李嘉琛，李曉晨，贠曉港，金后取，朱曉明，吳 軍

（中國(guó)民航大學(xué) 航空工程學(xué)院，天津 300300）

航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片工作條件極其惡劣，造價(jià)昂貴，且再修復(fù)技術(shù)一直被國(guó)外壟斷。因此，通過(guò)對(duì)已存在破壞損傷等問(wèn)題的葉片進(jìn)行修復(fù)，進(jìn)而延長(zhǎng)其使用壽命，從而獲得更好的經(jīng)濟(jì)效益。如果需對(duì)受損的航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片進(jìn)行維修，只有具備精確的葉片三維形貌特征參數(shù)，才可以將受損葉片修復(fù)成原始狀態(tài)。三維測(cè)量技術(shù)有2種，即傳統(tǒng)的接觸式測(cè)量和新興的非接觸式測(cè)量。世界上第一臺(tái)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)誕生于1956年，它被廣泛應(yīng)用并迅速發(fā)展。三坐標(biāo)機(jī)測(cè)量是一種典型的接觸式三維測(cè)量，測(cè)頭接觸工件，將工件表面的點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)送至軟件，經(jīng)計(jì)算給出形貌特征。它的缺點(diǎn)是，對(duì)被測(cè)物體有損傷，測(cè)量效率低。視覺(jué)測(cè)量被廣泛應(yīng)用于非接觸三維測(cè)量中，天津大學(xué)的陳明舟[2]研究了通過(guò)主動(dòng)光柵投影的雙目視覺(jué)測(cè)量獲得物體曲面輪廓的方法；王軍[3]研究了利用光柵投影三維測(cè)量技術(shù)對(duì)葉片進(jìn)行三維測(cè)量，但都增加了激光投射裝置，設(shè)備復(fù)雜，點(diǎn)云數(shù)據(jù)量大，不方便處理。本文提出了一種對(duì)葉片表面噴涂散斑作為特征點(diǎn)的方法，模擬人類視覺(jué)成像原理，采用2個(gè)位置相對(duì)固定的工業(yè)相機(jī)從不同的角度采集葉片的左右圖像，再利用運(yùn)動(dòng)恢復(fù)結(jié)構(gòu)的算法構(gòu)建葉片曲面，點(diǎn)云數(shù)據(jù)量小，便于處理，大大提高了測(cè)量效率。

1 葉片建模算法

要想通過(guò)二維圖片恢復(fù)葉片的三維信息，那么，至少需要采集兩幅圖像，應(yīng)用三角測(cè)量原理求解兩幅圖像中的同一個(gè)點(diǎn)在三維空間中的位置。我們將確定同一個(gè)點(diǎn)在兩幅圖像中的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱之為匹配。理論上講，將葉片表面所有的點(diǎn)都求解出來(lái)便可得到葉片的三維模型。除此之外，攝像機(jī)并非理想小孔成像線性模型，在實(shí)際成像過(guò)程中，它會(huì)受到鏡頭畸變的影響。為了提高測(cè)量精度，在實(shí)驗(yàn)之前，要先對(duì)攝像機(jī)進(jìn)行標(biāo)定。整個(gè)三維重建整體流程如圖1所示。

圖1 三維重建過(guò)程流程圖

1.1 攝像機(jī)標(biāo)定

攝像機(jī)標(biāo)定的方法有很多，其中，張正友提出了一種標(biāo)定方法[4-5]，即不需要知道運(yùn)動(dòng)參數(shù)，一個(gè)棋盤格就能完成標(biāo)定。本文便采用了張氏標(biāo)定法完成左右攝像機(jī)的立體標(biāo)定。這個(gè)方法是從多個(gè)不同的角度采集二維平面標(biāo)靶圖像，平面標(biāo)定板上點(diǎn)P在世界坐標(biāo)系下的齊次坐標(biāo)為 ＝（xw，yw，zw，1）T，在圖像坐標(biāo)系下的齊次坐標(biāo)為 ＝（u，v，1）T，則兩坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為：

式（1）中：s為比例系數(shù)；M1為相機(jī)內(nèi)參數(shù)矩陣；矩陣R為兩坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)關(guān)系；向量T為兩坐標(biāo)系之間的平移關(guān)系。

因此，建立特征點(diǎn)與它的像素點(diǎn)之間的一個(gè)單應(yīng)性映射H[6-7]，即：

對(duì)于標(biāo)定板平面的圖像，可以得到對(duì)應(yīng)的單應(yīng)性矩陣，

令：

經(jīng)過(guò)比較可知，式（4）比標(biāo)準(zhǔn)的單應(yīng)性矩陣少了一個(gè)比例因子λ，因此得：

式（5）（6）（7）為求解內(nèi)參提供了2個(gè)約束條件，令：

由于B這個(gè)矩陣是對(duì)稱的，因此，真正有效的只有B11，B12，B22，B13，B23，B33（因?yàn)?B12和 B21，B23和 B32，B13和B31這3對(duì)元素是相等的，所以，只需要求得下面的6個(gè)元素就可獲得完整的B），并讓它們構(gòu)成向量b，即：

hi是H的第i向量，則有：

將式（11）（12）寫為關(guān)于向量b的方程，則有：

得到B矩陣以后，要算得相機(jī)內(nèi)參矩陣，還需對(duì)B矩陣求逆，利用Cholesky分解，獲得M1以后，每幅圖像的外部參數(shù)可由式（14）得出，即：

R1是一個(gè)3×3的矩陣，T1是一個(gè)3×1的矩陣，將右攝像機(jī)用同樣的方法標(biāo)定，可得到M2，R2和T2.

在雙目立體視覺(jué)中，還需標(biāo)定2臺(tái)攝像機(jī)間的旋轉(zhuǎn)與平移位置關(guān)系，如圖2所示。

圖2 雙目立體視覺(jué)坐標(biāo)系統(tǒng)

采取上述標(biāo)定方法標(biāo)定了左右2個(gè)攝像機(jī)后，得到R1，T1和R2，T2.R1，T1表征了左攝像相對(duì)世界坐標(biāo)系的位置，R2，T2表征了右攝像機(jī)相對(duì)世界坐標(biāo)系的位置。P點(diǎn)的世界坐標(biāo)pw與左右相機(jī)坐標(biāo)p1，p2之間有如下關(guān)系：

將式（15）消去pw后，可得：

設(shè)R和T為2臺(tái)攝像機(jī)的相對(duì)位置關(guān)系，則有：

到這，已基本完成了對(duì)雙目攝像機(jī)的立體標(biāo)定。

1.2 立體匹配

所謂“匹配”，即是確定空間中同一物體在不同圖像上的像點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系。立體匹配是計(jì)算機(jī)視覺(jué)中至關(guān)重要的一步，匹配的準(zhǔn)確性將直接影響到建模的精度，因此，如何實(shí)現(xiàn)快速準(zhǔn)確的匹配是研究的重點(diǎn)。

本文采用了基于特征的匹配——SIFT特征匹配[8]，它能解決2幅圖像間存在著旋轉(zhuǎn)、平移甚至仿射等情況下的特征點(diǎn)匹配問(wèn)題，具有很強(qiáng)的匹配能力。

1.2.1 特征提取

特征檢測(cè)使用的是尺度和旋轉(zhuǎn)不變性的SIFT描述子，它的魯棒性比較強(qiáng)，很適合用來(lái)提取經(jīng)過(guò)改變角度和尺寸的圖片的特征點(diǎn)信息，具有較強(qiáng)的準(zhǔn)確性。這種算法由各種尺寸的高斯濾波器通過(guò)計(jì)算獲取到特征點(diǎn)的位置（x，y），并且在一個(gè)特征點(diǎn)周圍4×4的方格直方圖中，每一個(gè)直方圖中又包含了8個(gè)bin的梯度方向，即得到一個(gè)4×4×8即128維的特征向量[9]。

1.2.2 特征匹配

用關(guān)鍵點(diǎn)特征向量的歐氏距離[10]來(lái)衡量圖像對(duì)中關(guān)鍵點(diǎn)之間的相似性。所謂“歐式距離”，即128維差值的平方和再開(kāi)平方。取參考圖像的某一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，在待匹配圖像中理應(yīng)存在能與其匹配的點(diǎn)。簡(jiǎn)單定義最近距離的點(diǎn)為匹配點(diǎn)顯然不是一個(gè)好辦法，更可靠的方法是，觀察最近距離與次近距離的比值，如果存在正確的匹配點(diǎn)，那么，它應(yīng)是唯一的，而且比其他點(diǎn)的歐氏距離要小得多。只有當(dāng)比值小于某一閾值時(shí)，才認(rèn)為是一對(duì)匹配點(diǎn)。

初選的匹配對(duì)可能不可靠，需要對(duì)其進(jìn)行幾何約束檢測(cè)，即計(jì)算對(duì)極幾何，估算基礎(chǔ)矩陣F.F矩陣可以將2幅圖像的像素坐標(biāo)建立聯(lián)系，并包含攝像機(jī)的內(nèi)參信息。每個(gè)符合要求的匹配對(duì)像素坐標(biāo)必須滿足式（18）的要求，即：

像這種F矩陣計(jì)算出來(lái)有很多噪聲，需要采取RANSAC算法進(jìn)行降噪，以提高匹配的準(zhǔn)確性。

RANSAC算法步驟是：①?gòu)臄?shù)據(jù)集中任意取出4個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本（而這4個(gè)數(shù)據(jù)不能共線），算出它的變換矩陣X，并記作模型M.②再將數(shù)據(jù)集中的全部數(shù)據(jù)和模型M的投影誤差算出，如果它小于閾值，就可以將它放入內(nèi)點(diǎn)集I中。③如果當(dāng)前內(nèi)點(diǎn)集I中元素個(gè)數(shù)比最優(yōu)內(nèi)點(diǎn)集I best中多，那么，就定義當(dāng)前內(nèi)點(diǎn)集為新的最優(yōu)內(nèi)點(diǎn)集I best，并將迭代次數(shù)改為k.④如果迭代次數(shù)大于k，就退出循環(huán)；如果迭代次數(shù)小于k，將其加1，重復(fù)上述步驟。

當(dāng)RANSAC將誤匹配點(diǎn)剔除之后，就可以連接2幅圖像中的共同特征匹配點(diǎn)。

1.3 空間點(diǎn)的三維重建

2個(gè)攝像機(jī)的位置在一般立體視覺(jué)成像模型中不做特別要求。如圖3所示，假設(shè)左相機(jī)的坐標(biāo)系O-xyz也是世界坐標(biāo)系，圖像坐標(biāo)系為O1-X1Y1；右相機(jī)坐標(biāo)系為Or-xryrzr，圖像坐標(biāo)系為Or-XrYr，根據(jù)攝像機(jī)透視變換模型[11-12]有：

圖3 一般立體視覺(jué)成像原理

而O-xyz與Or-xryrzr坐標(biāo)系相互的旋轉(zhuǎn)平移關(guān)系可通過(guò)空間轉(zhuǎn)換矩陣Mlr表示為：

結(jié)合坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的方法，推導(dǎo)出空間點(diǎn)在世界坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)，將其表示為以下形式：

因此，己知焦距f1，f2和空間點(diǎn)的圖像坐標(biāo)，再獲得R和T便可恢復(fù)點(diǎn)的三維坐標(biāo)。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

左、右攝像機(jī)分別采集到的標(biāo)定板圖像如圖4所示。

圖4 雙目立體視覺(jué)系統(tǒng)采集的棋盤標(biāo)定模板圖像

標(biāo)定板的規(guī)格為60 mm×45 mm，9行12列，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為5 mm。圖片分辨率為2 592×1 944，左攝像機(jī)平均重投影誤差為2.262 8個(gè)像素，右攝像機(jī)平均重投影誤差為2.296 2個(gè)像素，立體標(biāo)定的平均重投影誤差為2.279 5個(gè)像素，標(biāo)定精度滿足后續(xù)實(shí)驗(yàn)要求。

雙目立體視覺(jué)系統(tǒng)的標(biāo)定結(jié)果如下所示。

2.1 左攝像機(jī)的內(nèi)參矩陣M1

左攝像機(jī)的內(nèi)參矩陣M1為：

2.2 右攝像機(jī)的內(nèi)參矩陣M2

右攝像機(jī)的內(nèi)參矩陣M2為：

2.3 旋轉(zhuǎn)矩陣

旋轉(zhuǎn)矩陣為：

2.4 平移向量

平移向量為：

特征點(diǎn)檢測(cè)和匹配結(jié)果如圖5所示。

圖5 SIFT特征匹配結(jié)果圖

為了驗(yàn)證算法的有效性，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：選取重建點(diǎn)云的2個(gè)邊角點(diǎn)，得到其三維世界坐標(biāo)，與實(shí)際測(cè)得的邊角點(diǎn)距離計(jì)算比較、驗(yàn)證。A，B兩點(diǎn)在世界坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)如圖6所示，A，B點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的世界坐標(biāo)如表1所示。

圖6 A，B兩點(diǎn)在世界坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)

表1 A，B點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的世界坐標(biāo)

A，B兩點(diǎn)之間的計(jì)算距離由空間點(diǎn)距離公式可以求得?？紤]到模型尺寸和實(shí)際葉片尺寸存在縮放因子，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)尺標(biāo)定，縮放因子為1.5，兩點(diǎn)之間的實(shí)際距離由游標(biāo)卡尺測(cè)得，具體數(shù)據(jù)如表2所示。從表2中可以看出，A，B兩點(diǎn)間的實(shí)際測(cè)量距離與計(jì)算所得距離的誤差為0.558%，即0.35 mm。由此可見(jiàn)，本文三維重建的精度比較高。

表2 實(shí)際距離與三維重建所得距離對(duì)比

3 結(jié)束語(yǔ)

本文利用2臺(tái)工業(yè)CMOS相機(jī)，通過(guò)模擬人眼成像原理完成對(duì)葉片的三維重建，具體流程是：①對(duì)葉片表面噴涂散斑點(diǎn)，作為可提取的特征點(diǎn)。②采用具有旋轉(zhuǎn)不變性、尺度不變性、光照不變性特征的SIFT算法提取特征點(diǎn)和特征向量，并進(jìn)一步以特征向量的歐式距離為度量對(duì)圖像對(duì)進(jìn)行初步匹配。③估計(jì)基礎(chǔ)矩陣F，并采用RANSAC算法降噪，提高匹配的準(zhǔn)確性。④利用單目標(biāo)定的相機(jī)內(nèi)參，結(jié)合立體標(biāo)定的外部參數(shù)R和T求解空間點(diǎn)的三維坐標(biāo)，得到葉片重建的模型。建模精度為0.35 mm，驗(yàn)證噴涂散斑代替激光投射的基于雙目視覺(jué)的受損葉片三維重建系統(tǒng)是可行的。