jīng)網(wǎng)絡由于受到邊界條件的限制，其擬合曲線在導葉開度相對值為0.3時開始與前兩者分離，該處的傳遞系數(shù)偏大，右端點同樣如此。根據(jù)計算結(jié)果，當導葉開度位于50%～90%的范圍內(nèi)，采用三種方法均可得到較為準確的傳遞系數(shù)。當導葉開度小于50%或大于90%時，受邊界條件的影響，采用延拓的神經(jīng)網(wǎng)絡求取水輪機傳遞系數(shù)更為合適。

圖5 3種方法的擬合結(jié)果和求取的傳遞系數(shù)eqy（額定水頭，槳葉角度15°）

圖6 3種方法的擬合結(jié)果和求取的傳遞系數(shù)ey（額定水頭，槳葉角度15°）

（2）在額定水頭、導葉開度為60%時，水輪機流量（或力矩）對槳葉角度的傳遞系數(shù)eqz（或ez）見圖7。可以看出，由于沒有槳葉角度的邊界條件限制，三種方法計算的eqz（或ez）值非常接近，且變化規(guī)律一致。此時無論采用哪種方法，都能計算出相對可靠的傳遞系數(shù)。然而，槳葉角度的數(shù)據(jù)相對較少，且變化規(guī)律有時并不符合高次多項式，這會降低曲線擬合法的求解精度。

圖7 3種方法求取的傳遞系數(shù)eqz和ez（額定水頭，導葉開度60%）

（3）在導葉開度為80%，槳葉角度為15°時，水輪機流量（或力矩）對水頭的傳遞系數(shù)eqh（或eh）見圖8。這里的水頭是以額定轉(zhuǎn)速折算得到的。圖中，未延拓的神經(jīng)網(wǎng)絡在左端點處的傳遞系數(shù)eqh與其他兩種方法有明顯差別，但相比圖5—圖7，曲線斜率的變化幅度更小。同樣地，雖然兩種神經(jīng)網(wǎng)絡計算的eh直觀上與多項式求導的結(jié)果有很大不同，但表2顯示出三種方法的計算結(jié)果基本一致。由于實際數(shù)據(jù)點的分布規(guī)律近似呈一條直線，斜率變化不大，神經(jīng)網(wǎng)絡的求導結(jié)果更為合理。

圖8 3種方法求取的傳遞系數(shù)eqh和eh（導葉開度80%，槳葉角度15°）

表2 不同方法求取eh的計算結(jié)果對比

（4）在導葉開度為80%，槳葉角度為15°時，水輪機流量（或力矩）對轉(zhuǎn)速的傳遞系數(shù)eqx（或ex）見圖9。由于機組并網(wǎng)后運行在額定轉(zhuǎn)速附近，邊界條件（由于坐標限制，圖中沒有畫出飛逸特性）對該處傳遞系數(shù)的影響不如（1）中明顯，延拓的神經(jīng)網(wǎng)絡在計算結(jié)果上與其他兩種方法差別不大。在偏離額定轉(zhuǎn)速較多時，未延拓的神經(jīng)網(wǎng)絡與多項式求導法計算所得的傳遞系數(shù)及其變化更為接近，但由于二者未考慮邊界條件，計算結(jié)果會有一定偏差。

圖9 3種方法求取的傳遞系數(shù)eqx和ex（導葉開度80%，槳葉角度15°）

最后，本文對上述方法得到的傳遞系數(shù)隨工況變化的規(guī)律進行了研究。圖10表示在不同水頭下，eh隨導葉開度的變化情況。神經(jīng)網(wǎng)絡求導法得到的傳遞系數(shù)變化規(guī)律清晰直觀，eh隨導葉開度增大呈先增大后減小的趨勢；多項式求導法得到的變化規(guī)律不夠清晰甚至毫無規(guī)律。

6 結(jié)論

本文提出了利用神經(jīng)網(wǎng)絡求導計算水輪機傳遞系數(shù)的新方法，實現(xiàn)了水輪機非線性模型和線性模型之間的有機轉(zhuǎn)換。神經(jīng)網(wǎng)絡求導法有效克服了傳統(tǒng)方法的缺點，既保證了計算精度，又減小了計算量。試驗結(jié)果表明，通過該方法得到的水輪機傳遞系數(shù)理論上包含了所有的水輪機工況，即使在數(shù)據(jù)不足的情況下，依靠神經(jīng)網(wǎng)絡的泛化能力，依然能夠?qū)鬟f系數(shù)進行有效求解。同時，該方法得到的傳遞系數(shù)隨工況的變化遵循一定規(guī)律，可為研究水輪機動態(tài)特性提供重要的指導和理論依據(jù)。