于丁 張虎勇 陳佩玉 楊林 傅德民

(西安電子科技大學(xué) 天線與微波技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710071)

引 言

根據(jù)球面近場天線測量的模式展開理論,天線在無源區(qū)域的輻射場可以表示為球面波模式的加權(quán)和[1]. 無論是在天線的近場輻射區(qū)還是遠(yuǎn)場輻射區(qū),球面波模式的系數(shù)不會發(fā)生改變,因此球面波模式系數(shù)的求解就成了球面近場測量的核心問題,它是近場和遠(yuǎn)場之間的一座橋梁. 通常情況下,球面波模式系數(shù)是利用各模式之間的正交性,在包圍待測天線的采樣球面上進(jìn)行積分來獲得. 理論上,如果要得到高精度的計算結(jié)果,需要知道整個包圍待測天線采樣面上的完整數(shù)據(jù)[2]. 在實(shí)際測量中,采樣面上的部分區(qū)域的近場數(shù)據(jù)往往不能獲得,在近遠(yuǎn)場變換時,一般將未采樣區(qū)域的近場置為零. 因此,在掃描面邊界就會形成突然的不連續(xù)性,這將會引入截斷誤差. 尤其對于相控陣天線,在波束掃描情況下,當(dāng)最大輻射方向和掃描面邊界相距較近時,往往會引起較大的截斷誤差.

關(guān)于這種截斷誤差減小的方法在一些文獻(xiàn)中有提到[3],例如通過建立一個線性系統(tǒng)的匹配技術(shù)對不完整的測量數(shù)據(jù)來預(yù)估球面波模式系數(shù)可以減小截斷誤差[4],通過這種方法也衍生出了許多近場數(shù)據(jù)的重構(gòu)技術(shù). 目前減小球面近場測量中的截斷誤差主要有兩種方法:一種是基于模式展開和模式濾波的迭代算法[5-6],利用天線輻射場球面波模式個數(shù)是嚴(yán)格由包圍待測天線最小球的半徑?jīng)Q定的,文獻(xiàn)[7]在高整合車載天線測量時用到了這種方法. 另一種方法是基于等效電流(equivalent current, EQC)展開的[8],這種方法把EQC看作最小能量算子,在采樣區(qū)域和截斷區(qū)域之間形成一個平滑的過度. 還有將模式濾波方法用在減小平面近場測量中的環(huán)境誤差[9],這種方法是將平面近場測量求得的方向圖經(jīng)過坐標(biāo)平移后用球面波模式展開后再進(jìn)行模式濾波,和球面近場測量的模式濾波本質(zhì)上是一樣的. 本文提出一種通過余弦窗函數(shù)對近場數(shù)據(jù)加權(quán)來減小截斷誤差的方法,根據(jù)采樣內(nèi)插原理對近場數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán),使近場數(shù)據(jù)在采樣區(qū)域和未采樣區(qū)域的邊界處平滑過渡,從而使截斷誤差減小.

1 基于模式展開的球面近遠(yuǎn)場變換

基于模式展開的球面近遠(yuǎn)場變換的基本思路是天線在無源區(qū)域的輻射場用球面波模式的加權(quán)和來表示,無論是近場還是無窮遠(yuǎn)處球面波模式的系數(shù)不變,因此在近場區(qū)域求得球面波模式系數(shù)后通過對特殊函數(shù)的大宗量近似就可以求得遠(yuǎn)區(qū)場的性質(zhì)[1].

設(shè)一個線極化探頭在包圍待測天線近場區(qū)域的球面上分別在θ方向和φ方向進(jìn)行數(shù)據(jù)采集,在理想情況下探頭的輸出等于或正比于輻射場電場的強(qiáng)度,則在該球面上輻射場電場的切向場可表示為

(1)

由于掃描面處于無源區(qū)域,因此探頭采集的場還可表示為

(2)

式中,M和N是標(biāo)量亥姆霍茲方程的解生成的矢量函數(shù),且滿足矢量亥姆霍茲方程,它們的表達(dá)式為

(3)

(4)

(5)

球面波模式系數(shù)amn和bmn可以利用球面波模式的正交性分別乘其共軛在掃描面上積分求得:

(6)

(7)

在遠(yuǎn)區(qū)場可以對球漢克爾函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行大宗量近似來處理,其近似表達(dá)式為:

(8)

(9)

式(8)和式(9)中都包含了球面波因子e-jkr/(kr),因去除球面波因子后剩下的部分只與θ和φ有關(guān),據(jù)此可以求得遠(yuǎn)場方向圖函數(shù)的各分量為:

(10)

(11)

則遠(yuǎn)場方向圖函數(shù)為

(12)

2 余弦窗函數(shù)

在實(shí)際測量中,由于近場數(shù)據(jù)采集不完整,而在球面上通過積分求解模系數(shù)時只能把未采集到的數(shù)據(jù)設(shè)為零,這就意味著求解積分時待測天線在未采樣區(qū)域的輻射場是不正確的. 這種數(shù)據(jù)在采集區(qū)域到未采集區(qū)域的突然不連續(xù)性形成了截斷誤差. 研究發(fā)現(xiàn),在球面近場測量中對包含在截斷區(qū)域的近場數(shù)據(jù)進(jìn)行加窗處理可以有效地減小截斷誤差,讓測量精度達(dá)到預(yù)期要求. 本節(jié)從數(shù)字信號處理的思路出發(fā),將窗函數(shù)應(yīng)用在相控陣天線球面近場測量中來減小截斷誤差.

由采樣定理可知,對于一個有限帶寬的模擬信號xa(t),如果采樣信號的角頻率大于或等于該信號角頻率的兩倍,則該信號可以由抽樣值唯一表示. 設(shè)采樣信號為pδ(t),則采樣后的信號可以表示為

(13)

對式(13)兩邊取傅里葉變換得

(14)

(15)

該式即為內(nèi)插函數(shù),它表明了模擬信號如何通過采樣信號恢復(fù),即原模擬信號等于采樣值乘以對應(yīng)的插值函數(shù)的和.

內(nèi)插函數(shù)可以看作是原采樣信號的加權(quán)函數(shù),即對各個采樣點(diǎn)加了權(quán)值,加權(quán)函數(shù)也稱為窗函數(shù).在球面近場測量中,對包含在截斷區(qū)域的近場數(shù)據(jù)加窗時,應(yīng)同時考慮對其幅度和相位加窗.

窗函數(shù)的類型有很多,這里重點(diǎn)對余弦窗函數(shù)做介紹．

余弦窗函數(shù)的幅度分布和相位分布如圖1所示,x%是單側(cè)加窗范圍占整個采樣范圍的百分比,dmp是最大相位延遲. 設(shè)一個方向采樣總點(diǎn)數(shù)為N,采樣間隔為dθ,因此采樣長度為W=(N-1)dθ,設(shè)

(a) 幅度分布(a) Magnitude of T(n)

(b) 相位分布(b) Phase of T(n)圖1 余弦窗函數(shù)的幅度和相位分布Fig.1 The magnitude and phase distribution of the cosine window function

余弦窗函數(shù)的表達(dá)式為

T(n)=A(n)ejP(n).

(16)

式中,n=1,2,3,…,N;A(n)為幅度;P(n)為相位,它們的表達(dá)式為

(17)

(18)

因?yàn)橛嘞掖昂瘮?shù)是一個復(fù)數(shù)窗,既包含了幅度,又包含了相位. 而近場數(shù)據(jù)也是復(fù)數(shù),因此要考慮到既對幅度加窗,也要對相位加窗. 還應(yīng)該注意的是加窗方式[10],對于包含在截斷區(qū)域的球面采樣數(shù)據(jù)既可以在θ方向加窗,也可以在θ和φ方向同時加窗. 由于本文中的例子只在θ方向引入了截斷誤差,為了方便說明窗函數(shù)對減小截斷誤差的作用,文中的所有加窗均只在θ方向加窗,如圖2所示.

圖2 一種沿θ方向的加窗方式Fig.2 A method of window weighted along the θ direction

3 計算機(jī)仿真

本文以半波對稱振子陣列為天線模型,來驗(yàn)證球面近遠(yuǎn)場變換的正確性. 如圖3所示,半波對稱振子陣列位于xoy平面上, 且振子單元沿x軸方向

放置. 設(shè)振子在x方向放置的個數(shù)為M′=13,間距為dx=0.7λ(λ為波長);在y方向放置的個數(shù)為N′=9,間距為dy=0.7λ,對稱振子單元的編號如圖3中所示. 設(shè)陣列單元沿x方向和y方向的波腹電流分布分別為-55 dB副瓣的切比雪夫分布和余弦分布. 該半波對稱振子陣列的理論近場數(shù)據(jù)可由文獻(xiàn)[11]求得,理論遠(yuǎn)場方向圖可由文獻(xiàn)[12]求得.

圖3 半波對稱振子陣列模型Fig.3 The half-wavelength dipole array model

3.1 余弦窗函數(shù)的應(yīng)用

設(shè)該陣列天線在近場數(shù)據(jù)的截斷角為θt=45°,不失一般性,設(shè)天線最大輻射方向?yàn)棣?20°,φ=0°. 在有限掃描面和整個采樣球面情況下,球面近遠(yuǎn)場變換所得遠(yuǎn)場方向圖如圖4所示. 從圖中可以看出,當(dāng)采樣面為整個球面時,球面近遠(yuǎn)場變換結(jié)果和理論值吻合較好,從而證明了該球面近遠(yuǎn)場變換的正確性,而只采集部分近場區(qū)域時引入了較大的截斷誤差.

圖4 利用不同近場數(shù)據(jù)區(qū)域的球面近遠(yuǎn)場變換所得E面方向圖Fig.4 The E-plane patterns by spherical near-field to far-field transformation with different data region

現(xiàn)在考慮對近場數(shù)據(jù)進(jìn)行加余弦窗函數(shù)處理后,再做近遠(yuǎn)場變換. 取余弦窗函數(shù)的參數(shù)為x%=40%,dmp=1°,最終的計算結(jié)果如圖5所示.

圖5 對近場數(shù)據(jù)加窗后的球面近遠(yuǎn)場變換所得E面方向圖(x%=40%, dmp=1°)Fig.5 The E-plane pattern by spherical near-field to far-field transformation with near-field data weighted by cosine window function(x%=40%, dmp=1°)

從圖5可以看出,對近場數(shù)據(jù)加窗后再做近遠(yuǎn)場變換得到的遠(yuǎn)場方向圖更接近理論值,主瓣相對不加窗有改善,在副瓣部分效果特別明顯,其量化誤差統(tǒng)計如表1所示.現(xiàn)在改變窗函數(shù)參數(shù),其他保持不變,取x%=32%,dmp=0°,計算結(jié)果如圖6所示,誤差分析如表2所示.

圖6 對近場數(shù)據(jù)加窗后的球面近遠(yuǎn)場變換所得E面方向圖(x%=32%, dmp=0°)Fig.6 The E-plane pattern by spherical near-field to far-field transformation with near-field data weighted by cosine window function(x%=32%, dmp=0°)

方向圖值左側(cè)第一副瓣左側(cè)第二副瓣右側(cè)第一副瓣右側(cè)第二副瓣 理論值/dB-54.31-54.24-57.11-57.88 不加窗/dB-39.98-42.88-36.65-41.56 加窗/dB-44.29-56.14-56.98-60.26 誤差減小/dB4.319.4620.3313.94

表2 x%=32%, dmp=0°時誤差分析Tab.2 Error analysis when x%=32%, dmp=0°

從表1可以看出,不對近場數(shù)據(jù)加窗時,球面近遠(yuǎn)場變換所得方向圖在左側(cè)第一副瓣處的值比理論值高14.33 dB,當(dāng)取窗函數(shù)參數(shù)為x%=40%,dmp=1°時,對近場數(shù)據(jù)加權(quán)處理后,相對于理論值,誤差減少了4.31 dB. 在左側(cè)第二副瓣處,對近場數(shù)據(jù)加窗后球面近遠(yuǎn)場變換所得方向圖的值由-42.88 dB減小到-56.14 dB,相對于理論值,誤差減小了9.46 dB. 而在主瓣右側(cè), 這種方法對誤差的減小更為明顯,在右側(cè)第一副瓣處,對近場數(shù)據(jù)加窗后所得方向圖的值由-36.65 dB減小到-56.98 dB,相對于理論值,誤差減小了20.33 dB;同時在右側(cè)第二副瓣處,誤差減小了13.94 dB,這是因?yàn)樵谟覀?cè)采樣面邊緣附近,由于近場數(shù)據(jù)的不連續(xù)性引入的截斷誤差較大,而余弦窗函數(shù)在邊緣處對近場數(shù)據(jù)的加權(quán)程度也相應(yīng)加大,使得誤差大大減小,這正是利用余弦窗函數(shù)對近場數(shù)據(jù)加權(quán)的優(yōu)點(diǎn). 通過比較表1和表2可以看出,當(dāng)選取的窗函數(shù)參數(shù)不同時,近遠(yuǎn)場變換的最后結(jié)果會不同,因此選取合適的窗函數(shù)參數(shù)可以使截斷誤差降低到最小.

當(dāng)天線最大輻射方向改變?yōu)棣?30°,φ=0°,而其他參數(shù)保持不變時,設(shè)截斷角θt=55°,取x%=36%,dmp=3°,計算結(jié)果如圖7所示.從圖中可以看出,對包含在截斷區(qū)域的近場數(shù)據(jù)加窗后再做近遠(yuǎn)場變換可以明顯地改變副瓣電平,使副瓣電平更接近理論值,通過計算發(fā)現(xiàn),當(dāng)天線最大輻射方向與掃描面邊界距離越近時需要加窗程度也越強(qiáng).

圖7 對近場數(shù)據(jù)加窗后的球面近遠(yuǎn)場變換所得E面方向圖(x%=36%, dmp=3°)Fig.7 The E-plane pattern by spherical near-field to far-field transformation with near-field data weighted by cosine window function(x%=36%, dmp=3°)

3.2 遺傳算法的應(yīng)用

通過上節(jié)的分析可以看出,對于不同的天線最大輻射方向和掃描面邊界,需要選取一個最合適的余弦窗函數(shù)參數(shù),本節(jié)利用遺傳算法來選取最優(yōu)窗函數(shù)參數(shù).

遺傳算法是一種全局隨機(jī)搜索優(yōu)化算法[13-14],本例中將遺傳算法交叉概率設(shè)為0.6,變異概率設(shè)為0.001,種群的規(guī)模大小為80,遺傳迭代的代數(shù)為400. 設(shè)余弦窗函數(shù)參數(shù)的優(yōu)化精度:x%為0.1%,dmp為1°,編碼方式為二進(jìn)制編碼.令適應(yīng)度函數(shù)為

Fitness=∑|F理論值(θ,φ)-F測量值(θ,φ)|2.

(19)

式中:F理論值(θ,φ)為理論遠(yuǎn)場方向圖;F測量值(θ,φ)為測量遠(yuǎn)場方向圖.取x%的搜索范圍為[0, 50%],dmp的搜索范圍為[0, 360°]. 天線模型與上節(jié)保持不變,取最大輻射方向?yàn)棣?30°,φ=0°,截斷角θt=55°,計算結(jié)果如圖8所示.

圖8 遺傳算法和窮舉法的對比Fig.8 Comparison of genetic algorithm and exhaustive method

從圖8可以看出,利用基于遺傳算法參數(shù)優(yōu)化的余弦窗函數(shù)對近場數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)處理能夠大大減小有限掃描面截斷誤差.遺傳算法搜索的最優(yōu)解與窮舉法得到的最優(yōu)解較為接近,但是使用遺傳算法可以減少程序運(yùn)行時間.其中主瓣左側(cè)吻合得較好,而主瓣右側(cè)吻合得相對較差,這是因?yàn)樘炀€最大輻射方向在z軸右側(cè),掃描面右側(cè)邊界處的場較強(qiáng),導(dǎo)致掃描面右側(cè)邊界處場的不連續(xù)性比左側(cè)邊界處的不連續(xù)性更強(qiáng),從而導(dǎo)致方向圖主瓣右側(cè)的截斷誤差比左側(cè)大. 表3給出了幾種不同情況下利用遺傳算法得到的最優(yōu)窗函數(shù)參數(shù)的具體取值.

表3 不同情況下的最佳參數(shù)選擇Tab.3 Selection of optimal parameters in different cases

4 結(jié) 論

本文針對相控陣天線球面近場測量時,由于掃描面有限和波束掃描引起較大的截斷誤差這一問題,提出了利用余弦窗函數(shù)對近場數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)處理的方法來減小截斷誤差. 相比于其他方法,由于窗函數(shù)參數(shù)的靈活性,當(dāng)相控陣天線發(fā)生波束掃描及截斷角發(fā)生變化時,可以根據(jù)不同的情況確定最佳窗函數(shù)參數(shù)使截斷誤差降到最小,尤其是在副瓣處修正效果更明顯,具有實(shí)際工程意義. 對于窗函數(shù)參數(shù)的選取,遺傳算法的應(yīng)用可以提高參數(shù)優(yōu)化效率,得到最優(yōu)參數(shù),從而大大減小截斷誤差.