丁學(xué)利 曹文康 李玉葉

(1.阜陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，安徽 阜陽 236031；2.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

顏色與質(zhì)量濃度辨識的方法目前常用的是比色法[1]，即把待測物質(zhì)制備成溶液后滴在特定的白色試紙表面，等其充分反應(yīng)后獲得1張有顏色的試紙，再把該顏色試紙與標(biāo)準(zhǔn)比色卡進行對比，就可以確定待測物質(zhì)的質(zhì)量濃度檔位。由于每個人對顏色的敏感差異和觀測誤差，使得這一方法在精度上受到很大影響。隨著照相技術(shù)和顏色分辨率的提高，希望建立顏色讀數(shù)和質(zhì)量濃度的數(shù)學(xué)模型，即只要輸入照片中的顏色讀數(shù)即可獲得待測物質(zhì)的質(zhì)量濃度。顏色讀數(shù)和質(zhì)量濃度的關(guān)系一般是多元非線性關(guān)系，如何建立它們之間的數(shù)量關(guān)系成為該問題研究的重點。多數(shù)研究利用多項式擬合、多元非線性回歸、差值分析和主成分分析等方法建立數(shù)學(xué)模型[2-6]。

此次研究以2017年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題[7]為例，運用相關(guān)性分析和多元非線性逐步回歸分析方法，通過逐步剔除最不顯著變量，建立最優(yōu)的質(zhì)量濃度與顏色讀數(shù)的數(shù)學(xué)模型。利用該模型可以較好地建立顏色讀數(shù)和質(zhì)量濃度的數(shù)量關(guān)系，也為實際的質(zhì)量濃度辨識問題提供理論參考。

1 數(shù)據(jù)處理與分析

SO2質(zhì)量濃度和物質(zhì)顏色讀數(shù)的原始數(shù)據(jù)，如表1所示[7]。表1中的變量B、G、R、H、S的含義依次為：藍色顏色值、綠色顏色值、紅色顏色值、色調(diào)、飽和度。

為了分析SO2質(zhì)量濃度與顏色讀數(shù)之間的關(guān)系，對其進行相關(guān)性分析。表2是SO2質(zhì)量濃度與物質(zhì)顏色讀數(shù)的相關(guān)系數(shù)。從表2可看出，SO2質(zhì)量濃度與B、G、R和H的相關(guān)系數(shù)的絕對值較大，與S的相關(guān)系數(shù)的絕對值稍小，但S的作用不能忽略。因此認為SO2質(zhì)量濃度受B、G、R、S和H等5個變量的影響。

2 模型的建立及修正

2.1 模型I的建立與求解

根據(jù)SO2質(zhì)量濃度和顏色讀數(shù)的相關(guān)性分析，初步考慮建立五元線性回歸模型，稱為模型I，表達式為：

y=c0+c1x1+c2x2+c3x3+c4x4+c5x5+ε

(1)

式中：x1——藍色顏色值(B)；

x2——綠色顏色值(G)；

x3——紅色顏色值(R)；

x4——色調(diào)(H)；

x5——飽和度(S)；

y——SO2質(zhì)量濃度；

c0,c1,c2,c3,c4,c5——回歸系數(shù)；

ε——隨機誤差變量。

表1 SO2質(zhì)量濃度與物質(zhì)顏色讀數(shù)的原始數(shù)據(jù)

表2 SO2質(zhì)量濃度與顏色讀數(shù)的相關(guān)系數(shù)

利用EViews軟件，采用最小二乘法對模型I進行計算，參數(shù)估計見表3，方差分析見表4。

表3 模型I最小二乘法參數(shù)估計

2.2 模型I的檢驗及修正

2.3 模型II的建立與求解

從圖1可看出，雖然模型I通過逐步回歸后各變量明顯顯著了，但擬合效果較差，說明SO2質(zhì)量濃度與各顏色讀數(shù)之間不是簡單的線性關(guān)系，因此考慮建立五元完全二次多項式回歸模型，稱其為模型II：

表4 模型I最小二乘法方差分析

表5 模型I剔除不顯著變量后的參數(shù)估計

(2)

式中，b0、b1、b2、b3、b4、b5、bjk(j≥1,k≤5)為回歸系數(shù)。通過如下變換，可將式(2)的非線性問題轉(zhuǎn)化成線性問題來求解。

令z1=x1；z2=x2；z3=x3；z4=x4；z5=x5；

z12=x1x2；z13=x1x3；z14=x1x4；z15=x1x5；

z23=x2x3；z24=x2x4；z25=x2x5；z34=x3x4；

z35=x3x5；z45=x4x5；z11=x1x1；z22=x2x2；

z33=x3x3；z44=x4x4；z55=x5x5。

變換后的方程為：

(3)

利用EViews求解模型II，結(jié)果如表7、8所示。

表6 模型I剔除不顯著變量后的方差分析

圖1 逐步回歸擬合曲線

下面將這些最不顯著項z2、z12、z13和z24依次去掉，作逐步回歸[8-9]分析，得到逐步回歸后的參數(shù)估計和方差分析，如表9、10所示。

表7 模型II最小二乘法參數(shù)估計

表8 模型II最小二乘法方差分析

從表9可看出，剔除變量z2、z12、z13、z24后，回歸方程的每一項均在顯著性水平0.05以下，p均小于0.05，說明每一項均是顯著的。表10中的F統(tǒng)計量明顯大于表8中的F統(tǒng)計量，說明通過逐步回歸后的模型優(yōu)于逐步回歸之前的模型。

為了進一步檢驗逐步回歸后的模型是否存在異方差，對逐步回歸后的模型進行White檢驗[10]。構(gòu)造輔助函數(shù)式(4)：

(4)

式中：E——殘差；

γ0，γ1，γ2——回歸系數(shù)；

ε——隨機誤差項。

輔助回歸估計結(jié)果如下：

(5)

根據(jù)非線性逐步回歸分析后的模型可得到原始數(shù)據(jù)散點和逐步回歸后的擬合圖，如圖2所示。從圖2可看出，非線性逐步回歸分析后的模型擬合效果較好。

表9 模型II剔除不顯著變量后的參數(shù)估計

圖2 非線性逐步回歸擬合曲線

3 結(jié) 語

依據(jù)SO2質(zhì)量濃度與顏色讀數(shù)，先后建立五元線性回歸模型和五元非線性回歸模型，并不斷檢驗和修正SO2質(zhì)量濃度與顏色讀數(shù)間的回歸關(guān)系。通過變換將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化成線性回歸模型，再對變換后的線性回歸模型作逐步回歸分析，剔除不顯著變量，最終得到最優(yōu)的非線性回歸模型。對比分析知非線性逐步回歸模型擬合效果較好，且不存在異方差性，因此該模型具有較好的實用價值。但是，此次只研究了SO2質(zhì)量濃度與各顏色讀數(shù)之間的多元非線性回歸模型，還可進一步研究SO2質(zhì)量濃度與單個顏色讀數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系。

表10 模型II剔除不顯著變量后的方差分析