李延平，修增鵬，叢 巖

(1. 東北石油大學(xué) 地球科學(xué)學(xué)院, 黑龍江 大慶 163318; 2. 大慶油田第一采油廠, 黑龍江 大慶 163318)

0 前 言

壓裂作為低滲透斷塊油藏開發(fā)中重要的增產(chǎn)措施，需選取合適的分析方法和模型對增油量進(jìn)行評估。伴隨油井壓裂后不同階段儲層滲流特征變化，影響壓裂效果的主要因素權(quán)重會發(fā)生變化，對模型預(yù)測精度和可靠性產(chǎn)生影響。針對此類情況，經(jīng)驗類比法、試井資料法、統(tǒng)計法等傳統(tǒng)預(yù)測方法已不能滿足增油量預(yù)測和分析需求。近年來應(yīng)用歐式貼近度法、模糊綜合評判法及灰色關(guān)聯(lián)法取得了一定的效果，最終提取的單指標(biāo)或組合反映油井壓裂后狀態(tài)的模糊性和不確定性，對于模型信息提取與預(yù)測結(jié)果解釋能力較弱[1-3]。參與建模過程中部分變量具有變化趨同的特點，解釋變量必然存在多重共線性，本文提出應(yīng)用偏最小二乘回歸克服復(fù)雜參數(shù)建模過程中的多重共線性、高維低樣本量等問題，并有效分析出不同階段影響壓裂增油量的主要因素。

本文通過油田現(xiàn)場壓裂井實例驗證該模型的有效性，將油井壓裂后的增油量預(yù)測轉(zhuǎn)化為基于偏最小二乘回歸的變權(quán)重組合問題，結(jié)合該方法具有類似主成分分析(PCA)的特性，提取主要成分解決自變量存在多重共線性問題。該方法還提供了類似典型相關(guān)分析(CCA)的研究內(nèi)容[4-5]，通過變量投影重要性指標(biāo)可以有效測度參數(shù)權(quán)重，根據(jù)參數(shù)相關(guān)性組合出主要影響因子，反映增油期內(nèi)不同階段主成分中主要參數(shù)權(quán)重變化規(guī)律和重要的特征信息[6]，實現(xiàn)不同階段各參數(shù)變權(quán)重條件下增油量擬合，為油井壓裂增油量提供更為合理的預(yù)測與解釋模型。

1 方法原理與計算步驟

1.1 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理

為消除模型建立過程中不同量綱的參數(shù)對壓裂預(yù)測與解釋結(jié)果的影響，設(shè)自變量壓裂相關(guān)參數(shù)集合X=[x1,…,xp],xjRn,因變量增油量為YRn,將變量集合進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換。記E0為X經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后的數(shù)學(xué)矩陣，F(xiàn)0為Y經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后的數(shù)學(xué)矩陣。

1.2 數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化及分析過程

設(shè)t1是標(biāo)準(zhǔn)化矩陣E0的第1個成分，u1是標(biāo)準(zhǔn)化矩陣F0的第1個成分，其表達(dá)式有t1=E0w1,u1=F0c1,w1,c1為單位向量，如果要t1,u1能分別較好地代表X與Y的數(shù)據(jù)變異信息，根據(jù)主成分分析(PCA)原理，應(yīng)該有t1,u1對方差貢獻(xiàn)最大,結(jié)合典型相關(guān)分析(CCA)，要求t1,u1相關(guān)度達(dá)到最大，綜合上述條件，在偏最小二乘回歸中，要求t1,u1的協(xié)方差cor(t1,u1)最大，相當(dāng)于從自變量參數(shù)集合中提取影響壓裂的主要影響因素，并兼顧此因素解釋壓后增油量的代表性。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題相當(dāng)于向量w1,c1經(jīng)過單位化條件下，優(yōu)化目標(biāo)cor(t1,u1)=w1TE0TF0c1達(dá)到最大。最終歸結(jié)為求矩陣E0TF0F0TE0的特征值和特征向量[7]。為了求解方便，利用拉格朗日乘子法分別對w1,c1求偏導(dǎo)，并兩式相互代入，得到：

E0TF0F0TE0w1=λ2w1

(1)

F0TE0E0TF0c1=λ2c1

(2)

其中，w1是E0TF0F0TE0的最大特征值λ2所對應(yīng)的單位特征向量，c1是F0TE0E0TF0的最大特征值λ2對應(yīng)的單位特征向量，由此可見w1和c1是方差貢獻(xiàn)和相關(guān)性的最大權(quán)衡。

1.3 建立回歸方程并利用殘差陣抽取成分

通過建立初始變量E0和F0對t1的回歸，解決E0到F0的映射問題?；貧w方程標(biāo)示如下：

E0=t1w1T+E1

(3)

F0=t1c1T+F1

(4)

其中，w1=E0t1/t1t1T中，c1=F0t1/t1t1T分別是回歸方程E0和F0對t1的系數(shù)向量，E1,F1分別是回歸方程的殘差陣。

用殘差陣E1和F1代替E0和F0重復(fù)以上步驟，當(dāng)其反映回歸方程能夠解釋的方差占因變量方差的百分比達(dá)到足夠的精度，并且將要抽取的成分對精度影響很小時，停止成分抽取，否則繼續(xù)用殘差陣E1和F1分別替代E0和F0重復(fù)上述步驟，通過多次壓后增油有效參數(shù)綜合解釋成分的抽取，結(jié)合下面介紹的積累解釋系數(shù)定義抽取成分對預(yù)測模型的邊際貢獻(xiàn)，最終確定選取成分的數(shù)量。

在得到成分t1,t2…,tm[m

F0=r1t1+r2t2+…+r1mm+Fm

(5)

其中t1,t2…,tm均為E0的線性組合，即th=Eh-1wh。

2 案例分析

2.1 基礎(chǔ)參數(shù)數(shù)據(jù)分析

A區(qū)塊為低滲透斷塊油藏，目前處于開發(fā)初期階段，選取2016年10月份實施的16口壓裂油井，分析油井壓裂時關(guān)注的20個常用參數(shù)作為自變量，油井累計增油量作為因變量，對上述樣本參數(shù)數(shù)據(jù)整理如下(見表1)。

采取方差膨脹因子法對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行多重共線性進(jìn)行檢測，方差膨脹因子VIFh是回歸系數(shù)的估計量由于自變量的共線性使其方差增加的相對度量，對于第h個回歸系數(shù)，其方差膨脹因子定義為：

(6)

表1 油井壓裂第4個月樣本庫觀測參數(shù)數(shù)據(jù)

油井井號壓裂后日產(chǎn)液/(t·d-1)壓裂后日產(chǎn)油/(t·d-1)壓裂后含水/%壓裂后累計產(chǎn)油/(t·d-1)壓裂后累計產(chǎn)水/(t·d-1)壓裂后累計注采比壓裂砂巖厚度/m加砂壓力/MPa砂量/m3平均砂比前置液量/m3攜砂液量/m3替擠液量/m3壓裂后累計增油量/×104 tX00-5811.49.515.00.243 20.017 70.6034.418.27019.313436224.44.06X00-6223.620.114.70.343 00.075 20.0238.019.77018.714037524.36.40X04-8010.38.121.20.388 00.038 90.0624.822.8602010430416.72.62X02-667.46.116.90.566 10.031 00.3227.124.35419.611028324.13.50X02-7022.721.45.70.531 50.029 70.3728.330.56123.311030825.23.52X04-8231.927.513.60.879 80.055 60.0857.218.512020.422859443.72.03X50-x824.34.06.80.347 70.031 30.0435.214.54119.59022717.22.04X52-846.96.013.60.110 50.012 20.1340.818.67019.515036133.00.18X08-x6217.715.313.60.126 20.030 80.0927.318.37019.114336934.50.91X08-x6420.018.95.70.273 40.021 60.0334.919.47018.714437234.70.30X08-x7213.110.520.20.260 60.042 50.0233.419.87219.314837534.70.11X52-884.84.115.80.145 30.013 70.0630.820.86418.213834633.30.12X04-7214.512.116.90.704 70.094 40.1526.519.7601912031427.01.48X06-6615.813.713.61.076 40.064 90.1232.119.27020.513234032.60.84X08-562.11.720.20.108 70.015 10.1221.217.06820.511733016.317.81X08-6012.510.515.80.286 60.047 70.2431.618.76418.312835024.37.81

表2 樣本庫各自變量VIF值

2.2 提取主成分并進(jìn)行成分精度分析

在偏最小二乘回歸計算過程中，從增油量影響變量集合X={x1,x2,…,xp}和增油量Y中依次提取出h個成分t1,t2,…,tm，所提取的自變量成分th作為綜合變量，一方面盡可能地概括參數(shù)系統(tǒng)的主要信息，另一方面對增油量解釋能力達(dá)到最大，對因變量的積累解釋能力通過類似典型相關(guān)分析來定義其精度，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下[3]：

(7)

(8)

式中，Rd(X;t1,…,tm)代表t1,…,tm對X的累計解釋能力，Rd(Y;t1,…,tm)代表t1,…,tm對Y的累計解釋能力。根據(jù)上述原理，通過Mathlab編程進(jìn)行實現(xiàn)，各成分對X的累積解釋能力和對Y的累積解釋能力見表3。

表3 各成分對X的累積解釋能力和對Y的累積解釋能力

從表3結(jié)果來看，前2個成分累計可以解釋自變量82.0%的信息，解釋因變量92.4%的信息，成分1可以解釋自變量79.5%的信息，解釋因變量80.4%的信息，成分2對因變量整體累計解釋貢獻(xiàn)較低，對模型的預(yù)測并沒有起到明顯的增強作用，因此選取解釋能力強的成分1作為本次回歸的主要成分，本次參數(shù)系統(tǒng)中提取主成分解釋能力符合建模預(yù)期，所攜帶的信息能夠較好的概括原始數(shù)據(jù)特征。

2.3 壓裂增油量主要影響因子分析

通常分析和評估各參數(shù)對壓裂結(jié)果的影響程度，依賴專家經(jīng)驗根據(jù)壓后油井的征兆狀態(tài)給予各參數(shù)恰當(dāng)?shù)姆峙錂?quán)重，主觀經(jīng)驗的局限性使得預(yù)測模型不便于推廣與應(yīng)用。偏最小二乘回歸可以測度每個自變量xj對因變量集合Y的解釋能力，其中xj對Y的解釋是通過th來傳遞的，th作為成分可以通過變量投影重要性指標(biāo)VIPj來測度，用于判斷是否為成分中的主導(dǎo)因素，則自變量xj對Y的重要性就會被間接測度，其定義式為[9]：

(9)

式中，p為成分的個數(shù)，Rd(Y;th)代表th對Y的解釋能力，Rd(X;t1,…,tm)代表t1,…,tm對Y的解釋能力，wAj是軸wA的第j個單位分量。

在偏最小二乘回歸定義中，關(guān)注變量投影重要性指標(biāo)大于1的參數(shù)，表示其在自變量解釋因變量占主要作用。每個參數(shù)的變量投影重要性指標(biāo)單獨解釋增油量預(yù)測結(jié)果是比較困難的，但相同類屬的變量之間往往具有更強的相關(guān)性與特定的專業(yè)意義，將主成分中的參數(shù)歸類為油藏靜態(tài)地質(zhì)、油田注采動態(tài)、壓裂油藏工程不同專業(yè)類屬反映自變量特征的主要影響因子[10]，通過上述方法可以有效的壓縮解釋變量空間，增強信息的綜合能力。建模過程中不僅要指出在龐雜的自變量系統(tǒng)中起主導(dǎo)性作用的因素，也要結(jié)合低滲透油藏壓裂開發(fā)滲流理論對預(yù)測結(jié)果的指導(dǎo)作用。壓裂后油井開發(fā)分為如下階段：一是線性流階段，即原油從支撐縫前緣通過高導(dǎo)流向井筒；二是擬徑向流階段，即原油從支撐縫前緣已降低的高導(dǎo)流裂縫和裂縫兩側(cè)巖石中流入井筒，截至目前該斷塊油井仍處于增油階段[11]，暫不做第三階段的討論。參與預(yù)測的參數(shù)權(quán)重伴隨近井地帶儲層滲流特征發(fā)生不同程度的改變，以下是不同月份下樣本主成分中不同參數(shù)VIPj值的變化情況(表4)。

表4 不同月份樣本主成分中變量投影重要性指標(biāo)

通過上述數(shù)據(jù)可知，參與回歸的變量投影重要性指標(biāo)隨時間變化，結(jié)合儲層壓裂滲流機理，分析油井壓裂后各階段主成分中主要影響因子各月份累計解釋占比情況(圖1)。其中儲層狀況因子和壓裂后油井生產(chǎn)動態(tài)因子對壓裂增油量累計解釋占比較大。結(jié)合變量投影重要性指標(biāo)數(shù)據(jù)，第16個月開始，儲層狀況因子中有效厚度參數(shù)影響逐漸變小，單井儲層平均滲透率影響顯著增加，壓裂初期隨著壓裂縫條數(shù)增加，主要滲流通道為導(dǎo)流能力強的壓裂縫，其導(dǎo)流能力遠(yuǎn)大于儲層自身孔隙，隨著裂縫逐漸閉合，油井周圍滲流阻力逐漸增大，儲層物性對滲流影響重新凸顯作用。壓裂前油井生產(chǎn)動態(tài)因子對增油量影響隨時間推移曲線形態(tài)呈“凹”形，由于壓裂改造因素參與，導(dǎo)致累計解釋占比下降，第14個月開始，其累計解釋占比逐漸回升，原因在于壓裂前油井的生產(chǎn)動態(tài)參數(shù)很大程度上反映了井控范圍內(nèi)油井的生產(chǎn)能力及儲層物質(zhì)基礎(chǔ)。壓裂后油井生產(chǎn)動態(tài)因子始終與增油量密切相關(guān)，在4種主要因子中累計解釋占比始終最高，隨著滲流關(guān)系的改變，壓裂對儲層的改造及初期油井的生產(chǎn)狀況作為后期增油的重要因素導(dǎo)致其累計解釋占比下降，最終初期油井的生產(chǎn)條件和壓裂對儲層的改造程度決定增油量，后期累計產(chǎn)水量參數(shù)變量投影重要性指標(biāo)逐漸升高，說明對增油量影響顯著增加，與油井含水率關(guān)聯(lián)程度較高。壓裂施工參數(shù)因子整體占比較高且曲線波動不大，壓裂砂巖的厚度、實際加砂量、前置和攜砂液量始終起重要作用但變化相對穩(wěn)定。

圖1 壓裂主要影響因子累計解釋占比圖

2.4 壓裂增油量預(yù)測模型建立及對比檢驗

以壓裂后第16個月做為分界點，根據(jù)不同階段主要影響因素變化特征采取分段回歸方式，將標(biāo)準(zhǔn)化變量還原為原變量，建立適用于該斷塊的壓裂增油量預(yù)測模型：

Y1=-3 464.45+5.836 4xeffethic-5.076 7xporo+24.921 8xperm+…+2.585 6xlead volu+1.424 4xcarr flui+9.737xcumu wat0≤t≤t0

(10)

Y2=-3 902.76+6.237 3xeffethic+4.425 3xporo+0.205 5xperm+…+2.206 7xlead volu+1.395 9xcarr flui+9.179 3xcumu watt>t0

(11)

式中，t0為第16個月；xeffethic為儲層有效厚度，m；xporo為單井儲層平均孔隙度，%；xperm為單井儲層平均滲透率，10-3μm2；xlead volu為前置液量，m3；xcarr flui為攜砂液量，m3；xcumu wat為擠替液量，m3。

通過已實施的同批次未計入本次回歸的壓裂井實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)驗證模型的可靠性，結(jié)果表明，模型預(yù)測精度在誤差范圍之內(nèi)，可用于壓裂井增油量評估，通過上述所用模型分析壓裂不同階段參數(shù)變化規(guī)律，表明此建模方法可用于不同斷塊的壓裂增油量預(yù)測(見表5)。

3 結(jié) 論

1)偏最小二乘回歸可以提供類似于主成分分析和典型相關(guān)分析的研究內(nèi)容，選出解釋能力強的主成分，可以有效消除樣本參數(shù)存在的多重共線性造成的模型失真問題，根據(jù)參數(shù)的相關(guān)性組合出綜合影響因子隨時間的變化規(guī)律，對壓裂后不同階段轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵點進(jìn)行界定，實現(xiàn)油井壓裂增油期不同階段各參數(shù)變權(quán)重條件下增油量預(yù)測。

表5 實際增油量與PLSR預(yù)測結(jié)果對比表

2)建立組合模型進(jìn)行壓裂增油量，可以大幅度地降低模型建構(gòu)的復(fù)雜性，結(jié)合壓裂滲流理論，提高了模型預(yù)測的解釋能力，建立該斷塊的壓裂增油量預(yù)測圖版，把握各個階段中綜合影響因子的變化特點，優(yōu)化后期措施調(diào)整時機，有針對性的進(jìn)行壓后跟蹤與調(diào)整工作，提高增油效果。