王海濤

摘 要：將控制理論和振動(dòng)理論結(jié)合起來對(duì)振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)中的作動(dòng)器位置進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)過程中同時(shí)考慮了系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)特性與可控性，優(yōu)化了系統(tǒng)的整體性能。

關(guān)鍵詞：控制理論；振動(dòng)理論；作動(dòng)器

中圖分類號(hào)：TB535 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-5168（2018）08-0045-04

Optimization of Actuators Placement in Active Vibration Control System

WANG Haitao

（Naval Equipment Motor Repair Team of Qingdao，Qingdao Shandong 266021）

Abstract： In this paper， the control theory and vibration theory were combined to optimize the actuator position of the active vibration control system. In the design process， the vibration response characteristics and controllability of the system were taken into consideration， and the overall performance of the system was optimized.

Keywords： control theory；vibration theory；actuator

1 研究背景

振動(dòng)主動(dòng)控制裝置對(duì)環(huán)境變化的適應(yīng)性強(qiáng)，特別是對(duì)低頻振動(dòng)及周期性激勵(lì)有很強(qiáng)的控制能力，且尺寸小，重量輕[1-3]。主動(dòng)隔振技術(shù)的諸多優(yōu)勢(shì)吸引了眾多國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者對(duì)此進(jìn)行研究。其中，作動(dòng)器的優(yōu)化配置問題一直是研究的焦點(diǎn)。作動(dòng)器配置的結(jié)果將直接決定系統(tǒng)的控制效率，影響系統(tǒng)的可控性和魯棒性等[4，5]。目前，對(duì)振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)的建模主要有兩種方法：一種是從系統(tǒng)振動(dòng)傳遞規(guī)律出發(fā)，以相似外推為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法，如導(dǎo)納法等；另一種是從系統(tǒng)內(nèi)部關(guān)系出發(fā)，以狀態(tài)空間理論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代控制方法，如最優(yōu)控制法等。前者的物理意義更清晰，便于使用隔振效率、功率流傳遞率等經(jīng)典的振動(dòng)控制評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)；而后者則更加科學(xué)地描述了系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系，有利于運(yùn)用先進(jìn)控制算法和判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控度等。兩種方法各具特色，如何將其有機(jī)結(jié)合起來，使振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)的整體性能最優(yōu)，成為目前研究的重要方向。

為此，本文將主動(dòng)控制理論和振動(dòng)理論結(jié)合起來，對(duì)系統(tǒng)中的作動(dòng)器進(jìn)行優(yōu)化配置，同時(shí)考慮了系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)特性與可控性，克服了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和控制系統(tǒng)獨(dú)立設(shè)計(jì)的片面性，優(yōu)化了系統(tǒng)的整體性能。

2 系統(tǒng)模型的建立

2.1 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

以圖1所示的簡(jiǎn)支梁為研究對(duì)象，其長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為m，截面抗彎模量為EI，梁置于xoy平面內(nèi)，在點(diǎn)xa=l/2處受到沿y方向的[fx，t=Psinωt]。

其彎曲振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

[??x2EIx?2yx，t?x2+m?2yx，t?x2=fx，t-ux，t] （1）

控制采用xa處的速度信號(hào)作反饋。此時(shí)，作動(dòng)器產(chǎn)生的主動(dòng)力為：

[ux，t=gya] （2）

由此可求得梁的響應(yīng)為：

[yx，t=n=1∞fx，t·φxa·φxmnω2n+jωgφxc-mnω2] （3）

速度導(dǎo)納為：

[Hik=jωn=1∞φxi·φxkmnω2n+jωgφxc-mnω2] （4）

式中，[xi]表示激勵(lì)力的位置，[xk]表示響應(yīng)點(diǎn)的位置。如果[xk=xi]，則式（4）表示的是點(diǎn)導(dǎo)納；如果[xk≠xi]，則式（4）表示傳遞導(dǎo)納。[xc]表示作動(dòng)器在梁上的位置，[mn]為梁的模態(tài)質(zhì)量：

[mn=0lmφnxdx] （5）

其中，[φnx]是兩端簡(jiǎn)支梁的第n階振型函數(shù)：

[φnx=sinnπl(wèi)x] （6）

[ωn]表示梁的第n階固有頻率：

[ωn=nπl(wèi)2EIρA] （7）

2.2 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

狀態(tài)空間法建立在系統(tǒng)時(shí)域描述基礎(chǔ)上，即從系統(tǒng)的微分方程出發(fā)，獲得其數(shù)學(xué)描述形式，再求得系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。

如圖1所示的簡(jiǎn)支梁系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：

[MWt+CWt+KWt=DFt+VUt] （8）

其中，[M]為質(zhì)量矩陣，[C]為阻尼矩陣，[K]為剛度矩陣，[D]為擾動(dòng)力矩陣，[V]為控制力矩陣，[Wt]、[Wt]、[Wt]分別為系統(tǒng)的加速度向量、速度向量和位移向量，[Ft]為擾動(dòng)力向量，[Ut]為控制力向量。其表達(dá)式分別為：

[M=m1 0 0 0 00 m2 0 0 00 0 m3 0 00 0 0 … 00 0 0 0 mn] （9）

[C=m1dω21 0 0 … 0 0 m2dω22 0 … 0 0 0 m3dω23 … 0 … … … … 0 0 0 0 … mndω2n] （10）

[K=m1dω21 0 0 … 0 0 m2dω22 0 … 0 0 0 m3dω23 … 0 … … … … 0 0 0 0 … mndω2n] （11）

[D=V=φ1 0 0 … 00 φ2 0 0 00 0 φ3 0 00 0 0 … 00 0 0 0 φn] （12）

[Wt=x1 x2 x3 … xnT] （13）

[Ft=f f f …f] （14）

[Ut=u u u … u] （15）

取狀態(tài)變量：[Xt=Wt，WtT]，則可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：

[Xt=AXt+BUt+LFt] （16）

其中，A為系統(tǒng)矩陣，B為控制矩陣，L為擾動(dòng)矩陣，其表達(dá)式分別為：

[A=I 0-M-1C -M-1K] （17）

[B=0M-1V] （18）

[L=0M-1D] （19）

3 優(yōu)化準(zhǔn)則及目標(biāo)函數(shù)

在振動(dòng)控制設(shè)計(jì)中，最關(guān)心的是通過振動(dòng)控制使振動(dòng)量級(jí)能獲得多大程度的衰減。從能量角度研究振動(dòng)控制問題并非自功率流方法始，但作為一種綜合的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性評(píng)估指標(biāo)，功率流觀點(diǎn)的提出對(duì)柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制具有重要意義。因此，本文利用傳遞到基礎(chǔ)上的功率流為評(píng)價(jià)系統(tǒng)振動(dòng)控制效果的指標(biāo)，其可表示為：

[J1=12Ref2·Hii=ωP22n=1∝φxi·φxkmnω2n+jωgφxc-mnω2] （20）

近年來，有許多研究人員從控制理論出發(fā)，提出了各種不同的致動(dòng)器優(yōu)化配置準(zhǔn)則，Sylvaine等提出了一種基于能量的方法[5]，采用該方法可以很自然地研究整個(gè)動(dòng)態(tài)模型的可控性和可觀性。利用這種方法，結(jié)合前一節(jié)的狀態(tài)方程，可以得到一個(gè)關(guān)于格蘭姆矩陣特征值的準(zhǔn)則：

[Wc=0∝eAτBBTeAττdτ] （21）

可控性概念實(shí)際上表達(dá)的是系統(tǒng)控制所需的代價(jià)，具體到振動(dòng)控制對(duì)象而言，就是控制結(jié)構(gòu)各階模態(tài)所消耗的能量大小。我們可以從結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的可控度入手，進(jìn)而估算出系統(tǒng)的可控度，由模態(tài)可控度的定義可求得系統(tǒng)的模態(tài)可控度為：

[ρn=4φ8nxcm2nω6nsin2ωnT1-cosωnT2] （22）

其中，T為采樣周期。

要使整個(gè)系統(tǒng)具有最大的可控度，則要求每階模態(tài)下的系統(tǒng)具有最大可控度，即必須使每個(gè)[ρi]最大。然而，在作動(dòng)器位置的選擇上，各階模態(tài)之間并不一致，某一階模態(tài)的最佳作動(dòng)器位置對(duì)另一階模態(tài)可能并非最佳。因此，選擇如式（23）所示的目標(biāo)函數(shù)：

[J2=n=1∝wnρn] （23）

其中，[wn]為權(quán)因子，反映了各階模態(tài)在系統(tǒng)響應(yīng)中所占的比重，表示為：

[wn=1ω2n-ω2] （24）

從上述兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的意義不難看出，前者體現(xiàn)了系統(tǒng)控制的價(jià)值，后者則衡量了系統(tǒng)控制的代價(jià)。因此，本文將把兩者有機(jī)結(jié)合起來，對(duì)作動(dòng)器位置進(jìn)行優(yōu)化，體現(xiàn)系統(tǒng)控制評(píng)估體系的完整性。

4 算例

在前文的基礎(chǔ)之上，本節(jié)將針對(duì)具體的情況進(jìn)行數(shù)值分析，為此特設(shè)主要參數(shù)如下：[m=200kg]，[l=2.0m]，[EI=1.0×104Pa]。對(duì)于作動(dòng)器的優(yōu)化問題描述如下。

①目標(biāo)函數(shù)：

[minJ1maxJ2] （25）

②設(shè)計(jì)變量為：

[x=g xcT] （26）

③約束條件：

[g∈-2 000，2 000]， [xc∈0，2] （27）

觀察目標(biāo)函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，在系統(tǒng)其他結(jié)構(gòu)參數(shù)一定的情況下，系統(tǒng)可控度J1只與設(shè)計(jì)變量[xc]有關(guān)而與控制反饋系數(shù)g無關(guān)。因此，整個(gè)優(yōu)化過程可分兩個(gè)獨(dú)立步驟，即先求得作動(dòng)器最佳布置位置，使系統(tǒng)的可控度最大，再求系統(tǒng)的最優(yōu)控制反饋系數(shù)，使傳遞到系統(tǒng)的功率流最小。

圖2和圖3分別反映了激勵(lì)頻率為78Hz和269Hz時(shí)[xc]與J1的關(guān)系。從圖中可以看出，作動(dòng)器的位置對(duì)系統(tǒng)的可控度具有很大影響，在[xc=0.5]和[xc=1.0]時(shí)分別對(duì)應(yīng)兩種激勵(lì)頻率下系統(tǒng)的最大可控度。

圖4和圖5對(duì)比了激勵(lì)頻率為78Hz和269Hz時(shí)g與J2的關(guān)系。經(jīng)觀察可以得到以下兩個(gè)結(jié)論：一是反饋系數(shù)的絕對(duì)值越大，輸入系統(tǒng)的功率流越小，即振動(dòng)控制的效果越好；二是在相同的振動(dòng)控制效果下，系統(tǒng)可控度越大則控制反饋系數(shù)越小，即控制所需的能量越小。

5 結(jié)論

本文將主動(dòng)控制理論和振動(dòng)理論相結(jié)合，同時(shí)考慮了系統(tǒng)可控性最大化與系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)最小化這兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，通過具體算例研究了作動(dòng)器位置的優(yōu)化配置問題，得出了以下結(jié)論。

①作動(dòng)器的位置對(duì)系統(tǒng)的可控度具有較大影響，其設(shè)計(jì)的好壞直接影響系統(tǒng)的控制效率和控制所消耗的能量。

②適當(dāng)增大系統(tǒng)控制反饋系數(shù)可以提高系統(tǒng)振動(dòng)控制的效果，但同時(shí)所消耗的能量也會(huì)增大。

③本文所采用的方法可以同時(shí)兼顧系統(tǒng)的控制代價(jià)和控制效果，對(duì)振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)的工程應(yīng)用和理論研究都具有重要意義。

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