劉 倩，高 莉，姜 玥

(西南民族大學計算機科學與技術學院，四川 成都 610041)

1 引言

長久以來，非線性波動現(xiàn)象一直都是數(shù)學物理領域中備受關注的研究對象.而隨著自然科學的蓬勃發(fā)展，涌現(xiàn)出了大量描述非線性波動現(xiàn)象的偏微分方程，比如KdV方程、Klein-Gordon方程、Schr?dinger方程等等.如何理解這些方程解的物理意義并探索其長時間行為，行波解在其中扮演著重要的角色.近年來，人們已經(jīng)發(fā)展出很多直接的方法尋找偏微分方程的行波解，比如Tanh函數(shù)法[1-2]、G’/G方法[3-5]、同倫攝動方法[6]、Adomian分解法[7-8]、變分迭代法[9-10]、ansatz方法[11-12]等.其中，G’/G方法因其簡潔、高效的特點被廣泛應用.

本文考察一類非線性電路方程[13]

它是著名的Boussinesq方程[14-15]

的變形和推廣形式.作為一個帶有耗散項的高階不可積系統(tǒng)，方程(1)的行波解研究起來比較困難.我們利用齊次平衡法的思想和G’/G函數(shù)展開法，對其行波解的形式進行了假設，并將該偏微分方程約化為復雜的非線性代數(shù)方程組，借助計算機代數(shù)系統(tǒng)的符號運算功能求解該方程組，成功獲得了電路方程包含sinh和cosh形式，sin和cos形式的行波解的精確表達式.這些解無論從理論的角度還是從應用的角度，對電路方程描述的非線性波動現(xiàn)象的理解和研究都有重要的意義.

2 電路方程的顯式行波解

對方程(1)做行波變換u(x，t) ＝U(ξ)，ξ＝kx+ωt我們得到其行波系統(tǒng)如下：

其中，a0，a1，a2為待定實參數(shù)，G(ξ)滿足如下二階方程

將U(i)(ξ)(i ＝1，..，4) 代入方程(3)，合并關于的同類項并令其系數(shù)為0，可得如下非線性代數(shù)方程組

利用計算機代數(shù)系統(tǒng)求解上述方程組，可得

注意到二階方程(5)有如下三種形式的解

當λ2-4μ ＞0時，

其中A1，A2為任意常數(shù).

其中A1，A2為任意常數(shù).

將(6)-(9)代入(4)，可獲得電路方程(1)的三組行波解.

其中A1，A2為任意常數(shù).

在三組解中，解組1和解組3為電路方程的孤波解，為直觀了解其描述的波形，我們給出它們的數(shù)值模擬圖(如圖1所示).

圖1 電路方程的孤波解Fig.1 The solitary wave solutions of the circuit equation

3 結語

本文利用G′/G函數(shù)展開法求得了一類非線性電路方程多種類型的行波解，這些解尤其是孤波解對于理解方程描述的非線性波動現(xiàn)象的長時間行為有著重要作用，同時表明該方法對于求解高階非線性偏微分方程非常有效.當然，該方程可能還有其他類型的行波解，比如無界行波解.但是由于方程具有高階且非線性的特點，研究起來比較困難，所以目前關于其他類型的行波解的討論結果很少，感興趣的讀者可以考慮用其他的方法來做進一步討論.