周磊 董麗麗 李法朝

摘要：為了解決同時含有隨機因素和灰色因素的不確定規(guī)劃問題，通過結(jié)合區(qū)間灰數(shù)所屬區(qū)間兩個端點的隨機性，給出隨機區(qū)間灰數(shù)和隨機區(qū)間灰函數(shù)的定義，提出了隨機灰規(guī)劃模型。通過綜合效應(yīng)函數(shù)理論用隨機變量期望值和方差綜合量化表示灰數(shù)所屬區(qū)間的兩個端點值。應(yīng)用該理論對綜合量化后的兩個端點值繼續(xù)進行綜合量化，從而將隨機灰規(guī)劃轉(zhuǎn)化為確定型規(guī)劃問題。應(yīng)用遺傳算法進行求解。通過綜合效應(yīng)函數(shù)的理念，綜合隨機變量的期望和方差，同時綜合區(qū)間灰數(shù)的區(qū)間因素，將隨機灰規(guī)劃數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為確定型規(guī)劃模型即基于效應(yīng)的隨機灰規(guī)劃模型。通過選取不同的綜合效應(yīng)函數(shù)，得到了關(guān)于不同決策意識下的隨機灰規(guī)劃的最優(yōu)解。這個方法可為決策者進行不確定決策提供參考。

關(guān)鍵詞：隨機規(guī)劃；區(qū)間灰數(shù)；隨機區(qū)間灰數(shù)；隨機灰規(guī)劃模型；綜合效應(yīng)函數(shù)

中圖分類號：O221文獻標志碼：Adoi： 10.7535/hbgykj.2018yx04006

1問題的提出

利潤是廠家直觀了解盈利的數(shù)據(jù)，也是廠家制定生產(chǎn)計劃的依據(jù)。但是長期利潤并不是一個固定值，每天每月每年產(chǎn)生的利潤都不一樣。那么，該如何確定利潤呢？首先，利潤的取值一定在某一個區(qū)間內(nèi)，確定區(qū)間的2個端點是關(guān)鍵之一。其次，區(qū)間2個端點的值確定后，選取區(qū)間中具有代表性的數(shù)值也很重要。這就需要把灰色問題與隨機規(guī)劃問題結(jié)合起來處理灰色問題中的隨機性。

灰色系統(tǒng)理論是為了解決生活中含有不確定因素的問題而出現(xiàn)的一種理論方法[1-2]?；疑珱Q策作為灰色系統(tǒng)理論的一個分支，用來解決一類有關(guān)灰色因素的不確定規(guī)劃問題，這類問題已經(jīng)成為國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者研究的熱點。文獻[3-4]應(yīng)用灰色關(guān)聯(lián)分析來制定在只有有限數(shù)據(jù)下企業(yè)核心產(chǎn)品的策略，并通過建立GM（1，1）模型來評估企業(yè)的核心競爭力和投資策略，但這只是根據(jù)因素之間發(fā)展趨勢的相似或相異程度來衡量因素的關(guān)系。文獻[5]通過定義三參數(shù)區(qū)間灰色數(shù)提出了基于三參數(shù)區(qū)間灰色數(shù)的決策方法，取得了較好的決策效果。文獻[6]提出了對于直覺模糊多屬性決策的灰色關(guān)聯(lián)度分析方法，并給出了具體算法。文獻[7-8]將灰色決策理論應(yīng)用于水資源管理，但文獻[3-8]都只涉及到灰數(shù)問題，比如灰色關(guān)聯(lián)度問題、三參數(shù)灰數(shù)問題，但并不能解決含有隨機規(guī)劃的灰數(shù)問題，因此解決具有隨機因素的灰數(shù)問題需要結(jié)合隨機規(guī)劃方法。

第4期周磊，等：基于效應(yīng)的隨機灰規(guī)劃模型和應(yīng)用河北工業(yè)科技第35卷隨機規(guī)劃是處理帶有隨機性數(shù)據(jù)的一類數(shù)學(xué)規(guī)劃，在管理科學(xué)、交通運輸、自動控制等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用價值。目前，公認的隨機規(guī)劃方法有3種：1）期望值模型，即在期望約束條件下，使得期望收益（損失）達到最大（最?。?）機會約束規(guī)劃模型，即在目標和約束的滿足概率不低于某種閾值的前提下，確定最優(yōu)決策方案[9]。3）相關(guān)機會規(guī)劃模型，即把隨機規(guī)劃的可行域理解為隨機環(huán)境，通過相關(guān)任務(wù)的實現(xiàn)概率最大來確定決策方案[10-12]。上述3種模型是當今解決隨機規(guī)劃問題的基本依據(jù)。目前，較為常用的解決方案是通過隨機模擬與某種智能算法的集成來構(gòu)造相關(guān)的求解方法。例如：文獻[13]通過遺傳算法、模擬退火算法、蟻群算法與隨機模擬相結(jié)合，設(shè)計了隨機規(guī)劃的求解算法；文獻[9-13]解釋了隨機規(guī)劃模型以及相關(guān)算法，但都沒涉及到含有灰數(shù)因素的隨機規(guī)劃問題，故此需要隨機規(guī)劃與灰數(shù)問題結(jié)合提出新的模型，才能解決含有灰數(shù)的隨機規(guī)劃問題。

本文根據(jù)所提出的問題分4部分求解：1）通過結(jié)合區(qū)間灰數(shù)所屬區(qū)間2個端點的隨機性，給出隨機區(qū)間灰數(shù)和隨機區(qū)間灰函數(shù)的定義。同時，結(jié)合隨機規(guī)劃的特點，提出了隨機灰規(guī)劃模型。2）通過綜合效應(yīng)函數(shù)理論，將隨機變量期望值和方差綜合量化來集中表示灰數(shù)所屬區(qū)間2個端點值。3）將綜合量化后的2個端點值繼續(xù)應(yīng)用該理論進行綜合量化，從而將隨機灰規(guī)劃轉(zhuǎn)化為確定型規(guī)劃問題。4）應(yīng)用遺傳算法進行求解。

2方法的提出

2.1區(qū)間灰數(shù)[14]

1）區(qū)間灰數(shù)的概念

只知道大概范圍而不知道其確切值的數(shù)稱為灰數(shù)。把取值于[a，b]（a定義1令f（x）：R→R，設(shè)Θ為所有隨機區(qū)間灰數(shù)構(gòu)成的空間，f（）：Θ→Θ，稱為區(qū)間灰函數(shù)。記fmax（[a，b]）為當∈[a，b]時，f（）的最大值，fmin（[a，b]）為當∈[a，b]時，f（）的最小值。

2）區(qū)間灰數(shù)的運算

法則1設(shè)1∈[a，b]（a

s.t.gj（X，ξ）≤0，j=1，2，…，m。（3）4）相關(guān)機會規(guī)劃模型

隨機約束gj（X，ξ）≤0，j=1，2，…，m為不確定環(huán)境，其中X是決策向量，ξ是隨機向量，稱不等式hk（X，ξ）≤0，k=1，2，…，q為事件，記為ε。相關(guān)機會規(guī)劃模型：max （X），

s.t.Pr（f（X，ξ）≥（X））≥α，

Pr（gj（X，ξ）≤0）≥αj，j=1，2，…，m。（4）2.3隨機灰規(guī)劃問題

隨機性和灰性在眾多生活和生產(chǎn)問題中是共存的，采用單純的隨機規(guī)劃或灰色規(guī)劃方法均不能有效進行決策，建立能夠同時描述隨機性和灰性的數(shù)學(xué)模型是解決這類問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

例如：某玻璃廠生產(chǎn)3種不同規(guī)格的玻璃，現(xiàn)求利潤。利潤與原料單耗和機時單耗有關(guān)，其中機時單耗是不能確定的。由于數(shù)據(jù)不完備，不能準確得到機時單耗的用時，但可以通過數(shù)據(jù)統(tǒng)計得知，其取值在一個不確定的區(qū)間內(nèi)，并知道兩個端點的分布。由于利潤與機時單耗有關(guān)，機時單耗不能確定，那么利潤準確取值也不能得到，利潤的數(shù)據(jù)取得方法與機時單耗的數(shù)據(jù)取得方法相同。

1）隨機灰規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型

定義2如果一個區(qū)間的兩個端點不是實數(shù)而是隨機變量，則稱這個區(qū)間為隨機區(qū)間。記為[ξ，η]，其中ξ和η分別為服從某種分布的隨機變量。

定義3如果區(qū)間灰數(shù)的取值屬于一個隨機區(qū)間[ξ，η]，則稱為隨機區(qū)間灰數(shù)。記為∈[ξ，η]，其中ξ和η分別為服從某種分布的隨機向量。

例如：由于數(shù)據(jù)不完備機時單耗的取值不能確定，只能得到其取值在一個兩端取值不確定的區(qū)間內(nèi)，即隨機區(qū)間[ξ，η]，這里機時單耗的取值就是一個區(qū)間灰數(shù)。

定義4設(shè)Θ為所有隨機區(qū)間灰數(shù)構(gòu)成的空間，如果∈[ξ，η]為隨機區(qū)間灰數(shù)，f（X，）：（R，Θ）→R，則f（X，）為隨機區(qū)間灰目標函數(shù)。

由上面的定義可以看出，由于隨機區(qū)間灰數(shù)∈[ξ，η]中ξ和η分別為服從某種分布的隨機變量，所以區(qū)間[ξ，η]的兩個端點ξ和η無法直接比較大小，所以這個是更加廣義層面的區(qū)間的定義。由此定義2-定義4是對灰數(shù)概念的一個推廣。

下面給出隨機灰規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：max f（X，），

s.t.gj（X，）≤0，j=1，2，…，m，（5）其中：∈[ξ，η]，為隨機區(qū)間灰數(shù)；f（X，）稱為隨機區(qū)間灰目標函數(shù)；gj（X，）≤0，j=1，2，…，m，稱為隨機區(qū)間灰約束條件。

這里考慮通過綜合效應(yīng)函數(shù)先將隨機灰規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一般形式灰規(guī)劃問題，再應(yīng)用綜合效應(yīng)函數(shù)思想給出問題的最優(yōu)解。

2）期望值灰規(guī)劃模型

定義5如果∈[ξ，η]為隨機區(qū)間灰數(shù)，取ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）來集中代表ξ，則E為隨機區(qū)間期望值灰數(shù)。

取ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）來集中代表ξ，這樣可以將模型（5）中的隨機區(qū)間灰數(shù)轉(zhuǎn)化為區(qū)間灰數(shù)。得到模型（6）： max f（X，E），

s.t.gj（X，E）≤0，j=1，2，…，m，（6）其中：E∈[E（ξ），E（η）]為區(qū)間灰數(shù)；f（X，E）稱為區(qū)間灰目標函數(shù)；gj（X，E）≤0，j=1，2，…，m，稱為區(qū)間灰約束條件。此處不要求E（ξ）3）機會約束灰規(guī)劃模型max （X），

s.t.Pr（f（X，）≥（X））≥α，

Pr（gj（X，）≤0）≥αj，j=1，2，…，m，（7）其中：∈[ξ，η]為區(qū)間灰數(shù)；f（X，）稱為隨機區(qū)間灰目標函數(shù)；gj（X，）≤0，j=1，2，…，m，稱為隨機區(qū)間灰約束條件。

4）基于效應(yīng)的隨機灰規(guī)劃模型

定義6如果S（x，y）：R×R→R滿足對于固定的y關(guān)于x單調(diào)遞增，對于固定的x關(guān)于y單調(diào)遞減，S（x，0）=x，則稱S（x，y）為綜合效應(yīng)函數(shù)。

例如：[0，2][-5，7]的均值相同，都是2，但是這2個區(qū)間的區(qū)間長度是不同的，區(qū)間長度不同離散程度一定不一樣，即均值相同方差可能不相同，所以不能只考慮均值，還應(yīng)該考慮方差，要引入綜合效應(yīng)函數(shù)。

S（x，y）=x（1+βy）α，S（x，y）=x+ky，其中k<0，都是綜合效應(yīng)函數(shù)。

定義7如果∈[ξ，η]為隨機區(qū)間灰數(shù)，取S（E（ξ），D（ξ））來集中代表ξ，則S為隨機區(qū)間綜合效應(yīng)灰數(shù)。

從定義7可以看出，如果E（ξ）越大，而D（ξ）越小，也就是S（E（ξ），D（ξ））越能夠集中代表ξ。所以通過綜合效應(yīng)函數(shù)，可以將模型（5）中的隨機區(qū)間灰數(shù)轉(zhuǎn)化為區(qū)間灰數(shù)。得到模型（8）：max f（X，S），

s.t.gj（X，S）≤0，j=1，2，…，m，（8）其中：S∈[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]為區(qū)間灰數(shù)；f（X，S）稱為區(qū)間灰目標函數(shù)；gj（X，S）≤0，j=1，2，…，m，稱為區(qū)間灰約束條件。這里不要求S（E（ξ），D（ξ））

s.t.S′（gjmax（X，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），

-gjmin（X，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]））≤0，

j=1，2，…，m，（9）

由此，可以按照確定型規(guī)劃模型的方法求解。

同理可以在期望值隨機灰規(guī)劃模型中應(yīng)用綜合效應(yīng)函數(shù)S′（a，-b），模型（6）可以轉(zhuǎn)換確定型等價模型（10）為

max S′（fmax（X，[E（ξ），E（η）]），

-fmin（X，[E（ξ），E（η）]）），

s.t.S′（gjmax（X，[E（ξ），E（η）]），

-gjmin（X，[E（ξ），E（η）]））≤0，

j=1，2，…，m。（10）

定義9如果二元函數(shù)S（x，y）在凸集D上滿足，對任意（x1，y1）∈D，（x2，y2）∈D且0≤α≤1，有

S（αx1+（1-α）x2，αy1+（1-α）y2）≤

αS（x1，y1）+（1-α）S（x2，y2）

成立，則稱函數(shù)S（x，y）為聯(lián)合凸的。

定理1假設(shè)函數(shù)f（X，S）對每個固定的S關(guān)于x是凸函數(shù)，函數(shù)gj（X，S），j=1，2，…，m，對每個固定的S關(guān)于x是凸函數(shù)，S′（x，-y）是聯(lián)合凸的，則模型（9）為凸規(guī)劃。

證明由于S（E（ξ），D（ξ））和S（E（η），D（η））是固定值，故S∈[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]為區(qū)間灰數(shù)，不具有隨機性。

fmax（X，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）為當S∈[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]時f（X，S）的最大值，故此最大值只和x有關(guān)。

fmin（X，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）為當S∈[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]時，f（X，S）的最小值。故此最小值也只和x有關(guān)。

令0≤α≤1，

S′（fmax（αx1+（1-α）x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），

-fmin（αx1+（1-α）x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]））≤

S′（αfmax（x1，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）+（1-α）fmax（x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），

-αfmin（x1，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）-（1-α）fmin（x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]））≤

αS′（fmax（x1，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），fmin（x1，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]））+

（1-α）S′（fmax（x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），fmin（x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）），

其中第1個不等號是因為S′（x，-y）是綜合效應(yīng)函數(shù)。第2個不等號是因為S′（x，-y）是聯(lián)合凸函數(shù)。證畢。

定理2假設(shè)函數(shù)f（X，S）對每個固定的S關(guān)于x是凸函數(shù)，函數(shù)gj（X，S），j=1，2，…，m，對每個固定的S關(guān)于x是凸函數(shù)，S′（x，-y）是聯(lián)合凸的，則模型（10）為凸規(guī)劃。

證明令綜合效應(yīng)函數(shù)S（x，y）=x，則模型（8）就等價轉(zhuǎn)化為模型（9）。由定理2可知在滿足定理條件下模型（8）為凸規(guī)劃，故在滿足定理條件下模型（10）也為凸規(guī)劃。證畢。

3實例應(yīng)用

某玻璃加工廠生產(chǎn)A，B，C產(chǎn)品，且要求3種產(chǎn)品的總產(chǎn)量不低于60件。機時單耗的數(shù)據(jù)是隨機的，如表1所示。

產(chǎn)品消耗ABC資源數(shù)量原料單耗2352 000機時單耗4562 600利潤123

通過數(shù)據(jù)統(tǒng)計可以得到，其中1∈[ξ1，η1]，ξ1服從區(qū)間（2，4）上的均勻分布，η1服從區(qū)間（2，8）上的均勻分布；2∈[ξ2，η2]，ξ2服從N（2，1）正態(tài)分布，η2服從N（4，1）正態(tài)分布；3[ξ3，η3]，ξ3服從N（5，9）正態(tài)分布，η3服從N（8，16）正態(tài)分布。4∈[ξ4，η4]，ξ4服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布，η4服從參數(shù)為1/3的指數(shù)分布。5∈[ξ5，η5]，ξ5服從參數(shù)為1/4的指數(shù)分布，η5服從1/6的指數(shù)分布；6∈[ξ6，η6]，ξ6服從區(qū)間（2，6）的均勻分布，η6服從（4，6）的均勻分布。

依此可以建立問題的數(shù)學(xué)模型如下：

max z=1x1+2x2+3x3，

s.t.2x1+3x3+5x3≤2 000，

4x1+5x2+6x3≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0。（11）

可將模型（11）轉(zhuǎn)換成期望值模型：

max z=E1x1+E2x2+E3x3，

s.t.2x1+3x3+5x3≤2 000，

E4x1+E5x2+E6x3≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0，（12）

其中：E1∈[3，5]； E2∈[2，4]；E3∈[5，8]；E4∈[2，3]；E5∈[4，6]；E6∈[4，5]。由于體現(xiàn)決策意識的是α，β的取值，所以選取此綜合效應(yīng)函數(shù)形式S′（x，y）=x（1+βy）α，α，β>0，則模型（12）轉(zhuǎn)化為

max 5x1+4x2+8x3[1-β（3x1+2x2+5x3）]α，

s.t.2x1+3x2+5x3≤2 000，

3x1+6x2+5x3[1-β（2x1+4x2+4x3）]α≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0。（13）

表2期望值模型中α，β取值對最優(yōu)解的影響

Tab.2Influence of α， β on the optimal solution

in the expected value model

α，β取值最優(yōu)解α=0.1，β=0.1（0，0，400）α=0.1，β=1（0，0，400）α=0.1，β=10（0，0，400）α=1，β=0.1（0，0，400）α=1，β=1（0，0，400）α=1，β=10（0，0，400）α=10，β=0.1（5，3，393）α=10，β=1（0，0，400）α=10，β=10（5，3，393）

由表2可以看出，在轉(zhuǎn)換成期望值模型時解的取值與α，β的取值有關(guān)，（如當α=10，β=0.1，1時產(chǎn)品A、產(chǎn)品B、產(chǎn)品C的產(chǎn)量都變化了，即當α=10時，β的取值對產(chǎn)品A、產(chǎn)品B、產(chǎn)品C的產(chǎn)量都有影響），還存在α，β取值都不同，解相同的情況。

可將模型（11）轉(zhuǎn)化為基于效應(yīng)的隨機灰規(guī)劃模型

取S（x，y）=x-0.1y，其中y的系數(shù)是對方差的控制，其選取范圍為（0，1），根據(jù)經(jīng)驗統(tǒng)計，取值一般小于03，此處取0.1。S（E（ξ），D（ξ））=E（ξ）-0.1D（ξ）可轉(zhuǎn)化為模型：

max z=S1x1+S2x2+S3x3，

s.t.2x1+3x3+5x3≤2 000，

S4x1+S5x2+S6x3≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0，（14）

其中：S1∈[2.9，4.7]；S2∈[1.9，3.9]；S3∈[4.1，6.4]；S4∈[1.6，2.1]；S5∈[2.4，2.4]；S6∈[3.8，4.9]。取綜合效應(yīng)函數(shù)S′（x，y）=x（1+βy）α，α，β>0，則模型（14）轉(zhuǎn)化為

max 4.7x1+3.9x2+6.4x3[1-β（2.9x1+1.9x2+4.1x3）]α，

s.t.2x1+3x2+5x3≤2 000，

2.1x1+2.4x2+4.9x3[1-β（1.6x1+2.4x2+3.8x3）]α≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0。（15）

對模型（15）中的α，β取不同值時，其最優(yōu)解見表3。

由表3可以看出，在轉(zhuǎn)換成基于效應(yīng)的隨機灰規(guī)劃模型時，解的取值與α，β的取值無關(guān)。

從上述計算結(jié)果可以看出：即使選取的綜合效應(yīng)函數(shù)不同，所得解之間的差異十分小，幾乎可以忽略不計，這表明綜合效應(yīng)函數(shù)模型可以有效地將隨機因素和灰色因素的處理意識融入到?jīng)Q策過程中，使得所得解非常穩(wěn)定，同時也說明了隨機灰規(guī)劃模型的穩(wěn)健性（此結(jié)果可通過與期望值模型所得解進行比較，即表2與表3的比較所得）。

4結(jié)語

客觀世界復(fù)雜變化，使得數(shù)據(jù)與信息的隨機性較為明顯。對于隨機因素和灰色因素同時存在的優(yōu)化問題，提出了隨機區(qū)間灰數(shù)和隨機區(qū)間灰函數(shù)的概念，給出了同時包含隨機因素和灰色因素的隨機灰規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，通過綜合效應(yīng)函數(shù)的理念，綜合隨機變量的期望和方差，同時綜合區(qū)間灰數(shù)的區(qū)間因素，將隨機灰規(guī)劃數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為確定型規(guī)劃模型，即基于效應(yīng)的隨機灰規(guī)劃模型。通過選取不同的綜合效應(yīng)函數(shù)，得到了關(guān)于不同決策意識下的隨機灰規(guī)劃的最優(yōu)解。這個方法可為決策者進行不確定決策提供參考。

參考文獻/References：

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