摘 要：對(duì)比橫梁、圓軸構(gòu)件內(nèi)部響應(yīng)即橫梁純彎曲時(shí)截面上的正應(yīng)力σ與圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的切應(yīng)力τ值的計(jì)算，通過(guò)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象定性分析，后關(guān)聯(lián)其幾何關(guān)系，物理關(guān)系，靜力學(xué)關(guān)系三個(gè)方面的定量表達(dá)，借助高數(shù)中的微元、積分等分析工具，得出了形式相近，思路相通的表達(dá)式，而分析的方法對(duì)其他構(gòu)件的力學(xué)學(xué)習(xí)有一定的借鑒意義。

關(guān)鍵詞：正應(yīng)力；切應(yīng)力；內(nèi)部響應(yīng)；變形

工程構(gòu)件的幾何形狀是多種多樣的，大致可歸納為桿件、板、薄殼和塊體四類(lèi)。建筑力學(xué)中則是以桿狀構(gòu)件為主要研究對(duì)象，其變形的基本形式有以下四種，軸向拉伸與壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲。為了便于理論分析和簡(jiǎn)化計(jì)算，需要對(duì)變形體作出以下假設(shè)：均勻連續(xù)性假設(shè)、各項(xiàng)同性假設(shè)、小變形假設(shè)和完全彈性假設(shè)。在此假設(shè)基礎(chǔ)之上，深入到構(gòu)件內(nèi)部，考慮在外力和約束外力作用下，引起的構(gòu)件內(nèi)部的響應(yīng)，即內(nèi)力、應(yīng)力變形及應(yīng)變等。如何根據(jù)桿件橫截面上內(nèi)力的合力來(lái)獲取桿件任意截面上任意點(diǎn)的內(nèi)力分布集度，是亟需解決的問(wèn)題，以圓周扭轉(zhuǎn)和橫梁純彎曲時(shí)兩種變形形態(tài)的應(yīng)力推導(dǎo)過(guò)程為例，得出一些典型的分析和計(jì)算方法。

1 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力τ

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力，需要根據(jù)變形現(xiàn)象找出變形幾何關(guān)系；利用物理關(guān)系找出應(yīng)力分布規(guī)律；利用靜力學(xué)關(guān)系，導(dǎo)出應(yīng)力計(jì)算公式。

1.1變形幾何關(guān)系

在圓軸扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)前提下，選相距dx的兩個(gè)橫截面及夾角無(wú)限小的兩個(gè)徑向縱截面，從軸內(nèi)切取一楔形體O1ABCDO2分析，如圖（a）。楔形體的變形如圖中虛線所表示，軸表面的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BCD，距軸線ρ處的任一矩形abcd變?yōu)槠叫兴倪呅蝍bcd，即均在垂直于半徑的平面內(nèi)產(chǎn)生了剪切變形。設(shè)上述楔形體左、右兩端橫截面間的相對(duì)轉(zhuǎn)角即扭轉(zhuǎn)角為dφ，矩形abcd的切應(yīng)變?yōu)棣忙?，由圖（a）可知

由此得 （1）

1.2物理關(guān)系

如圖（b）所示，由剪切胡克定律可知，在剪切比例極限內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。所以，橫截面上ρ處的切應(yīng)力為

（2）

而其方向則垂直于該點(diǎn)處的半徑。公式（2）表明，扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力沿截面徑向線性變化。

1.3靜力學(xué)關(guān)系

如圖（c）所示，在距圓心ρ處的微面積dA上，作用有微剪力，它對(duì)圓心O的力矩為。在整個(gè)截面上，所有微力矩之和應(yīng)等于該截面的扭矩，即

將公式（2）代入上式，

得

Let：只與橫截面的尺寸有關(guān)，稱(chēng)為橫截面對(duì)O點(diǎn)的極慣性矩，其量綱為[長(zhǎng)度]4。得

（3）

即為圓軸扭轉(zhuǎn)變形的基本公式。最后，將式（3）代入式（2）中得

（4）

即為圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式。

2 橫梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力σ

梁強(qiáng)度的主要控制因素是與彎矩有關(guān)的彎曲正應(yīng)力，因?yàn)閺澗厥菣M截面上法向內(nèi)力系的合力偶矩。與圓軸扭轉(zhuǎn)求解思路相近，要取得梁彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式，必須綜合考慮幾何、物理和靜力學(xué)關(guān)系三個(gè)方面的內(nèi)容。

2.1幾何關(guān)系

首先觀察梁的變形情況，取一根具有縱向?qū)ΨQ(chēng)面的等截面直梁，加載前，在其表面畫(huà)上與軸線平行的縱向線ab和cd，以及垂直于縱向線的橫向線和，然后在梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)施加一對(duì)大小相等、方向相反的力偶，使梁處于純彎曲的情況。根據(jù)梁表面的變形現(xiàn)象，考慮到材料的連續(xù)性、均勻性，以及從梁的表面到其內(nèi)部并無(wú)使其變形突變的作用因素，可以由表及里對(duì)梁的變形做如下假設(shè)：平面假設(shè)、單向受力假設(shè)、中性層假設(shè)。以上是對(duì)于變形的定性分析。

同時(shí)，為了取得彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式，還需對(duì)彎曲正應(yīng)力有關(guān)的縱向線應(yīng)變做定量分析。為此，沿橫截面的法線方向取x軸，用相距dx的左、右兩個(gè)橫截面mm'和nn'，從梁中取出一微段，并在微段梁的橫截面上取荷載作用面與橫截面的交線為y軸（橫截面的對(duì)稱(chēng)軸），取中性軸為z軸，由于中性軸垂直于荷載作用面，故z軸垂直于y軸，如圖（f）。根據(jù)平面假設(shè)，微段梁變形后，其左右橫截面mm與nn仍保持平面，只是相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度dθ。設(shè)微段梁變形后中性層O1O2的曲率半徑為ρ，由單向受力假設(shè)可知，平等于中性層的同一層上各縱向纖維伸長(zhǎng)或縮短量相同。故距中性層O1O2為y的各點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變均相等，并且可以用縱向線ab的縱向線應(yīng)變來(lái)度量，即

（5）

對(duì)任一指定橫截面，ρ為常量，因此，式（5）表明，橫截面上任一點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變與該點(diǎn)到中心軸的距離y成正比，中性軸上各點(diǎn)處的線應(yīng)變?yōu)榱恪?/p>

2.2物理關(guān)系

根據(jù)單向受力假設(shè)，梁上各點(diǎn)皆處于單向應(yīng)力狀態(tài)。在應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限即材料為線彈體，以及材料在拉（壓）時(shí)彈性模量相同的條件下，由胡克定律得：

（6）

對(duì)任一指定的橫截面，E/ρ為定量。因此公式（6）表明，橫截面上任一點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比，即彎曲正應(yīng)力沿截面高度按線性分布，中性軸上各點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力為零。其分布規(guī)律如圖（e）所示。圖中，分別表示最大的壓應(yīng)力和最大的拉應(yīng)力。

2.3靜力學(xué)關(guān)系

如圖（f）所示，橫截面上某點(diǎn)處的法向微內(nèi)力dA組成一空間平行力系，而且由于彎曲時(shí)，橫截面上沒(méi)有軸力，僅有位于XY面內(nèi)的彎矩M，故按靜力學(xué)關(guān)系，有

（7）

（8）

（9）

將式（6）代入式（7）式得

，式中，為截面A對(duì)中心軸Z的靜矩。由于，故必有：，表明中心軸Z為橫截面的形心軸。

將式（6）代入式（8）得

，式中，為截面A對(duì)y、z軸的慣性積。由于，故必有，表明y、z為橫截面上一對(duì)相互垂直的主軸。由于y軸為橫截面的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸必為主軸，而z軸又通過(guò)截面形心，所以y、z軸為形心主軸。

將式（6）代入式（9）得

，式中，為橫截面對(duì)中性軸z的慣性矩，由此得

（10）

式中為梁變形后中性層的曲率，反映了梁的彎曲程度；稱(chēng)為梁的剛度，愈大，曲率愈小，梁愈不易彎曲，因此反映了梁抵抗彎曲變形的能力。將式（10）代入式（6）得

（11）

這就是直梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式。M為橫截面上的彎矩。

3 圓軸與橫梁內(nèi)部響應(yīng)計(jì)算中的思路分析

圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的切應(yīng)力（τ）計(jì)算時(shí)，定性分析得出圓

軸扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)，在定量計(jì)算中其幾何關(guān)系為，物理關(guān)系為剪切胡克定律與切應(yīng)力互等定理，靜力學(xué)方面通過(guò)微剪力積分來(lái)求解。橫梁純彎曲橫截面上的正應(yīng)力（σ）計(jì)算時(shí)，定性分析得平面假設(shè)、單向受力假設(shè)、中性層假設(shè)，定量計(jì)算時(shí)的幾

何關(guān)系，物理關(guān)系為胡克定律，靜力學(xué)方面通過(guò)法向微內(nèi)力積分求解桿件橫截面上內(nèi)力的合力和桿件任意截面上任意點(diǎn)的內(nèi)力分布集度之間的解析表達(dá)式。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)圓軸扭轉(zhuǎn)、橫梁彎曲內(nèi)部響應(yīng)的計(jì)算分析，發(fā)現(xiàn)其處理的方法、分析的思路和計(jì)算的步驟都具有很好的典型性、系統(tǒng)性和可類(lèi)比性。在其求解過(guò)程中的定性分析、定量計(jì)算中，體現(xiàn)很多共性、相通的學(xué)習(xí)思想，而這樣的思想有助于對(duì)于其它相關(guān)力學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，做到觸類(lèi)旁通，舉一反三。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：

許多文，男，1982年4月生，甘肅民勤人，2010年江西理工大學(xué)測(cè)繪工程專(zhuān)業(yè)碩士研究生畢業(yè)，武威職業(yè)學(xué)院講師。